Кубическая плоская кривая

«Кубическая кривая» перенаправляется сюда. Информацию о полиномиальных функциях степени 3 см. в разделе Кубическая функция .

Подборка кубических кривых.

В математике кубическая плоская кривая — это плоская алгебраическая кривая C, определяемая кубическим уравнением.

$F(x,y,z)=0$

применяется к однородным координатам $(x:y:z)$ для проективной плоскости ; или неоднородная версия для аффинного пространства, определяемая установкой z = 1 в таком уравнении. Здесь F — ненулевая линейная комбинация мономов третьей степени

$x^{3},y^{3},z^{3},x^{2}y,x^{2}z,y^{2}x,y^{2}z,z^{2}x,z^{2}y,xyz$

Их десять; следовательно, кубические кривые образуют проективное пространство размерности 9 над любым данным полем K . Каждая точка P единственное линейное условие накладывает на F , если мы попросим, ​​чтобы проходила через P. C Следовательно, мы можем найти некоторую кубическую кривую через любые девять заданных точек, которая может быть вырожденной, а может и не единственной, но будет единственной и невырожденной, если точки находятся в общем положении ; сравните с двумя точками, определяющими линию, и с тем, как пять точек определяют конику . Если две кубики проходят через заданный набор из девяти точек, то фактически проходит пучок кубиков, и точки обладают дополнительными свойствами; см . теорему Кэли – Бахараха .

Особый кубический y ² = х ² ⋅ ( Икс + 1) . Параметризация задается формулой t ↦ ( t ² – 1, т ⋅ ( т ² – 1)) .

Кубическая кривая может иметь особую точку , и в этом случае она имеет параметризацию в терминах проективной прямой . В противном случае неособая известно, что кубическая кривая имеет девять точек перегиба над алгебраически замкнутым полем, таким как комплексные числа . Это можно показать, взяв однородную версию матрицы Гессе , которая снова определяет кубику, и пересекая ее с C ; затем пересечения подсчитываются по теореме Безу . Однако только три из этих точек могут быть действительными, так что остальные нельзя увидеть в вещественной проективной плоскости, нарисовав кривую. Девять точек перегиба неособой кубики обладают тем свойством, что каждая прямая, проходящая через две из них, содержит ровно три точки перегиба.

Реальные точки кубических кривых изучал Исаак Ньютон . Действительные точки неособой проективной кубики распадаются на один или два «овала». Один из этих овалов пересекает каждую вещественную проективную прямую и, таким образом, никогда не бывает ограниченным, когда куб рисуется на евклидовой плоскости ; он выглядит как одна или три бесконечные ветви, содержащие три реальные точки перегиба. Другой овал, если он существует, не содержит никакой реальной точки перегиба и выглядит либо как овал, либо как две бесконечные ветви. Как и в случае с коническими сечениями , линия разрезает этот овал не более чем в двух точках.

Неособая плоская кубика определяет эллиптическую кривую над любым полем K, для которого у нее определена точка. Эллиптические кривые теперь обычно изучаются в некотором варианте эллиптических функций Вейерштрасса , определяющих квадратичное расширение поля рациональных функций, полученное путем извлечения квадратного корня из кубического числа. Это действительно зависит от наличия K - рациональной точки , которая служит точкой на бесконечности в форме Вейерштрасса. Есть много кубических кривых, которые не имеют такой точки, например, когда K — поле рациональных чисел .

Особые точки неприводимой плоской кубической кривой весьма ограничены: одна двойная точка или одна точка возврата . Приводимая плоская кубическая кривая представляет собой либо конику и прямую, либо три прямые и соответственно имеет две двойные точки или такнод (если коника и прямая), либо до трех двойных точек или одну тройную точку ( совпадающие прямые ), если три линии.

Кубические кривые в плоскости треугольника

Предположим, что △ ABC — треугольник с длинами сторон $a=|BC|,$ $b=|CA|,$ $c=|AB|.$ Относительно △ ABC многие именованные кубики проходят через известные точки. В приведенных ниже примерах используются два типа однородных координат: трилинейные и барицентрические .

Чтобы преобразовать трилинейное уравнение в барицентрическое в кубическом уравнении, замените его следующим образом:

$x\to bcx,\quad y\to cay,\quad z\to abz;$

для преобразования из барицентрического в трилинейное используйте

$x\to ax,\quad y\to by,\quad z\to cz.$

Многие уравнения для кубик имеют вид

$f(a,b,c,x,y,z)+f(b,c,a,y,z,x)+f(c,a,b,z,x,y)=0.$

В приведенных ниже примерах такие уравнения записаны более кратко в «нотации циклической суммы», например:

$\sum _{\text{cyclic}}f(x,y,z,a,b,c)=0$.

Кубики, перечисленные ниже, могут быть определены в терминах изогонального сопряжения , обозначаемого X* , точки X, не лежащей на боковой линии △ ABC . Далее следует конструкция X* . Пусть L _A будет отражением линии XA относительно биссектрисы внутреннего угла A и определим L _B и L _C аналогично. Тогда три отраженные линии совпадают в X* . В трехлинейных координатах, если $X=x:y:z,$ затем $X^{*}={\tfrac {1}{x}}:{\tfrac {1}{y}}:{\tfrac {1}{z}}.$

Кубик Нойберга

Кубика Нойберга треугольника △ ABC : Геометрическое положение X такое, что если X _A , X _B , X _C являются отражениями X на боковых линиях BC, CA, AB , то прямые AX _A , BX _B , CX _C совпадают. .

Трилинейное уравнение: $\sum _{\text{cyclic}}(\cos {A}-2\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0$

Барицентрическое уравнение: $\sum _{\text{cyclic}}(a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-2a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

Кубика Нойберга (названная в честь Жозефа Жана Батиста Нойберга ) — это геометрическое место точки X такой, что X* находится на прямой EX , где E — точка бесконечности Эйлера ( X (30) в Энциклопедии центров треугольников ). Также эта кубика является геометрическим местом X такого, что треугольник △ X _A X _B X _C перспективен на △ ABC , где △ X _A X _B X _C — отражение X в прямых BC, CA, AB соответственно .

Кубика Нойберга проходит через следующие точки: центр окружности , центр описанной окружности , ортоцентр , обе точки Ферма , обе изодинамические точки , точку бесконечности Эйлера, другие центры треугольников, эксцентры, отражения A, B, C на боковых линиях △ ABC , и вершины шести равносторонних треугольников, возведенных на сторонах △ ABC .

Графическое представление и обширный список свойств кубики Нойберга см. в K001 в книге Берхарда Гиберта «Кубики в плоскости треугольника» .

Кубик Томсона

Пример кубики Томсона (черная кривая). X находится на кубике, так что изогонально сопряженное с X ( X ′) находится на прямой X (2) – X .

Трилинейное уравнение: $\sum _{\text{cyclic}}bcx(y^{2}-z^{2})=0$

Барицентрическое уравнение: $\sum _{\text{cyclic}}x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

Кубика Томсона — это геометрическое место точки X такой, что X* находится на прямой GX , где G — центр тяжести.

Кубика Томсона проходит через следующие точки: центр тяжести, центроид, центр описанной окружности, ортоцентр, точку симмедианы, другие центры треугольников, вершины A, B, C, эксцентры, середины сторон BC, CA, AB и середины сторон куба Томсона. высоты △ ABC . Для каждой точки P на кубике, но не на боковой линии кубика, изогонально-сопряженная точка P также находится на кубике.

Графики и свойства см. в K002 на сайте Cubics in the Triangle Plane .

Кубик Дарбу

Кубик Дарбу треугольника △ ABC : Геометрическое место X такое, что если D, E, F являются основаниями перпендикуляров из X к боковым линиям BC, CA, AB, то прямые AD, BE, CF совпадают.

Трилинейное уравнение: $\sum _{\text{cyclic}}(\cos {A}-\cos {B}\cos {C})x(y^{2}-z^{2})=0$

Барицентрическое уравнение: $\sum _{\text{cyclic}}(2a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2}-3a^{4})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

Кубика Дарбу — это геометрическое место точки X такой, что X* находится на прямой LX , где L — точка де Лонгшана . Кроме того, эта кубика является геометрическим местом X , так что педальный треугольник X является чевианским треугольником некоторой точки (которая лежит на кубике Люка). Кроме того, эта кубика является геометрическим местом точки X, такой что педальный треугольник X и антицевский треугольник X являются перспективными; перспектива лежит на кубике Томсона.

Кубика Дарбу проходит через инцентр, центр описанной окружности, ортоцентр, точку де Лонгшана, центры других треугольников, вершины A, B, C, эксцентры и антиподы A, B, C на описанной окружности. Для каждой точки P на кубике, но не на боковой линии кубика, изогонально-сопряженная точка P также находится на кубике.

Графику и свойства см. в разделе K004 на сайте Cubics in the Triangle Plane .

Кубик Наполеона – Фейербаха

Трилинейное уравнение: $\sum _{\text{cyclic}}\cos(B-C)x(y^{2}-z^{2})=0$

Барицентрическое уравнение: $\sum _{\text{cyclic}}(a^{2}(b^{2}+c^{2})+(b^{2}-c^{2})^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

Кубика Наполеона-Фейербаха — это геометрическое место точки X*, лежащей на прямой NX , где N — девятиточечный центр ( N = X (5) в Энциклопедии центров треугольников ).

Кубика Наполеона-Фейербаха проходит через инцентр, описанный центр, ортоцентр, 1-ю и 2-ю точки Наполеона, другие центры треугольников, вершины A, B, C, эксцентры, проекции центроида на высоты и центры шестиугольников. на сторонах △ ABC построены равносторонние треугольники .

Графику и свойства см. в K005 на сайте Cubics в плоскости треугольника .

Лукас Кубик

Лукас Кубик треугольника △ ABC : геометрическое место точки X такой, что чевианский треугольник X является педальным треугольником некоторой точки X' ; точка X' лежит на кубике Дарбу.

Трилинейное уравнение: $\sum _{\text{cyclic}}\cos(A)x(b^{2}y^{2}-c^{2}z^{2})=0$

Барицентрическое уравнение: $\sum _{\text{cyclic}}(b^{2}+c^{2}-a^{2})x(y^{2}-z^{2})=0$

Кубика Люка — это геометрическое место точки X, причем чевианский треугольник X является педальным треугольником некоторой точки; точка лежит на кубике Дарбу.

Кубика Люка проходит через центроид, ортоцентр, точку Жергонна, точку Нагеля, точку де Лонгшана, центры других треугольников, вершины антидополнительного треугольника и фокусы окружного эллипса Штейнера.

Графику и свойства см. в разделе K007 на сайте Cubics in the Triangle Plane .

кубик

Первый куб Брокара: это геометрическое место X , такие пересечения XA', XB', XC' с боковыми линиями BC, CA, CB, где △ A'B'C' - первый треугольник Брокара треугольника △ ABC , являются коллинеарный. На рисунке Ω и Ω′ — первая и вторая точки Брокара.

Трилинейное уравнение: $\sum _{\text{cyclic}}bc(a^{4}-b^{2}c^{2})x(y^{2}+z^{2})=0$

Барицентрическое уравнение: $\sum _{\text{cyclic}}(a^{4}-b^{2}c^{2})x(c^{2}y^{2}+b^{2}z^{2})=0$

Пусть △ A'B'C' — 1-й треугольник Брокара. Для произвольной точки X пусть X _A , X _B , X _C — пересечения прямых XA′, XB′, XC′ со сторонами BC, CA, AB соответственно. Первая кубика Брокара — это геометрическое место X, для которого точки X _A , X _B , X _C лежат на одной прямой.

1-я куба Брокара проходит через центроид, точку симмедианы, точку Штейнера, другие центры треугольников и вершины 1-го и 3-го треугольников Брокара.

Графику и свойства см. в разделе K017 в Cubics in the Triangle Plane .

кубик

Трилинейное уравнение: $\sum _{\text{cyclic}}bc(b^{2}-c^{2})x(y^{2}+z^{2})=0$

Барицентрическое уравнение: $\sum _{\text{cyclic}}(b^{2}-c^{2})x(c^{2}y^{2}+b^{2}z^{2})=0$

2-я кубика Брокара — это геометрическое место точки X , для которой полюс прямой XX* в описанной окружности, проходящей через X и X*, лежит на линии центра описанной окружности и точки симмедианы (т. е. оси Брокара). Кубика проходит через центроид, симмедианную точку, обе точки Ферма, обе изодинамические точки, точку Парри, другие центры треугольников и вершины 2-го и 4-го треугольников Брокара.

Графику и свойства см. в разделе K018 в Cubics in the Triangle Plane .

1-й равный кубический

Первая кубическая фигура равной площади треугольника △ ABC : геометрическое место точки X такой, что площадь чевианского треугольника X равна площади чевианского треугольника X* .

Трилинейное уравнение: $\sum _{\text{cyclic}}a(b^{2}-c^{2})x(y^{2}-z^{2})=0$

Барицентрическое уравнение: $\sum _{\text{cyclic}}a^{2}(b^{2}-c^{2})x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0$

Первая кубическая равноплощадь — это геометрическое место точки X такой, что площадь Чевиева треугольника X равна площади Чевиева треугольника X* . Кроме того, эта кубика является геометрическим местом X , для которого X* находится на прямой S*X , где S — точка Штейнера. ( S = X (99) в Энциклопедии центров треугольников ).

Первая равновеликая кубическая фигура проходит через инцентр, точку Штейнера, другие центры треугольников, 1-ю и 2-ю точки Брокара и эксцентры.

Графику и свойства см. в K021 на сайте Cubics в плоскости треугольника .

2-й равновеликий куб

Трилинейное уравнение: $(bz+cx)(cx+ay)(ay+bz)=(bx+cy)(cy+az)(az+bx)$

Барицентрическое уравнение: $\sum _{\text{cyclic}}a(a^{2}-bc)x(c^{3}y^{2}-b^{3}z^{2})=0$

Для любой точки $X=x:y:z$ (трилинейки), пусть $X_{Y}=y:z:x$ и $X_{Z}=z:x:y.$ Вторая кубическая равноплощадь — это геометрическое место X такое, что площадь чевианского треугольника X _Y равна площади чевианского треугольника X _Z .

Вторая равновеликая кубическая фигура проходит через инцентр, центроид, точку симмедианы и точки в Энциклопедии центров треугольников, пронумерованные как X (31), X (105), X (238), X (292), X (365), X. (672), Х (1453), Х (1931), Х (2053) и другие.

Графику и свойства см. в разделе K155 на сайте Cubics в плоскости треугольника .

См. также

• Теорема Кэли – Бахараха о пересечении двух кубических плоских кривых.
• Витая кубика , кривая кубического пространства
• Эллиптическая кривая
• Ведьма из Аньези
• Каталог треугольных кубиков

Ссылки

• Бикс, Роберт (1998), Коники и кубики: конкретное введение в алгебраические кривые , Нью-Йорк: Springer, ISBN  0-387-98401-1 .
• Церин, Звонко (1998), «Свойства локуса кубики Нойберга», Journal of Geometry , 63 (1–2): 39–56, doi : 10.1007/BF01221237 , S2CID   116778499 .
• Церин, Звонко (1999), «О кубике Наполеона», Journal of Geometry , 66 (1–2): 55–71, doi : 10.1007/BF01225672 , S2CID   120174967 .
• Канди, Х.М. и Парри, Сирил Ф. (1995), «Некоторые кубические кривые, связанные с треугольником», Journal of Geometry , 53 (1–2): 41–66, doi : 10.1007/BF01224039 , S2CID   122633134 .
• Канди, Х.М. и Парри, Сирил Ф. (1999), «Геометрические свойства некоторых Эйлеровых и круговых кубик (часть 1)», Journal of Geometry , 66 (1–2): 72–103, doi : 10.1007/BF01225673 , S2CID   119886462 .
• Канди, Х.М. и Парри, Сирил Ф. (2000), «Геометрические свойства некоторых Эйлеровых и круговых кубик (часть 2)», Journal of Geometry , 68 (1–2): 58–75, doi : 10.1007/BF01221061 , S2CID   126542269 .
• Эрманн, Жан-Пьер и Жибер, Бернар (2001), «Конфигурация Морли», Forum Geometricorum , 1 : 51–58 .
• Эрманн, Жан-Пьер и Жибер, Бернар (2001), «Кубик Симсона», Forum Geometricorum , 1 : 107–114 .
• Гиберт, Бернар (2003), «Ортосоответствие и ортоопорные кубики», Forum Geometricorum , 3 : 1–27 .
• Кимберлинг, Кларк (1998), «Центры треугольников и центральные треугольники», Congressus Numerantium , 129 : 1–295 . См. главу 8 о кубах.
• Кимберлинг, Кларк (2001), «Кубики, связанные с треугольниками равных площадей» , Forum Geometricorum , 1 : 161–171 .
• Ланг, Фред (2002), «Геометрия и групповые структуры некоторых кубиков», Forum Geometricorum , 2 : 135–146 .
• Пинкернелл, Гвидо М. (1996), «Кубические кривые в плоскости треугольника», Journal of Geometry , 55 (1–2): 142–161, doi : 10.1007/BF01223040 , S2CID   123411561 .
• Салмон, Джордж (1879), Кривые более высокой плоскости (3-е изд.), Дублин: Ходжес, Фостер и Фиггис .

Внешние ссылки

• Каталог кубических плоских кривых (архивная версия)
• Очки на кубиках
• Кубики в плоскости треугольника
• Особые изокубы в плоскости треугольника (pdf), Жан-Пьер Эрманн и Бернар Жиберт
• «Реальные и сложные кубические кривые - Джон Милнор, Университет Стоуни-Брук [2016]» . Ютуб . Дипломированный математик. 27 июня 2018. лекция в июле 2016, ICMS, Эдинбург на конференции в честь 70-летия Дусы Макдафф