Матричное представление конических сечений

В математике матричное представление конических сечений средства линейной алгебры позволяет использовать при изучении конических сечений . Он предоставляет простые способы расчета оси конического сечения , вершин , касательных , а также полярных и полярных отношений между точками и линиями плоскости, определяемыми коникой. Методика не требует приведения уравнения конического сечения к стандартному виду, что облегчает исследование тех конических сечений, оси которых не параллельны системе координат .

Конические сечения (в том числе вырожденные ) — это множества уравнению второй степени точек, координаты которых удовлетворяют полиномиальному от двух переменных:

$$Q(x,y)=Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0.$$

Из-за злоупотребления обозначениями это коническое сечение также будет называться Q , если не возникнет путаницы.

Это уравнение можно записать в матричной записи, в терминах симметричной матрицы, чтобы упростить некоторые последующие формулы, как

$${\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}D&E\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}+F=0.$$

Сумма первых трех членов этого уравнения, а именно

$$Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}={\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}},$$

– квадратичная форма , связанная с уравнением , и матрица

$$A_{33}={\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix}}$$

называется матрицей квадратичной формы . След ​ и определитель ​ $A_{33}$ оба инвариантны относительно вращения осей и перемещения плоскости (движения начала координат).

Квадратное уравнение также можно записать как

$$\mathbf {x} ^{\mathsf {T}}A_{Q}\mathbf {x} =0,$$

где $\mathbf {x}$ — однородный координатный вектор от трех переменных, ограниченный так, что последняя переменная равна 1, т. е.

$${\begin{pmatrix}x\\y\\1\end{pmatrix}}$$

и где $A_{Q}$ это матрица

$$A_{Q}={\begin{pmatrix}A&B/2&D/2\\B/2&C&E/2\\D/2&E/2&F\end{pmatrix}}.$$

Матрица $A_{Q}$ называется матрицей квадратного уравнения . Как и у $A_{33}$, его определитель инвариантен как относительно вращения, так и относительно перемещения.

Верхняя левая подматрица 2 × 2 (матрица порядка 2) матрицы A _Q , полученная удалением третьей (последней) строки и третьего (последнего) столбца из A _Q, является матрицей квадратичной формы. Приведенное выше обозначение A ₃₃ используется в этой статье, чтобы подчеркнуть эту взаимосвязь.

Классификация

собственные (невырожденные) и вырожденные конические сечения . Различают основе определителя A Q _: на

Если $\det A_{Q}=0$, коника вырождена.

Если $\det A_{Q}\neq 0$ так что Q не является вырожденным, мы можем увидеть, какой это тип конического сечения, вычислив минор , $\det A_{33}$:

• Q является гиперболой тогда и только тогда, когда $\det A_{33}<0$,
• Q является параболой тогда и только тогда, когда $\det A_{33}=0$, и
• Q является эллипсом тогда и только тогда, когда $\det A_{33}>0$.

В случае эллипса мы можем выделить частный случай круга , сравнивая два последних диагональных элемента, соответствующие коэффициентам x ² и й ² :

• Если A = C и B = 0 , то Q — круг.

Более того, в случае невырожденного эллипса (при $\det A_{33}>0$ и $\det A_{Q}\neq 0$), мы имеем настоящий эллипс, если $(A+C)\det A_{Q}<0$ но воображаемый эллипс, если $(A+C)\det A_{Q}>0$. Примером последнего является $x^{2}+y^{2}+10=0$, не имеющая вещественных решений.

Если коническое сечение вырождено ( $\det A_{Q}=0$), $\det A_{33}$ все же позволяет нам различить его форму:

• Две пересекающиеся прямые (гипербола, выродившаяся в две асимптоты) тогда и только тогда, когда $\det A_{33}<0$.
• Две параллельные прямые (вырожденная парабола) тогда и только тогда, когда $\det A_{33}=0$. Эти линии различны и вещественны, если $D^{2}+E^{2}>4(A+C)F$, совпадение, если $D^{2}+E^{2}=4(A+C)F$, и не существует в реальной плоскости, если $D^{2}+E^{2}<4(A+C)F$.
• Отдельная точка (вырожденный эллипс) тогда и только тогда, когда $\det A_{33}>0$.

Случай совпадающих прямых имеет место тогда и только тогда, когда ранг матрицы 3 × 3 $A_{Q}$ равен 1; во всех остальных вырожденных случаях его ранг равен 2.

Центральные коники

Когда $\det A_{33}\neq 0$ геометрический центр конического сечения существует, и такие конические сечения (эллипсы и гиперболы) называются центральными кониками .

Центр

Центр коники, если он существует, — это точка, делящая пополам все хорды коники, проходящие через нее. Это свойство можно использовать для вычисления координат центра, который, как можно показать, является точкой, в которой градиент квадратичной функции Q обращается в нуль, то есть:

$$\nabla Q=\left[{\frac {\partial Q}{\partial x}},{\frac {\partial Q}{\partial y}}\right]=[0,0].$$

Это дает центр, как показано ниже.

Альтернативный подход, использующий матричную форму квадратного уравнения, основан на том факте, что, когда центр является началом системы координат, в уравнении нет линейных членов. Любой перевод в начало координат ( x ₀ , y ₀ ) с использованием x * = x – x ₀ , y * = y − y ₀ приводит к

$${\begin{pmatrix}x^{*}+x_{0}&y^{*}+y_{0}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x^{*}+x_{0}\\y^{*}+y_{0}\end{pmatrix}}+\left({\begin{matrix}D&E\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}x^{*}+x_{0}\\y^{*}+y_{0}\end{matrix}}\right)+F=0.$$

Условием того, что ( x ₀ , y ₀ ) является центром коники ( x _c , y _c ), является то, что коэффициенты линейных членов x* и y* при умножении этого уравнения равны нулю. Это условие дает координаты центра:

$${\begin{pmatrix}x_{c}\\y_{c}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix}}^{\!-1}{\begin{pmatrix}-D/2\\-E/2\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(BE-2CD)/(4AC-B^{2})\\(DB-2AE)/(4AC-B^{2})\end{pmatrix}}.$$

Этот расчет также можно выполнить, взяв первые две строки связанного матрица A _Q , умножая каждую на ( x , y , 1) ^⊤ и установив оба внутренних продукта равными 0, получив следующую систему:

$${\begin{aligned}Ax+(B/2)y+D/2&=0,\\(B/2)x+Cy+E/2&=0.\end{aligned}}$$

Это дает указанную выше центральную точку.

В случае параболы, т. е. когда 4 AC − B ² = 0 , центра нет, поскольку приведенные выше знаменатели обращаются в ноль (или, интерпретируя проективно , центр находится на бесконечной прямой ).

Центрированное матричное уравнение

Центральная (непараболическая) коника $Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0$ можно переписать в форме центрированной матрицы как

$${\begin{pmatrix}x-x_{c}&y-y_{c}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}A&B/2\\B/2&C\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x-x_{c}\\y-y_{c}\end{pmatrix}}=K,$$

где

$$K=-{\frac {\det(A_{Q})}{AC-(B/2)^{2}}}=-{\frac {\det(A_{Q})}{\det(A_{33})}}.$$

Тогда для случая эллипса AC > ( B /2) ² , эллипс является действительным, если знак K равен знаку ( A + C ) (то есть знаку каждого из A и C ), мнимым, если они имеют противоположные знаки, и вырожденным точечным эллипсом, если K = 0 . В случае гиперболы AC < ( B /2) ² , гипербола вырождена тогда и только тогда, когда K = 0 .

Стандартная форма центрального конуса

Основные статьи: Коническое сечение § Стандартные формы в декартовых координатах и ​​Коническое сечение § Преобразование в каноническую форму.

Стандартная форма уравнения центрального конического сечения получается при перемещении и повороте конического сечения так, что его центр лежит в центре системы координат, а его оси совпадают с осями координат. Это эквивалентно тому, что центр системы координат перемещается, а оси координат поворачиваются для удовлетворения этих свойств. На диаграмме исходная система координат xy с началом O перемещается в систему координат x'y' с началом O' .

Перенос и вращение координат

Перевод осуществляется по вектору $\mathbf {t} ={\begin{pmatrix}x_{c}\\y_{c}\end{pmatrix}}.$

Поворот на угол α можно осуществить путем диагонализации матрицы A ₃₃ .Таким образом, если $\lambda _{1}$ и $\lambda _{2}$ являются собственными значениями матрицы A ₃₃ , центрированное уравнение можно переписать в новых переменных x' и y' как

$$\lambda _{1}x'^{2}+\lambda _{2}y'^{2}=-{\frac {\det A_{Q}}{\det A_{33}}}.$$

Деление на $K=-{\frac {\det A_{Q}}{\det A_{33}}}$ мы получаем стандартную каноническую форму.

Например, для эллипса эта форма имеет вид

$${\frac {{x'}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {{y'}^{2}}{b^{2}}}=1.$$

Отсюда получаем a и b — длины большой и малой полуосей в обычных обозначениях.

Для центральных коник оба собственных значения отличны от нуля, и классификацию конических сечений можно получить, исследуя их.

• Если λ ₁ и λ ₂ имеют одинаковый алгебраический знак, то Q является вещественным эллипсом, мнимым эллипсом или вещественной точкой, если K имеет одинаковый знак, имеет противоположный знак или равно нулю соответственно.
• Если λ ₁ и λ ₂ имеют противоположные алгебраические знаки, то Q является гиперболой или двумя пересекающимися прямыми в зависимости от того, является ли K ненулевым или нулевым соответственно.

Топоры

По теореме о главной оси два собственных вектора матрицы квадратичной формы центрального конического сечения (эллипса или гиперболы) перпендикулярны ( ортогональны друг другу) и каждый из них параллелен (в том же направлении, что и) либо большому, либо малая ось коники. Собственный вектор, имеющий наименьшее собственное значение (по абсолютной величине ), соответствует большой оси.

В частности, если центральное коническое сечение имеет центр ( x _c , y _c ) и собственный вектор A ₃₃ задается v ( v ₁ , v ₂ ), то главная ось (большая или второстепенная), соответствующая этому собственному вектору, имеет уравнение:

$${\frac {x-x_{c}}{v_{1}}}={\frac {y-y_{c}}{v_{2}}}.$$

Вершины

Вершины . центральной коники можно определить, вычислив пересечения коники и ее осей, т. е. решив систему, состоящую из квадратного уравнения коники и линейного уравнения для попеременно той или другой из осей Для каждой оси получается две или ни одной вершины, так как в случае гиперболы малая ось не пересекает гиперболу в точке с действительными координатами. Однако, если рассматривать комплексную плоскость в более широком смысле , малая ось гиперболы пересекает гиперболу, но в точках с комплексными координатами.

Полюса и поляры

Основная статья: Полюс и полярный

Используя однородные координаты , точки

$$\mathbf {p} ={\begin{pmatrix}p_{0}\\p_{1}\\p_{2}\end{pmatrix}}$$

и $\mathbf {r} ={\begin{pmatrix}r_{0}\\r_{1}\\r_{2}\end{pmatrix}}$сопряжены что относительно коники Q при условии,

$$\mathbf {p} ^{\mathsf {T}}A_{Q}\mathbf {r} =0.$$

Сопряженные с неподвижной точкой р либо образуют прямую, либо состоят из всех точек плоскости коники. Когда сопряженные точки p образуют линию, эта линия называется полярой p , а точка p называется полюсом линии относительно коники. Эта связь между точками и линиями называется полярностью .

Если коника невырождена, то сопряженные точки всегда образуют линию, а полярность, определяемая коникой, представляет собой биекцию между точками и прямыми расширенной плоскости, содержащей конику (т. е. плоскость вместе с точками и линия на бесконечности ).

Если точка p лежит на конике Q , полярная линия p является касательной к Q в точке p .

Уравнение полярной линии точки p относительно невырожденной коники Q в однородных координатах имеет вид

$$\mathbf {p} ^{T}A_{Q}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=0.$$

Подобно тому, как p однозначно определяет свою полярную линию (относительно данной коники), так и каждая линия определяет уникальный полюс p . Более того, точка p находится на прямой L , которая является полярой точки r , тогда и только тогда, когда поляра p проходит через точку r ( Ла Гира ). теорема Таким образом, эта связь является выражением геометрической двойственности между точками и линиями на плоскости.

Несколько знакомых понятий о конических сечениях напрямую связаны с этой полярностью. Центр . невырожденной коники можно определить как полюс линии, находящейся на бесконечности Парабола, касающаяся бесконечной линии, будет иметь центр, расположенный на бесконечной линии. Гиперболы пересекают линию на бесконечности в двух различных точках, а полярные линии этих точек являются асимптотами гиперболы и касательными к гиперболе в этих точках бесконечности. Кроме того, полярная линия фокуса коники является соответствующей ей директрисой.

Касательные

Пусть прямая L — полярная линия точки p относительно невырожденной Q. коники По теореме Ла Гира каждая прямая, проходящая через , имеет полюс на L. p Если L пересекает Q в двух точках (максимально возможное), то поляры этих точек представляют собой касательные линии, проходящие через точку p , и такая точка называется внешней или внешней точкой Q . Если L пересекает Q только в одной точке, то это касательная линия, а p — точка касания. Наконец, если L не пересекает Q , то p не имеет касательных, проходящих через него, и такая точка называется внутренней или внутренней точкой.

Уравнение касательной (в однородных координатах) в точке p на невырожденной конике Q имеет вид:

$$\mathbf {p} ^{\mathsf {T}}A_{Q}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}=0.$$

Если p — внешняя точка, сначала найдите уравнение ее поляры (уравнение выше), а затем пересечения этой линии с коникой, скажем, в точках s и t . Поляры s и t будут касательными через p .

Используя теорию полюсов и поляров, задача нахождения четырёх взаимных касательных двух коник сводится к нахождению пересечения двух коник .

См. также

• Коническое сечение § Общая декартова форма
• Квадратичная форма (статистика)

Ссылки

• Аюб, AB (1993), «Возвращение к центральным коническим сечениям», Mathematics Magazine , 66 (5): 322–325, doi : 10.1080/0025570x.1993.11996157
• Браннан, Дэвид А.; Эсплен, Мэтью Ф.; Грей, Джереми Дж. (1999), Геометрия , Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-59787-6
• Лоуренс, Дж. Деннис (1972), Каталог специальных плоских кривых , Дувр
• Остерманн, Александр; Ваннер, Герхард (2012), Геометрия в ее истории , Springer, doi : 10.1007/978-3-642-29163-0 , ISBN  978-3-642-29163-0
• Петтофрезцо, Энтони (1978) [1966], Матрицы и преобразования , Дувр, ISBN  978-0-486-63634-4
• Испания, Барри (2007) [1957], Analytical Conics , Дувр, ISBN  978-0-486-45773-4