Линейная система коник

Внешние видео
Внешние видео
	типа I Линейная система ( Коффмана ).

В алгебраической геометрии конические сечения на проективной плоскости образуют линейную систему размерности пять, как можно увидеть, подсчитав константы в уравнениях второй степени . Условие прохождения через данную точку P накладывает единственное линейное условие, так что коники C через P образуют линейную систему размерности 4. Другие типы условий, которые представляют интерес, включают касание к данной прямой L .

В самых элементарных рассмотрениях линейная система представляется в виде уравнений

\lambda C+\mu C'=0\

с неизвестными скалярами λ и µ, которые не равны нулю. Здесь C и C′ — заданные коники. Абстрактно можно сказать, что это проективная прямая в пространстве всех коник, на которой мы берем

[\lambda :\mu ]\

как однородные координаты . Геометрически мы замечаем, что любая точка Q, общая с C и C′, также находится на каждой из коник линейной системы. По теореме Безу C и C′ будут пересекаться в четырёх точках (если правильно посчитать). Предполагая, что они находятся в общем положении , то есть четыре различных пересечения, мы получаем другую интерпретацию линейной системы как коники, проходящие через четыре заданные точки (обратите внимание, что коразмерность четыре здесь соответствует размерности единица в пятимерном пространстве коник). ). Заметим, что из этих коник вырождены ровно три , каждая из которых состоит из пары прямых, соответствующих $\textstyle {{\binom {4}{2,2}}/2=3}$ способы выбора 2 пар точек из 4 точек (счет через полиномиальный коэффициент и учет пересчета в 2 раза, что $\textstyle {\binom {4}{2}}$ делает, когда заинтересован в подсчете пар пар, а не просто в выборе размера 2).

Приложения

Яркое применение такого семейства можно найти в работе ( Fausette 1996 ), которая дает геометрическое решение уравнения четвертой степени , рассматривая пучок коник через четыре корня квартики и отождествляя три вырожденные коники с тремя корнями резольвентной кубики. .

Пример

Например, учитывая четыре пункта $(\pm 1,\pm 1),$ пучок коник, проходящий через них, можно параметризовать как $ax^{2}+(1-a)y^{2}=1,$ которые являются аффинными комбинациями уравнений $x^{2}=1$ и $y^{2}=1,$ соответствующие параллельным вертикальным линиям и горизонтальным линиям; это дает вырожденные коники в стандартных точках $0,1,\infty .$ Менее элегантная, но более симметричная параметризация определяется выражением $(1+a)x^{2}+(1-a)y^{2}=2,$ в этом случае инвертирование a ( $a\mapsto -a$ ) меняет местами x и y , получая следующий карандаш; во всех случаях центр находится в начале координат:

$a>1:$ гиперболы, открывающиеся влево и вправо;
$a=1:$ параллельные вертикальные линии $x=-1,x=1;$

(точка пересечения в [1:0:0])

$0<a<1:$ эллипсы с вертикальной большой осью;
$a=0:$ круг (с радиусом ${\sqrt {2}}$ );
$-1<a<0:$ эллипсы с горизонтальной большой осью;
$a=-1:$ параллельные горизонтальные линии $y=-1,y=1;$

(точка пересечения в [0:1:0])

$a<-1:$ гиперболы, раскрывающиеся вверх и вниз,
$a=\infty :$ диагональные линии $y=x,y=-x;$

(деление на

a

и принимая предел как

a\to \infty

урожайность

x^{2}-y^{2}=0

)

(точка пересечения [0:0:1])

Затем это зацикливается на $a>1,$ поскольку карандаши представляют собой проективную линию.

По терминологии ( Леви, 1964 ) это линейная система коник типа I, анимированная в связанном видео.

Классификация

Существует 8 типов линейных систем коник над комплексными числами в зависимости от кратности пересечений в базовых точках, которые делятся на 13 типов над действительными числами в зависимости от того, действительные или мнимые базовые точки; это обсуждается в ( Levy 1964 ) и иллюстрируется в ( Coffman ).

Ссылки

Коффман, Адам, Линейные системы коник , получено 8 августа 2020 г.
Фосетт, Уильям Марк (январь 1996 г.), «Геометрическая интерпретация решения общего полинома четвертой степени», The American Mathematical Monthly , 103 (1): 51–57, CiteSeerX 10.1.1.111.5574 , JSTOR 2975214
Леви, Гарри (1964), Проективная и родственная геометрия , Нью-Йорк: The Macmillan Co., стр. x+405.