Общее положение

В алгебраической геометрии и вычислительной геометрии общее положение — это понятие универсальности набора точек или других геометрических объектов. Это означает общую ситуацию, в отличие от некоторых более частных или случайных случаев, которые возможны, что называется особым положением . Его точное значение различается в разных условиях.

Например, в общем случае две линии на плоскости пересекаются в одной точке (они не параллельны и не совпадают). Еще говорят: «две общие прямые пересекаются в одной точке», что формализуется понятием общей точки . Точно так же три общие точки на плоскости не лежат на одной прямой ; если три точки лежат на одной прямой (даже сильнее, если две совпадают), то это вырожденный случай .

Это понятие важно в математике и ее приложениях, потому что вырожденные случаи могут потребовать исключительного подхода; например, при формулировании общих теорем или их точных формулировках, а также при написании компьютерных программ (см. Общая сложность ).

Общее линейное положение

Набор точек в d - мерном аффинном пространстве ( d -мерное евклидово пространство частым примером является ) находится в общем линейном положении (или просто в общем положении ), если ни одно из них не лежит в ( k − 2) -мерной k плоскости для к = 2, 3, ..., d + 1 . Эти условия содержат значительную избыточность, поскольку, если условие выполняется для некоторого значения k ₀ , то оно также должно выполняться для всех k с 2 ⩽ k ⩽ k ₀ . Таким образом, для того, чтобы набор, содержащий не менее d + 1 точек в d -мерном аффинном пространстве, находился в общем положении, достаточно, чтобы ни одна гиперплоскость не содержала более d точек - т. е. точки не удовлетворяют никакому большему количеству линейных отношений, чем должны.

Множество, состоящее не более чем из d + 1 точки в общем линейном положении, также называется аффинно независимым (это аффинный аналог линейной независимости векторов или, точнее, максимального ранга), а d + 1 точек в общем линейном положении в аффинное d -пространство является аффинным базисом . см. в разделе аффинное преобразование Дополнительную информацию .

Аналогично, n векторов в n -мерном векторном пространстве линейно независимы тогда и только тогда, когда точки, которые они определяют в проективном пространстве (размерности n - 1 ), находятся в общем линейном положении.

Если набор точек не находится в общем линейном положении, это называется вырожденным случаем или вырожденной конфигурацией, что означает, что они удовлетворяют линейному соотношению, которое не всегда должно выполняться.

Фундаментальное применение состоит в том, что на плоскости пять точек определяют конику , пока точки находятся в общем линейном положении (никакие три не лежат на одной прямой).

В более общем плане

Это определение можно обобщить дальше: можно говорить о точках общего положения относительно фиксированного класса алгебраических отношений (например, конических сечений ). В алгебраической геометрии такое условие часто встречается, поскольку точки должны налагать независимые условия на проходящие через них кривые.

Например, пять точек определяют конику , но в общем случае шесть точек не лежат на конике, поэтому для нахождения в общем положении относительно коники требуется, чтобы никакие шесть точек не лежали на конике.

Общее положение сохраняется при бирегулярных картах - если точки изображения удовлетворяют отношению, то при бирегулярном отображении это отношение может быть возвращено к исходным точкам. Примечательно, что отображение Веронезе бирегулярно; поскольку точки под картой Веронезе соответствуют оценке полинома степени d в этой точке, это формализует представление о том, что точки в общем положении налагают независимые линейные условия на многообразия, проходящие через них.

Основное условие общего положения состоит в том, чтобы точки не попадали на подмногообразия более низкой степени, чем необходимо; на плоскости две точки не должны совпадать, три точки не должны попадать на прямую, шесть точек не должны попадать на конику, десять точек не должны попадать на кубику, и то же для более высокой степени.

Однако этого недостаточно. Хотя девять точек определяют кубику, существуют конфигурации из девяти точек, особые по отношению к кубикам, а именно пересечение двух кубиков. Пересечение двух кубов, то есть $3\times 3=9$точек (по теореме Безу ), является особенным тем, что девять точек общего положения содержатся в единственной кубике, а если они содержатся в двух кубиках, то они фактически содержатся в пучке (1-параметрической линейной системе ) кубик, чья уравнения представляют собой проективные линейные комбинации уравнений двух кубик. Таким образом, такие наборы точек налагают на содержащие их кубики на одно условие меньше, чем ожидалось, и, соответственно, удовлетворяют дополнительному ограничению, а именно теореме Кэли-Бакараха о том, что любая кубика, содержащая восемь точек, обязательно содержит девятую. Аналогичные утверждения справедливы и для более высокой степени.

Для точек на плоскости или на алгебраической кривой понятие общего положения становится алгебраически точным благодаря понятию регулярного делителя и измеряется исчезновением групп когомологий более высокого пучка соответствующего линейного расслоения (формально, обратимого пучка ). Как следует из терминологии, это значительно более технический подход, чем интуитивная геометрическая картина, подобно тому, как формальное определение числа пересечений требует сложной алгебры. Это определение обобщается в более высоких измерениях на гиперповерхности (подмногообразия коразмерности 1), а не на наборы точек, а регулярные дивизоры противопоставляются сверхизбыточным дивизорам , как обсуждается в теореме Римана-Роха для поверхностей .

Обратите внимание, что не все точки общего положения проективно эквивалентны, что является гораздо более сильным условием; например, любые k различных точек на линии находятся в общем положении, но проективные преобразования являются только 3-транзитивными, при этом инвариантом 4 точек является перекрестное отношение .

Разная геометрия

Различные геометрии допускают разные представления о геометрических ограничениях. Например, круг — это понятие, которое имеет смысл в евклидовой геометрии , но не в аффинной линейной геометрии или проективной геометрии, где круги нельзя отличить от эллипсов, поскольку можно сжать круг до эллипса. Точно так же парабола — это понятие в аффинной геометрии, но не в проективной геометрии, где парабола — это просто разновидность коники. Геометрия, которая в подавляющем большинстве случаев используется в алгебраической геометрии, является проективной геометрией, а аффинная геометрия находит значительное, но гораздо меньшее применение.

Таким образом, в евклидовой геометрии три неколлинеарные точки определяют окружность (как описанную ими окружность треугольника), а четыре точки вообще нет (они делают это только для вписанных четырехугольников ), поэтому понятие «общего положения относительно к окружностям», а именно: «никакие четыре точки не лежат на окружности» имеет смысл. В проективной геометрии, напротив, круги не отличаются от коник, а пять точек определяют конику, поэтому не существует проективного понятия «общего положения относительно кругов».

Общий тип

Дополнительная информация: Общий тип.

Общее положение — это свойство конфигураций точек или, в более общем смысле, других подмножеств (линии в общем положении, поэтому не должно быть трех параллельных и т.п.). Общее положение — это внешнее понятие, которое зависит от вложения как подмногообразия. Неформально подразновидности находятся в общем положении, если их нельзя описать проще, чем другие. Внутренним . аналогом общего положения является общий тип и соответствует многообразию, которое не может быть описано более простыми полиномиальными уравнениями, чем другие Это формализуется понятием кодайрской размерности многообразия, и по этой мере проективные пространства являются наиболее специальными разновидностями, хотя существуют и другие, столь же специальные, то есть имеющие отрицательную кодайровскую размерность. Для алгебраических кривых результирующая классификация: проективная линия, тор, поверхности высшего рода ( $g\geq 2$), и аналогичные классификации встречаются в более высоких размерностях, особенно Энриквеса-Кодайры классификация алгебраических поверхностей .

Другие контексты

В теории пересечений , как в алгебраической геометрии, так и в геометрической топологии , используется аналогичное понятие трансверсальности : подмногообразия вообще пересекаются трансверсально, то есть с кратностью 1, а не являются касательными или другими пересечениями более высокого порядка.

плоскости

При обсуждении мозаик Вороного и триангуляций Делоне , что набор точек на плоскости на плоскости говорят находится в общем положении только в том случае, если никакие четыре из них не лежат на одном круге и никакие три из них не лежат на одной прямой. Обычное преобразование подъема, которое связывает триангуляцию Делоне с нижней половиной выпуклой оболочки (т. е. присваивает каждой точке p дополнительную координату, равную | p | ² ) показывает связь с плоской проекцией: четыре точки лежат на окружности или три из них лежат на одной прямой точно тогда, когда их поднятые аналоги не находятся в общем линейном положении.

Абстрактно: конфигурационные пространства

Говоря очень абстрактно, общая позиция — это обсуждение общих свойств конфигурационного пространства ; в этом контексте имеются в виду свойства, которые выполняются в общей точке конфигурационного пространства или, что то же самое, в открытом по Зарисскому множестве.

Это понятие совпадает с теоретико-мерным понятием общего положения, которое означает почти всюду в конфигурационном пространстве, или, что то же самое, что точки, выбранные наугад, почти наверняка (с вероятностью 1) будут находиться в общем положении.

Ссылки

• Йель, Пол Б. (1968), Геометрия и симметрия , Холден-Дэй