Изогональное сопряжение

В геометрии изогонально сопряженная точка - $P$ относительно треугольника $△ ABC$ строится путем отражения прямых $PA, PB, PC$ о биссектрисах углов A $, B, C$ соответственно. Эти три отраженные линии совпадают в изогональном сопряжении $P$ . (Это определение применимо только к точкам, не лежащим на боковой линии треугольника $△ ABC$ .) Это прямой результат тригонометрической формы теоремы Чевы .

Изогонально-сопряженная точка $P$ иногда обозначается $P*$ . Изогональным сопряжением $P*$ является $P$ .

Изогональное сопряжение инцентра I $есть$ он сам. Изогонально сопряженным ортоцентру H $является$ центр описанной окружности $O$ . Изогонально-сопряженным центроидом G $является$ (по определению) точки $K.$ симмедиана Изогональные сопряжения точек Ферма являются изодинамическими точками и наоборот. Точки Брокара изогонально сопряжены друг другу.

В трехлинейных координатах , если $X=x:y:z$ является точкой, не лежащей на боковой линии треугольника $△ ABC$ , то ее изогонально-сопряженная точка есть ${\tfrac {1}{x}}:{\tfrac {1}{y}}:{\tfrac {1}{z}}.$ По этой причине изогонально сопряженное $X$ иногда обозначается $X -1$ . Множество S $формулой$ центров треугольников под трилинейным произведением, определяемым

(p:q:r)*(u:v:w)=pu:qv:rw,

является коммутативной группой , и обратным каждому $X$ в $S$ является $X -1$ .

Поскольку изогональное сопряжение является функцией , имеет смысл говорить об изогональном сопряжении наборов точек, таких как прямые и окружности. Например, изогонально сопряженная линия — это циркумконус ; в частности, эллипс , парабола или гипербола в зависимости от того, пересекает ли линия описанную окружность в 0, 1 или 2 точках. Изогонально сопряженная описанная окружность — это линия, находящаяся на бесконечности . Некоторые известные кубики (например, кубика Томпсона , кубик Дарбу, кубик Нойберга ) являются самоизогонально-сопряженными в том смысле, что если $X$ находится на кубике, то $X -1$ тоже на кубе.

Другая конструкция изогонально-сопряженной точки

Для данной точки $P$ в плоскости треугольника $△ ABC$ пусть отражения $P$ от боковых линий $BC, CA, AB$ будут $P a, P b, P c$ . Тогда центр окружности $〇 P a P b P c$ является изогонально сопряженным с $P$ . ^[1]

См. также

Ссылки

^ Стив Фелпс. «Построение изогональных сопряжений» . ГеоГебра . Команда ГеоГебра . Проверено 17 января 2022 г.

Внешние ссылки

[1] Стив Фелпс. «Построение изогональных сопряжений» . ГеоГебра . Команда ГеоГебра . Проверено 17 января 2022 г.

[1]