Ковариант Фробениуса

В теории матриц квадратной коварианты Фробениуса A матрицы $представляют$ собой специальные ее полиномы, а именно проекции матрицы A _i, связанные с собственными значениями и собственными A $векторами$ . ^[1]^{: стр. 403, 437–8.} Они названы в честь математика Фердинанда Фробениуса .

Каждый ковариант представляет собой проекцию на собственное пространство, связанное с собственным значением $λ i$ .Коварианты Фробениуса — это коэффициенты формулы Сильвестра , которая выражает функцию матрицы $f (A)$ как матричный полином, а именно линейную комбинацию значений этой функции на собственных значениях $A$ .

Формальное определение

Пусть $A$ — диагонализируемая матрица с собственными значениями λ ₁ , ..., λ _k .

Ковариант Фробениуса $A i$ для i = 1,..., k представляет собой матрицу

A_{i}\equiv \prod _{j=1 \atop j\neq i}^{k}{\frac {1}{\lambda _{i}-\lambda _{j}}}(A-\lambda _{j}I)~.

По сути, это полином Лагранжа с матричным аргументом. Если собственное значение λ _i простое, то как идемпотентная матрица проекции на одномерное подпространство $A i$ имеет единичный след .

Вычисление ковариантов

Фердинанд Георг Фробениус (1849–1917), немецкий математик. Его основными интересами были с эллиптическими функциями дифференциальные уравнения , а затем теория групп .

Коварианты Фробениуса матрицы $A$ можно получить из любого собственного разложения $A = SDS. -1$ , где $S$ неособый, а $D$ диагональный с $D i, i знак равно λ i$ . Если $A$ не имеет кратных собственных значений, то пусть c _i будет i $-$ м правым собственным вектором $A$ , то есть $i$ -м столбцом $S$ ; и пусть r _i будет $i-м$ левым собственным вектором $A$ , а именно $i$ -й строкой $S$ ⁻¹. Тогда $A i = c i r .$

Если $A$ имеет собственное значение λ _i, появляющееся несколько раз, то $A i = Σ j c j r j$ , где сумма рассчитывается по всем строкам и столбцам, связанным с собственным значением λ _i . ^[1]^{: стр.521}

Пример

Рассмотрим матрицу два на два:

A={\begin{bmatrix}1&3\\4&2\end{bmatrix}}.

Эта матрица имеет два собственных значения: 5 и −2; следовательно $(А - 5)(А + 2) = 0$ .

Соответствующее собственное разложение есть

A={\begin{bmatrix}3&1/7\\4&-1/7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5&0\\0&-2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}3&1/7\\4&-1/7\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}3&1/7\\4&-1/7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}5&0\\0&-2\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/7&1/7\\4&-3\end{bmatrix}}.

Следовательно, коварианты Фробениуса, явно проекции, имеют вид

{\begin{array}{rl}A_{1}&=c_{1}r_{1}={\begin{bmatrix}3\\4\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/7&1/7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3/7&3/7\\4/7&4/7\end{bmatrix}}=A_{1}^{2}\\A_{2}&=c_{2}r_{2}={\begin{bmatrix}1/7\\-1/7\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}4&-3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4/7&-3/7\\-4/7&3/7\end{bmatrix}}=A_{2}^{2}~,\end{array}}

с

A_{1}A_{2}=0,\qquad A_{1}+A_{2}=I~.

Обратите внимание, $что tr A 1 = tr A 2 = 1$ , как требуется.

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Роджер А. Хорн и Чарльз Р. Джонсон (1991), Темы матричного анализа . Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-46713-1

[horn-1] Jump up to: ^а ^б Роджер А. Хорн и Чарльз Р. Джонсон (1991), Темы матричного анализа . Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-46713-1

[1]