Вырожденная коническая

$x^{2}-y^{2}=0$

$x^{2}-1=0$

$x^{2}=0$

$x^{2}+y^{2}=0$

В геометрии — вырожденная коника это коника второй степени ( плоская кривая , определяемая полиномиальным уравнением второй степени), которая не может быть неприводимой кривой . Это означает, что определяющее уравнение факторизуется по комплексным числам (или, в более общем смысле, по алгебраически замкнутому полю ) как произведение двух линейных многочленов.

Используя альтернативное определение коники как пересечение в трехмерном пространстве плоскости , коника является вырожденной , и двойного конуса если плоскость проходит через вершину конусов.

В вещественной плоскости вырожденной коникой могут быть две прямые, которые могут быть или не быть параллельными, одна линия (либо две совпадающие прямые, либо объединение прямой и бесконечной прямой ), одна точка (фактически две комплексные линии) . сопряженные линии ) или нулевой набор (удвоенная бесконечная линия или две параллельные комплексно-сопряженные прямые).

Все эти вырожденные коники могут встречаться в пучках коник. То есть, если две действительные невырожденные коники определяются квадратными полиномиальными уравнениями f = 0 и g = 0 , то коники уравнений af + bg = 0 образуют пучок, который содержит одну или три вырожденные коники. Для любой вырожденной коники на вещественной плоскости можно выбрать f и g так, чтобы данная вырожденная коника принадлежала определяемому ими пучку.

Примеры

Карандаши кругов: в карандаше красных кругов единственной вырожденной коникой является горизонтальная ось; пучок синих кругов имеет три вырожденные коники, вертикальную ось и два круга нулевого радиуса.

Коническое сечение с уравнением $x^{2}-y^{2}=0$ является вырожденным, поскольку его уравнение можно записать как $(x-y)(x+y)=0$и соответствует двум пересекающимся линиям, образующим букву «X». Эта вырожденная коника возникает как предельный случай $a=1,b=0$ в пучке гипербол ​ уравнений $a(x^{2}-y^{2})-b=0.$ Предельный случай $a=0,b=1$ является примером вырожденной коники, состоящей из двойной бесконечной прямой.

Аналогично, коническое сечение с уравнением $x^{2}+y^{2}=0$, имеющий только одну действительную точку, вырожден, так как $x^{2}+y^{2}$ факторизуется как $(x+iy)(x-iy)$ над комплексными числами . Таким образом, коника состоит из двух комплексно-сопряженных прямых , пересекающихся в единственной вещественной точке: $(0,0)$, конической.

Пучок эллипсов уравнений $ax^{2}+b(y^{2}-1)=0$ деградирует, ибо $a=0,b=1$, на две параллельные прямые и, для $a=1,b=0$, в двойную линию.

Карандаш кругов уравнений $a(x^{2}+y^{2}-1)-bx=0$ вырождается из-за $a=0$ на две линии: линию на бесконечности и линию уравнения $x=0$.

Классификация

Над комплексной проективной плоскостью существует только два типа вырожденных коник — две разные прямые, обязательно пересекающиеся в одной точке, или одна двойная прямая. Любую вырожденную конику можно преобразовать проективным преобразованием в любую другую вырожденную конику того же типа.

На реальной аффинной плоскости ситуация сложнее. Вырожденная вещественная коника может быть:

• Две пересекающиеся линии, например $x^{2}-y^{2}=0\Leftrightarrow (x+y)(x-y)=0$
• Две параллельные прямые, например $x^{2}-1=0\Leftrightarrow (x+1)(x-1)=0$
• Двойная линия (кратность 2), например $x^{2}=0$
• Две пересекающиеся комплексно-сопряженные прямые (только одна действительная точка), например $x^{2}+y^{2}=0\Leftrightarrow (x+iy)(x-iy)=0$
• Две параллельные комплексно-сопряженные прямые (без реальной точки), например $x^{2}+1=0\Leftrightarrow (x+i)(x-i)=0$
• Одиночная линия и линия на бесконечности
• Дважды линия на бесконечности (нет реальной точки в аффинной плоскости )

Для любых двух вырожденных коник одного класса существуют аффинные преобразования, переводящие первую конику во вторую.

Дискриминант

Вырожденная гипербола $3x^{2}-2xy-y^{2}-6x+10y-9=0,$ какие факторы как $(x-y+1)(3x+y-9)=0,$ представляет собой объединение красного и синего локусов.

Вырожденная парабола $9x^{2}+12xy+4y^{2}-54x-36y+72$ $=0,$ какие факторы как $(3x+2y-6)(3x+2y-12)=0,$ представляет собой объединение красного и синего локусов.

Невырожденные вещественные коники можно классифицировать как эллипсы, параболы или гиперболы по дискриминанту неоднородной формы. $Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dx+2Ey+F$, который является определителем матрицы

$M={\begin{bmatrix}A&B\\B&C\\\end{bmatrix}},$

матрица квадратичной формы в $(x,y)$. Этот определитель может быть положительным, нулевым или отрицательным, поскольку коника является соответственно эллипсом, параболой или гиперболой.

Аналогично конику можно классифицировать как невырожденную или вырожденную по дискриминанту однородной квадратичной формы в $(x,y,z)$. Здесь аффинная форма гомогенизируется до

$Ax^{2}+2Bxy+Cy^{2}+2Dxz+2Eyz+Fz^{2};$

дискриминант этой формы является определителем матрицы

$Q={\begin{bmatrix}A&B&D\\B&C&E\\D&E&F\\\end{bmatrix}}.$

Коника вырождена тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю. В этом случае у нас есть следующие возможности:

• Две пересекающиеся прямые (гипербола, выродившаяся в две асимптоты) тогда и только тогда, когда $\det M<0$ (см. первую схему).
• Две параллельные прямые (вырожденная парабола) тогда и только тогда, когда $\det M=0$. Эти линии различны и вещественны, если $D^{2}+E^{2}>(A+C)F$ (см. вторую диаграмму), совпадает, если $D^{2}+E^{2}=(A+C)F$, и не существует в реальной плоскости, если $D^{2}+E^{2}<(A+C)F$.
• Отдельная точка (вырожденный эллипс) тогда и только тогда, когда $\det M>0$.
• Одиночная линия (и линия на бесконечности) тогда и только тогда, когда $A=B=C=0,$ и $D$ и $E$ оба не равны нулю. Этот случай всегда имеет место как вырожденная коника в пучке окружностей . Однако в других контекстах она не считается вырожденной коникой, поскольку ее уравнение не имеет степени 2.

Случай совпадающих прямых имеет место тогда и только тогда, когда ранг матрицы 3×3 $Q$ равен 1; во всех остальных вырожденных случаях его ранг равен 2.

Связь с пересечением плоскости и конуса

Коники, также известные как конические сечения, чтобы подчеркнуть их трехмерную геометрию, возникают в результате пересечения плоскости с конусом . Вырождение происходит, когда плоскость содержит вершину конуса или когда конус вырождается в цилиндр и плоскость параллельна оси цилиндра. см . в разделе «Коника» № «Вырожденные случаи» Подробности .

Приложения

Вырожденные коники, как и вообще вырожденные алгебраические многообразия , возникают как пределы невырожденных коник и играют важную роль в компактификации пространств модулей кривых .

Например, пучок кривых (одномерная линейная система коник ), определенный формулой $x^{2}+ay^{2}=1$ невырожден для $a\neq 0$ но вырожден для $a=0;$ конкретно, это эллипс для $a>0,$ две параллельные линии для $a=0,$ и гипербола с $a<0$ – повсюду одна ось имеет длину 2, а другая — длину ${\textstyle 1/{\sqrt {|a|}},}$ что является бесконечностью для $a=0.$

Такие семейства возникают естественным образом — даны четыре точки в общем линейном положении (на прямой нет трёх), через них проходит пучок коник ( пять точек определяют конику , четыре точки оставляют один параметр свободным), из которых три вырождены, каждая состоящая из пары линий, соответствующих $\textstyle {{\binom {4}{2,2}}=3}$ способы выбора 2 пар точек из 4 точек (считая через полиномиальный коэффициент ).

Внешние видео
типа I Линейная система ( Коффмана ).

Например, учитывая четыре пункта $(\pm 1,\pm 1),$ пучок коник, проходящий через них, можно параметризовать как $(1+a)x^{2}+(1-a)y^{2}=2,$ получение следующего карандаша; во всех случаях центр находится в начале координат:

• $a>1:$ гиперболы, открывающиеся влево и вправо;
• $a=1:$ параллельные вертикальные линии $x=-1,\ x=1;$
• $0<a<1:$ эллипсы с вертикальной большой осью;
• $a=0:$ круг (с радиусом ${\sqrt {2}}$);
• $-1<a<0:$ эллипсы с горизонтальной большой осью;
• $a=-1:$ параллельные горизонтальные линии $y=-1,\ y=1;$
• $a<-1:$ гиперболы, раскрывающиеся вверх и вниз,
• $a=\infty :$ диагональные линии $y=x,\ y=-x;$

(деление на $a$ и принимая предел как $a\to \infty$ урожайность $x^{2}-y^{2}=0$)

• Затем это зацикливается на $a>1,$ поскольку карандаши представляют собой проективную линию.

Обратите внимание, что эта параметризация имеет симметрию: изменение знака a меняет местами x и y . По терминологии ( Леви, 1964 ) это линейная система коник типа I, анимированная в связанном видео.

Яркое применение такого семейства можно найти в работе ( Fausette 1996 ), которая дает геометрическое решение уравнения четвертой степени , рассматривая пучок коник через четыре корня квартики и отождествляя три вырожденные коники с тремя корнями резольвентной кубики. .

Теорема Паппа о шестиугольнике — это частный случай теоремы Паскаля , когда коника вырождается в две прямые.

Вырождение

В комплексной проективной плоскости все коники эквивалентны и могут вырождаться либо в две разные прямые, либо в одну двойную прямую.

В реальной аффинной плоскости:

• Гиперболы могут вырождаться в две пересекающиеся линии (асимптоты), как в $x^{2}-y^{2}=a^{2},$ или к двум параллельным прямым: $x^{2}-a^{2}y^{2}=1,$ или на двойную линию $x^{2}-a^{2}y^{2}=a^{2},$ как переходит в 0.
• Параболы могут вырождаться в две параллельные прямые: $x^{2}-ay-1=0$ или двойная линия $x^{2}-ay=0,$ как переходит в 0; но, поскольку параболы имеют двойную точку на бесконечности, они не могут вырождаться в две пересекающиеся линии.
• Эллипсы могут вырождаться в две параллельные прямые: $x^{2}+a^{2}y^{2}-1=0$ или двойная линия $x^{2}+a^{2}y^{2}-a^{2}=0,$ как переходит в 0; но, поскольку они имеют на бесконечности сопряженные комплексные точки, которые при вырождении становятся двойной точкой, они не могут выродиться в две пересекающиеся прямые.

Вырожденные коники могут далее вырождаться в более специальные вырожденные коники, на что указывают размеры пространств и точек на бесконечности.

• Две пересекающиеся прямые могут превратиться в две параллельные, если вращаться до тех пор, пока они не станут параллельными, как в примере $x^{2}-ay^{2}-1=0,$ или в двойную линию путем вращения друг друга вокруг точки, как в $x^{2}-ay^{2}=0,$ в каждом случае a переходит в 0.
• Две параллельные прямые могут переродиться в двойную линию, переходя друг в друга, как в $x^{2}-a^{2}=0$ при a переходит в 0, но не может выродиться в непараллельные прямые.
• Двойная линия не может вырождаться до других типов.
• Другой тип вырождения происходит для эллипса, когда сумма расстояний до фокусов должна равняться межфокальному расстоянию; таким образом, его малая полуось равна нулю, а эксцентриситет равен единице. В результате получается отрезок прямой (вырожденный, поскольку эллипс не дифференцируем в конечных точках) с фокусами в конечных точках. В качестве орбиты это радиальная эллиптическая траектория .

Точки для определения

Общая коника определяется пятью точками : если даны пять точек в общем положении , то через них проходит единственная коника. Если три из этих точек лежат на прямой, то коника приводима и может быть единственной, а может и не быть единственной. Если никакие четыре точки не лежат на одной прямой, то пять точек определяют уникальную конику (вырожденную, если три точки лежат на одной прямой, но две другие точки определяют уникальную другую линию). Однако если четыре точки лежат на одной прямой, то через них не проходит уникальная коника — одна линия проходит через четыре точки, а оставшаяся линия проходит через другую точку, но угол не определен, оставляя 1 параметр свободным. Если все пять точек лежат на одной прямой, то оставшаяся линия свободна, что оставляет свободными 2 параметра.

Учитывая четыре точки, находящиеся в общем линейном положении (никаких трех коллинеарных; в частности, нет двух совпадающих), через них проходят ровно три пары прямых (вырожденных коник), которые, вообще говоря, будут пересекающимися, если только точки не образуют трапецию ( одна пара параллельна) или параллелограмм (две пары параллельны).

Учитывая три точки, если они неколлинеарны, через них проходят три пары параллельных линий — выберите две, чтобы определить одну линию, и третью, чтобы параллельная линия проходила, согласно постулату параллельности .

Учитывая две различные точки, через них проходит уникальная двойная линия.

Ссылки

• Коффман, Адам, Линейные системы коник , заархивировано из оригинала 2 июля 2018 г. , получено 3 июля 2013 г.
• Фосетт, Уильям Марк (январь 1996 г.), «Геометрическая интерпретация решения общего полинома четвертой степени», The American Mathematical Monthly , 103 (1): 51–57, CiteSeerX   10.1.1.111.5574 , JSTOR   2975214
• Лэсли-младший, JW (май 1957 г.), «О вырожденных кониках», The American Mathematical Monthly , 64 (5), Математическая ассоциация Америки : 362–364, JSTOR   2309606
• Леви, Гарри (1964), Проективная и родственная геометрия , Нью-Йорк: The Macmillan Co., стр. x+405.
• Милн, Дж. Дж. (январь 1926 г.), «Заметка о вырожденных кониках», The Mathematical Gazette , 13 (180), The Mathematical Association: 7–9, JSTOR   3602237
• Петтофрезцо, Энтони (1978) [1966], Матрицы и преобразования , Дувр, ISBN  978-0-486-63634-4
• Испания, Барри (2007) [1957], Analytical Conics , Дувр, ISBN  0-486-45773-7
• «7.2 Общее квадратное уравнение» , Стандартные математические таблицы и формулы CRC (30-е изд.)