Переменная матрица

Не путать с матрицей чередующихся знаков .

В линейной алгебре альтернативная матрица — это матрица, сформированная путем поточечного применения конечного списка функций к фиксированному столбцу входных данных. Альтернативный определитель — это определитель квадратной альтернативной матрицы.

Как правило, если $f_{1},f_{2},\dots ,f_{n}$ являются функциями из множества $X$ в поле $F$, и ${\alpha _{1},\alpha _{2},\ldots ,\alpha _{m}}\in X$, то альтернативная матрица имеет размер $m\times n$ и определяется

$M={\begin{bmatrix}f_{1}(\alpha _{1})&f_{2}(\alpha _{1})&\cdots &f_{n}(\alpha _{1})\\f_{1}(\alpha _{2})&f_{2}(\alpha _{2})&\cdots &f_{n}(\alpha _{2})\\f_{1}(\alpha _{3})&f_{2}(\alpha _{3})&\cdots &f_{n}(\alpha _{3})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}(\alpha _{m})&f_{2}(\alpha _{m})&\cdots &f_{n}(\alpha _{m})\\\end{bmatrix}}$

или, более компактно, $M_{ij}=f_{j}(\alpha _{i})$. (Некоторые авторы используют транспонирование приведенной выше матрицы.) Примеры альтернативных матриц включают матрицы Вандермонда , для которых $f_{j}(\alpha )=\alpha ^{j-1}$, и матрицы Мура , для которых $f_{j}(\alpha )=\alpha ^{q^{j-1}}$.

Характеристики

• Альтернативу можно использовать для проверки линейной независимости функций $f_{1},f_{2},\dots ,f_{n}$ в функциональном пространстве . Например, пусть $f_{1}(x)=\sin(x)$, $f_{2}(x)=\cos(x)$ и выбери $\alpha _{1}=0,\alpha _{2}=\pi /2$. Тогда альтернативой является матрица $\left[{\begin{smallmatrix}0&1\\1&0\end{smallmatrix}}\right]$ и альтернативный определитель $-1\neq 0$. Поэтому M обратимо и векторы $\{\sin(x),\cos(x)\}$ составляют основу их охватывающего множества: в частности, $\sin(x)$ и $\cos(x)$ линейно независимы.

• Линейная зависимость столбцов альтернанта не означает , что функции линейно зависимы в функциональном пространстве. Например, пусть $f_{1}(x)=\sin(x)$, $f_{2}=\cos(x)$ и выбери $\alpha _{1}=0,\alpha _{2}=\pi$. Тогда альтернативой является $\left[{\begin{smallmatrix}0&1\\0&-1\end{smallmatrix}}\right]$ и альтернативный определитель равен 0, но мы уже видели, что $\sin(x)$ и $\cos(x)$ линейно независимы.

• Несмотря на это, альтернанту можно использовать для нахождения линейной зависимости, если уже известно, что она существует. Например, из теории простейших дробей мы знаем , что существуют действительные числа А и В, для которых ${\frac {A}{x+1}}+{\frac {B}{x+2}}={\frac {1}{(x+1)(x+2)}}$. Выбор $f_{1}(x)={\frac {1}{x+1}}$, $f_{2}(x)={\frac {1}{x+2}}$, $f_{3}(x)={\frac {1}{(x+1)(x+2)}}$ и $(\alpha _{1},\alpha _{2},\alpha _{3})=(1,2,3)$, мы получаем альтернативу ${\begin{bmatrix}1/2&1/3&1/6\\1/3&1/4&1/12\\1/4&1/5&1/20\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&1\\0&1&-1\\0&0&0\end{bmatrix}}$. Поэтому, $(1,-1,-1)$ находится в пустом пространстве матрицы: то есть $f_{1}-f_{2}-f_{3}=0$. Движущийся $f_{3}$ к другой части уравнения дает разложение на частные дроби $A=1,B=-1$.

• Если $n=m$ и $\alpha _{i}=\alpha _{j}$ для любого $i\neq j$, то альтернативный определитель равен нулю (поскольку строка повторяется).

• Если $n=m$ и функции $f_{j}(x)$ все являются полиномами, то $(\alpha _{j}-\alpha _{i})$ делит альтернативный определитель для всех $1\leq i<j\leq n$. В частности, если V — матрица Вандермонда , то ${\textstyle \prod _{i<j}(\alpha _{j}-\alpha _{i})=\det V}$ делит такие полиномиальные альтернативные определители. Соотношение ${\textstyle {\frac {\det M}{\det V}}}$ поэтому является полиномом по $\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m}$ называется биальтернантом . Шура Полином $s_{(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})}$ классически определяется как биальтернант многочленов $f_{j}(x)=x^{\lambda _{j}}$.

Приложения

• Альтернативные матрицы используются в теории кодирования при построении альтернативных кодов .

См. также

• Список матриц
• Вронскиан

Ссылки

• Томас Мьюир (1960). Трактат по теории определителей . Дуврские публикации . стр. 321–363.
• AC Эйткен (1956). Определители и матрицы . Oliver and Boyd Ltd., стр. 111–123.
• Ричард П. Стэнли (1999). Перечислительная комбинаторика . Издательство Кембриджского университета . стр. 334–342.