Унитарная матрица

Для матриц с ортогональностью по полю действительных чисел см. ортогональную матрицу . Об ограничении разрешенной эволюции квантовых систем, которое гарантирует, что сумма вероятностей всех возможных исходов любого события всегда равна 1, см. Унитарность .

В линейной алгебре U обратимая комплексная квадратная матрица унитарна , если ее обратная матрица U ⁻¹ равно сопряженному ему транспонированию U ^* , то есть, если

$$U^{*}U=UU^{*}=I,$$

где I — единичная матрица .

В физике, особенно в квантовой механике, сопряженное транспонирование называется эрмитовым сопряжением матрицы и обозначается кинжалом ( †), поэтому приведенное выше уравнение записывается

$$U^{\dagger }U=UU^{\dagger }=I.$$

Комплексная матрица U называется специальной унитарной, если она унитарна и ее определитель матрицы равен 1 .

Для действительных чисел аналогом унитарной матрицы является ортогональная матрица . Унитарные матрицы имеют важное значение в квантовой механике, поскольку они сохраняют нормы и, следовательно, амплитуды вероятности .

Свойства

Для любой унитарной матрицы U конечного размера справедливы следующие условия:

• Учитывая два комплексных вектора x и y , умножение на U сохраняет их внутренний продукт ; то есть ⟨ U x , U y ⟩ = ⟨ x , y ⟩ .
• У тебя всё в норме ( $U^{*}U=UU^{*}$).
• U диагонализуемо ​ ; то есть U диагональной унитарно подобен матрице, как следствие спектральной теоремы . Таким образом, U имеет разложение вида $U=VDV^{*},$ где V — унитарный, а D — диагональный и унитарный.
• $\left|\det(U)\right|=1$. То есть, $\det(U)$ будет лежать на единичной окружности комплексной плоскости.
• Его собственные пространства ортогональны.
• U можно записать как U = e ^iH , где e обозначает матричную экспоненту , i — мнимая единица, а H — эрмитова матрица .

Для любого неотрицательного целого числа n набор всех унитарных матриц размера n × n с матричным умножением образует группу , называемую унитарной группой U( n ) .

Каждая квадратная матрица с единичной евклидовой нормой представляет собой среднее двух унитарных матриц.

Эквивалентные условия

Если U — квадратная комплексная матрица, то следующие условия эквивалентны:

1. $U$ является унитарным.
2. $U^{*}$ является унитарным.
3. $U$ является обратимым с $U^{-1}=U^{*}$.
4. Столбцы $U$ образуют базис ортонормированный $\mathbb {C} ^{n}$относительно обычного внутреннего продукта. Другими словами, $U^{*}U=I$.
5. Ряды $U$ образуют ортонормированный базис $\mathbb {C} ^{n}$относительно обычного внутреннего продукта. Другими словами, $UU^{*}=I$.
6. $U$является изометрией относительно обычной нормы. То есть, $\|Ux\|_{2}=\|x\|_{2}$ для всех $x\in \mathbb {C} ^{n}$, где ${\textstyle \|x\|_{2}={\sqrt {\sum _{i=1}^{n}|x_{i}|^{2}}}}$.
7. $U$ - нормальная матрица (эквивалентно, существует ортонормированный базис, образованный собственными векторами матрицы $U$) с собственными значениями , лежащими на единичной окружности .

Элементарные конструкции

Унитарная матрица 2 × 2

Одно общее выражение унитарной матрицы 2 × 2 :

$$U={\begin{bmatrix}a&b\\-e^{i\varphi }b^{*}&e^{i\varphi }a^{*}\\\end{bmatrix}},\qquad \left|a\right|^{2}+\left|b\right|^{2}=1\ ,$$

который зависит от 4 реальных параметров (фазы a , фазы b , относительной величины между a и b и угла φ ). Форма настроена так, что определитель такой матрицы равен

$$\det(U)=e^{i\varphi }~.$$

Подгруппа этих элементов $\ U\$ с $\ \det(U)=1\$ называется специальной унитарной группой SU(2).

Среди нескольких альтернативных форм матрицу U можно записать в следующем виде:

$$\ U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\alpha }\cos \theta &e^{i\beta }\sin \theta \\-e^{-i\beta }\sin \theta &e^{-i\alpha }\cos \theta \\\end{bmatrix}}\ ,$$

где $\ e^{i\alpha }\cos \theta =a\$ и $\ e^{i\beta }\sin \theta =b\ ,$ выше, а углы $\ \varphi ,\alpha ,\beta ,\theta \$ может принимать любые значения.

Представляя $\ \alpha =\psi +\delta \$ и $\ \beta =\psi -\delta \ ,$ имеет следующую факторизацию:

$$U=e^{i\varphi /2}{\begin{bmatrix}e^{i\psi }&0\\0&e^{-i\psi }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\-\sin \theta &\cos \theta \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\delta }&0\\0&e^{-i\delta }\end{bmatrix}}~.$$

Это выражение подчеркивает связь между унитарными матрицами 2 × 2 и 2 × 2 ортогональными матрицами с углом θ .

Другая факторизация

$$U={\begin{bmatrix}\cos \rho &-\sin \rho \\\sin \rho &\;\cos \rho \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}e^{i\xi }&0\\0&e^{i\zeta }\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\;\cos \sigma &\sin \sigma \\-\sin \sigma &\cos \sigma \\\end{bmatrix}}~.$$

Возможны многие другие факторизации унитарной матрицы в базовых матрицах.

См. также

• Эрмитова матрица и

Косо-эрмитова матрица

• Разложение матрицы
• Ортогональная группа O( n )
• Специальная ортогональная группа SO( n )
• Ортогональная матрица
• Полуортогональная матрица
• Квантовый логический вентиль
• Специальная унитарная группа СУ( н )
• Симплектическая матрица
• Унитарная группа U( n )
• Унитарный оператор

Внешние ссылки

• Вайсштейн, Эрик В. «Унитарная матрица» . Математический мир . Тодд Роуленд.
• Иванова, О.А. (2001) [1994], «Унитарная матрица» , Энциклопедия Математики , EMS Press
• «Покажите, что собственные значения унитарной матрицы имеют модуль 1» . Обмен стеками . 28 марта 2016 г.