Теорема Кэли – Бахараха

Изображение для теоремы о 9 точках, специальный случай, когда C ₁ и C ₂ являются объединением трех строк.

В математике теорема Кэли -Бакараха — это утверждение о кубических кривых (плоских кривых третьей степени) в проективной плоскости P. ² . В оригинальной форме указано:

Предположим, что две кубики C ₁ и C ₂ на проективной плоскости встречаются в девяти (разных) точках, как это происходит, вообще говоря, над алгебраически замкнутым полем . Тогда каждая кубика, проходящая через любые восемь точек, проходит и через девятую точку.

Более внутренняя форма теоремы Кэли – Бахараха выглядит следующим образом:

Всякая кубическая кривая C над алгебраически замкнутым полем , проходящая через заданный набор из восьми точек P1 _, ..., P8 _, проходит также (с учетом кратностей) через девятую точку P9 _, зависящую только от P1 _, ..., П ₈ .

Похожий результат о кониках был впервые доказан французским геометром Мишелем Шалем , а затем обобщен на кубики Артуром Кэли и Исааком Бакараком .

Подробности

семь точек P1 _{, то девятую точку можно} , ..., P8 _Если лежат на конике выбрать на этой конике, поскольку C всегда будет содержать всю конику в силу теоремы Безу . В остальных случаях имеем следующее.

Если никакие семь точек из P ₁ , ..., P ₈ не являются коконическими, то векторное пространство кубических однородных многочленов, обращающихся в нуль на ( аффинных конусах ) P ₁ , ..., P ₈ (с кратностью для двойные точки) имеет размерность два.

случае каждая кубика через P1 _также ,..., P8 _В проходит через пересечение любых двух разных кубик через P1 _этом ,..., P8 _{, которое имеет} не менее девяти точек (над алгебраическим замыканием ) на объяснение теоремы Безу . быть охвачены только P1 _Эти , ..., P8 _, что дает нам P9 _{точки не могут} .

Поскольку вырожденная коника представляет собой объединение не более двух прямых, на вырожденной конике всегда четыре из семи точек лежат на одной прямой. Следовательно:

никакие семь точек из P1 _не ,..., P8 _Если лежат на невырожденной конике и никакие четыре точки из P1 _{пространство} ,..., P8 _не лежат на прямой, то векторное кубической однородной полиномы , обращающиеся в нуль на (аффинных конусах) P ₁ , ..., P _8, имеют размерность два.

С другой стороны, предположим, что P ₁ , P ₂ , P ₃ , P ₄ лежат на одной прямой и никакие семь точек из P ₁ , ..., P ₈ не являются коконическими. никакие пять точек P1 _и ,..., P8 _не три точки P5 _одной , P6 _P8 , P7 _{лежат на} , Тогда _{никакие} прямой. Поскольку C всегда будет содержать всю прямую через P ₁ , P ₂ , P ₃ , P ₄ на основании теоремы Безу , векторное пространство кубических однородных многочленов, которые обращаются в нуль на (аффинных конусах) P ₁ , ..., P ₈ изоморфно векторному пространству квадратичных однородных полиномов, обращающихся в нуль (аффинные конусы) P ₅ , P ₆ , P ₇ , P ₈ , который имеет размерность два.

Хотя наборы условий для обоих результатов измерения два различны, они оба строго слабее , чем полные общие положения: три точки могут быть коллинеарны, а шесть точек могут лежать на конике (обычно две точки определяют прямую и пять точек определяют конику ). Для теоремы Кэли – Бахараха необходимо иметь семейство кубик, проходящих через девять точек, а не одну.

Согласно теореме Безу , две разные кубические кривые над алгебраически замкнутым полем , не имеющие общей неприводимой компоненты, встречаются ровно в девяти точках (считаются с кратностью). Таким образом, теорема Кэли-Бакараха утверждает, что последняя точка пересечения любых двух членов семейства кривых не перемещается, если уже заданы восемь точек пересечения (без семи коконических).

Приложения

Особым случаем является теорема Паскаля , и в этом случае все две рассматриваемые кубики вырождены: учитывая шесть точек на конике (шестиугольнике), рассмотрим прямые, полученные путем продолжения противоположных сторон - это дает две кубики по три прямые в каждой, которые пересекаются в 9 точках – 6 точек на конике и еще 3. Эти 3 дополнительные точки лежат на прямой, поскольку коника плюс линия, проходящая через любые две точки, представляет собой куб, проходящий через 8 точек.

Второе применение — теорема Паппа о шестиугольнике , аналогичная приведенной выше, но шесть точек расположены на двух прямых, а не на конической.

Наконец, найден третий случай доказательства ассоциативности сложения точек эллиптической кривой . Пусть первая кубика содержит три прямые BC, O(A+B) и A(B+C); и второй куб, содержащий три линии AB, O(B+C) и C(A+B). Следующие восемь точек являются общими для обеих кубик: A, B, C, A+B, -AB, B+C, -BC, O. Следовательно, их девятые точки должны быть одинаковыми -A-(B+C)=- (A+B)-C, дающий ассоциативность.

Подсчет размеров

Теорему Кэли-Бакараха и то, почему она возникает для степени 3, можно понять, подсчитав размерности . Проще говоря, девять точек определяют кубик, но в целом определяют уникальный куб. Таким образом, если девять точек лежат более чем на одной кубике, что эквивалентно пересечению двух кубиков (как 3 × 3 = 9 ), они не находятся в общем положении - они переопределены одним измерением - и, таким образом, кубики, проходящие через них, удовлетворяют одному измерению. дополнительное ограничение, отраженное в свойстве «восемь подразумевает девять». Общее явление называется сверхизобилием ; см. теорему Римана–Роха для поверхностей .

Подробности

Формально, сначала напомним, что, учитывая две кривые степени d , они определяют пучок (однопараметрическую линейную систему ) кривых степени d , взяв проективные линейные комбинации определяющих уравнений; это соответствует двум точкам, определяющим проективную линию в пространстве параметров кривых, которое представляет собой просто проективное пространство.

Теорема Кэли–Бакараха возникает для высокой степени, поскольку количество точек пересечения двух кривых степени d , а именно d ² (по теореме Безу ), растет быстрее, чем количество точек, необходимых для определения кривой степени d , которое определяется выражением

${\frac {(d+1)(d+2)}{2}}-1={\frac {d^{2}+3d}{2}}.$

Сначала они согласуются для d = 3 , поэтому теорема Кэли-Бакараха возникает для кубик, а для более высокой степени d ² больше, отсюда и обобщения более высокой степени.

Подробно, количество точек, необходимых для определения кривой степени d , равно количеству мономов степени d минус 1 из проективизации. Для первых нескольких d это дает:

• d = 1: 2 и 1: две точки определяют линию, две линии пересекаются в точке,
• d = 2: 5 и 4: пять точек определяют конику , две коники пересекаются в четырех точках,
• d = 3: 9 и 9: девять точек определяют кубику, две кубики пересекаются в девяти точках,
• д = 4: 14 и 16.

Таким образом, они сначала совпадают для 3, а количество пересечений больше, когда d > 3 .

Смысл этого в том, что 9 точек пересечения двух кубик находятся в особом положении по отношению к кубикам, тем более для высшей степени, но в отличие от низшей степени: две прямые пересекаются в точке, которая тривиально находится в общем линейном положении, и два квадратика пересекаются в четырех точках, которые (при условии, что квадратики неприводимы, поэтому никакие три точки не лежат на одной прямой) находятся в общеквадратичном положении, поскольку пять точек определяют квадратичное положение, а любые четыре точки (в общем линейном положении) через них проведем пучок квадратичных уравнений, так как система недоопределена. Для кубиков девять точек определяют кубик, но в целом они определяют уникальный кубик – таким образом, прохождение через них двух разных кубиков (и, следовательно, карандаша) является особенным – пространство решений на одно измерение выше, чем ожидалось, и, таким образом, решения удовлетворяют дополнительное ограничение, а именно свойство «8 подразумевает 9».

Более конкретно, поскольку векторное пространство однородных многочленов P ( x , y , z ) степени три от трех переменных x , y , z имеет размерность 10 , система кубических кривых, проходящих через восемь (разных) точек, параметризуется вектором пространство размерности ≥ 2 (обращение полинома в нуль в одной точке накладывает единственное линейное условие). Можно показать, что размерность равна ровно двум, если никакие четыре точки не лежат на одной прямой и никакие семь точек не лежат на конике. Из этого факта можно вывести теорему Кэли – Бахараха.

См. также

• Линейная система делителей

Ссылки

Библиография

• Мишель Шасль , «Трактат о конических сечениях» , Готье-Виллар, Париж, 1885.
• Бахарах, Исаак (1886), «Теорема о пересечении Убера ден Кэли» , Mathematical Annals , 26 (2), Берлин/Гейдельберг: Springer: 275–299, doi : 10.1007/BF01444338 , ISSN   0025-5831 , S2CID   120983080
• Кэли, Артур (1889), На пересечении кривых , Кембридж: Издательство Кембриджского университета .
• Эдвард Д. Дэвис, Энтони В. Герамита и Ферруччо Ореккья, Алгебры Горенштейна и теорема Кэли-Бакарака , Труды Американского математического общества 93 (1985), 593–597.
• Дэвид Эйзенбад , Марк Грин и Джо Харрис , Теоремы и гипотезы Кэли-Бахараха , Бюллетень Американского математического общества 33 (1996), вып. 3, 295–324. МИСТЕР 1376653
• Кац, Габриэль (2005). «Кривые в клетках: алгебро-геометрический зоопарк» arXiv : math/0508076 .