кубический Нойберга

В евклидовой геометрии кубика Нойберга — это особая кубическая плоская кривая , связанная с опорным треугольником, обладающая несколькими замечательными свойствами. Она названа в честь Жозефа Жана Батиста Нойберга (30 октября 1840 г. – 22 марта 1926 г.), люксембургского математика, который впервые представил кривую в статье, опубликованной в 1884 году. ^[1]^[2] Кривая отображается как первый элемент с идентификационным номером K001. ^[1] Бернарда Гилберта в «Каталоге треугольных кубиков» , который представляет собой сборник обширной информации о более чем 1200 треугольных кубиках.

Определения

Кубика Нойберга треугольника $△ ABC,$ показывающая одно из определяющих свойств произвольной точки $X$ на кривой.

Кубику Нойберга можно определить как локус по-разному. ^[1] Один из способов — определить его как геометрическое место точки $P$ в плоскости опорного треугольника $△ ABC$ , так что, если отражения точки $P$ на боковых линиях треугольника $△ ABC$ равны $P a, P b, P c$ , то линии $AP a, BP b, CP c$ являются одновременными. Однако необходимо доказать, что определенное таким образом множество действительно является кубической кривой. Второй способ — определить его как геометрическое место точки $P$ , так что если $O a, O b, O c$ являются центрами описанных треугольников $△ BPC, △ CPA, △ APB$ , то прямые $AO a, BO b, O c$ являются одновременно. Еще один способ - определить его как геометрическое место $P$ , удовлетворяющее следующему свойству, известному как инволютивы четырехугольников. ^[1] (именно так Нойберг представил кривую):

{\begin{vmatrix}1&BC^{2}+AP^{2}&BC^{2}\times AP^{2}\\1&CA^{2}+BP^{2}&CA^{2}\times BP^{2}\\1&AB^{2}+CP^{2}&AB^{2}\times CP^{2}\end{vmatrix}}=0

Уравнение

Пусть $a, b, c$ — длины сторон опорного треугольника $△ ABC$ . Тогда уравнение кубики Нойберга $△ ABC$ в барицентрических координатах $x : y : z$ имеет вид

\sum _{\text{cyclic}}[a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}-2a^{4}]x(c^{2}y^{2}-b^{2}z^{2})=0

Другая терминология: кривая из 21 точки, кривая из 37 точек.

В более старой литературе кривую Нойберга обычно называют кривой из 21 точки. Терминология относится к свойству кривой, открытой самим Нойбергом, состоящей в том, что она проходит через определенную особую 21 точку, связанную с эталонным треугольником. Если предположить, что опорным треугольником является $△ ABC$ , 21 точка будет такой, как указано ниже. ^[3]

Вершины $A, B, C$
Отражения $A a, B b, C c$ вершин $A, B, C$ в противоположных сторонах
Ортоцентр $H$
Центр окружности $О$
Три точки $D a, D b, D c,$ где $D a$ — отражение точки A на линии, соединяющей $Q bc$ и $Q cb$ , где $Q bc$ — пересечение серединного перпендикуляра $AC$ с $AB$ , а $Q cb$ — пересечение биссектриса $AB$ с $AC$ ; $D b$ и $D c$ определяются аналогично
Шесть вершин $A', B', C', A", B", C"$ равносторонних треугольников, построенных на сторонах треугольника $△ ABC.$
Два изогонических центра (точки X(13) и X(14) в Энциклопедии центров треугольников )
Две изодинамические точки (точки X(15) и X(16) в Энциклопедии центров треугольников)

На прилагаемом рисунке показан куб Нойберга треугольника $△ ABC$ со всей упомянутой выше 21 особой точкой.

В статье, опубликованной в 1925 году, Б. Х. Браун сообщил о своем открытии 16 дополнительных особых точек на кубике Нойберга, в результате чего общее число известных на тот момент особых точек на кубике составило 37. ^[3] Из-за этого кубик Нойберга также иногда называют кубиком с 37 точками. В настоящее время известно огромное количество особых точек, лежащих на кубе Нойберга. В Каталоге Гилберта есть специальная страница, посвященная списку таких особых точек, которые также являются центрами треугольников. ^[4]

Некоторые свойства кубики Нойберга

Кубик Нойберга как круговой куб

Уравнение в трилинейных координатах бесконечной линии в плоскости опорного треугольника имеет вид

ax+by+cz=0

На этой линии есть две особые точки, называемые круговыми точками на бесконечности . Каждая окружность в плоскости треугольника проходит через эти две точки, и каждая коника, проходящая через эти точки, является окружностью. Трилинейные координаты этих точек равны

{\begin{aligned}&\cos B+i\sin B:\cos A-i\sin A:-1\\&\cos B-i\sin B:\cos A+i\sin A:-1\end{aligned}}

где $i={\sqrt {-1}}$ . ^[5] Любая кубическая кривая, проходящая через две круговые точки на бесконечности, называется круговой кубикой. Кубик Нойберга представляет собой круглый куб. ^[1]

Кубик Нойберга как центральный изогональный кубик

Изогонально -сопряженная точка $P$ относительно треугольника $△ ABC$ — это точка совпадения отражений прямых $PA, PB, PC$ о биссектрисах углов $A, B, C$ соответственно. Изогональное сопряжение $P$ иногда обозначается $P*$ . Изогональным сопряжением $P*$ является $P$ . Самоизогональная кубика — это треугольная кубика, инвариантная относительно изогонального сопряжения. Поворотная изогональная кубика — это кубик, в которой точки $P,$ лежащие на кубике, и их изогональные сопряжения коллинеарны фиксированной точке $Q,$ известной как точка поворота кубика. Кубик Нойберга — это центральный изогональный куб, ось которого находится на пересечении линии Эйлера с линией, находящейся на бесконечности . В «Энциклопедии центров треугольников» Кимберлинга эта точка обозначена X(30).

Кубик Нойберга как ортокубический шарнир

Пусть $P$ — точка в плоскости треугольника $△ ABC$ . Перпендикуляры $P$ к $AP, BP, CP$ пересекают $CA, AB$ соответственно в $точках Pa, Pb, Pc,$ и эти точки лежат на прямой $LP BC ,$ . трилинейный полюс $LP Пусть$ равен $P ⊥$ . Изопивотная кубика — это треугольная кубика, обладающая тем свойством, что существует неподвижная точка $P$ такая, что для любой точки M на кубике точки $P, M, M ⊥$ коллинеарны. Неподвижная точка $P$ называется ортопивом кубики. ^[6] Кубика Нойберга — это ортоповоротная куба с ортоповоротом в центре описанной окружности треугольника. ^[1]

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж «К001 Кубик Нойберга» . Кубики в плоскости треугольника . Бернард Гилберт . Проверено 29 ноября 2021 г.
^ «Память на тетраэдре» . Мемуары Бельгийской академии : 1–70. 1884 год . Проверено 29 ноября 2021 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Б. Х. Браун (март 1925 г.). «21-очковый Кубик». Американский математический ежемесячник . 35 (3): 110–115. дои : 10.1080/00029890.1925.11986425 .
^ Бернард Гилберт. «Таблица 19: точки на кубике Нойберга» . Кубики в плоскости треугольника . Бернард Гилберт . Проверено 1 декабря 2021 г.
^ Уитворт Уильям Аллен (1866). Трилинейные координаты и другие методы современной аналитической геометрии двух измерений . Дейтон Белл и компания. п. 127 . Проверено 8 декабря 2021 г.
^ Бернар Жиберт (2003). «Ортосоответствие и ортоповоротные кубики» . Форум Геометрикорум . 3 :1–27 . Проверено 9 декабря 2021 г.

Дополнительное чтение

Звонко Черин (1998). «Свойства локуса кубики Нойберга» . Журнал геометрии . 63 (1–2): 39–56. дои : 10.1007/BF01221237 . S2CID 116778499 . Проверено 30 ноября 2021 г.
Т. В. Мур и Дж. Х. Нилли (май 1925 г.). «Круговой куб в двадцати одной точке треугольника» . Американский математический ежемесячник . 32 (5): 241–246. дои : 10.1080/00029890.1925.11986451 . JSTOR 2299192 . Проверено 2 декабря 2021 г.
Абдикадир Алтынтас, О некоторых свойствах Neuberg Cubic
Бернард Гилберт. «Нойберг Кубикс» (PDF) . Кубики в плоскости треугольника . Проверено 2 декабря 2021 г.

[K001-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж «К001 Кубик Нойберга» . Кубики в плоскости треугольника . Бернард Гилберт . Проверено 29 ноября 2021 г.

[2] «Память на тетраэдре» . Мемуары Бельгийской академии : 1–70. 1884 год . Проверено 29 ноября 2021 г.

[Brown-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Б. Х. Браун (март 1925 г.). «21-очковый Кубик». Американский математический ежемесячник . 35 (3): 110–115. дои : 10.1080/00029890.1925.11986425 .

[4] Бернард Гилберт. «Таблица 19: точки на кубике Нойберга» . Кубики в плоскости треугольника . Бернард Гилберт . Проверено 1 декабря 2021 г.

[5] Уитворт Уильям Аллен (1866). Трилинейные координаты и другие методы современной аналитической геометрии двух измерений . Дейтон Белл и компания. п. 127 . Проверено 8 декабря 2021 г.

[6] Бернар Жиберт (2003). «Ортосоответствие и ортоповоротные кубики» . Форум Геометрикорум . 3 :1–27 . Проверено 9 декабря 2021 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]