линия Эйлера

В геометрии , линия Эйлера названная в честь Леонарда Эйлера ( / ˈ ɔɪ l ər / ), представляет собой линию , определяемую из любого треугольника , который не является равносторонним . Это центральная линия треугольника, и она проходит через несколько важных точек, определенных из треугольника, включая ортоцентр , центр описанной окружности , центроид , точку Эксетера и центр девятиточечного круга треугольника. ^[1]

Понятие линии Эйлера треугольника распространяется на линию Эйлера других форм, таких как четырехугольник и тетраэдр .

Центр треугольника лежит на линии Эйлера [ править ]

Отдельные центры [ править ]

Эйлер в 1765 году показал, что в любом треугольнике ортоцентр, центр описанной окружности и центроид лежат на одной прямой . ^[2]Это свойство справедливо и для другого центра треугольника , девятиточечного центра , хотя он не был определен во времена Эйлера. В равносторонних треугольниках эти четыре точки совпадают, но в любом другом треугольнике все они отличны друг от друга, и линия Эйлера определяется любыми двумя из них.

Другие известные точки, лежащие на линии Эйлера, включают точку де Лонгшана , точку Шиффлера , точку Эксетера и перспективу Госсарда . ^[1] Однако центр инцентра обычно не лежит на линии Эйлера; ^[3] он находится на линии Эйлера только для равнобедренных треугольников , ^[4] для которого линия Эйлера совпадает с осью симметрии треугольника и содержит все центры треугольника.

Касательный треугольник последнего опорного треугольника касается описанной окружности в вершинах опорного треугольника. Центр описанной окружности касательного треугольника лежит на линии Эйлера опорного треугольника. ^[5]^{: п. 447} ^[6]^{: стр.104, №211, стр.242, №346} Центр подобия ортического и касательного треугольников также находится на линии Эйлера. ^[5]^{: п. 447}^[6]^{: п. 102}

Доказательства [ править ]

Векторное доказательство

Позволять $ABC$ быть треугольником. Доказательство того, что центр описанной окружности $O$ , центроид $G$ и ортоцентр $H$ коллинеарны , опираются на свободные векторы . Начнем с формулировки предпосылок. Первый, $G$ удовлетворяет отношению

{\vec {GA}}+{\vec {GB}}+{\vec {GC}}=0.

Это следует из того, что абсолютные барицентрические координаты $G$ являются ${\frac {1}{3}}:{\frac {1}{3}}:{\frac {1}{3}}$ . Далее проблема Сильвестра ^[7] читается как

{\vec {OH}}={\vec {OA}}+{\vec {OB}}+{\vec {OC}}.

Теперь, используя сложение векторов, мы получаем, что

{\vec {GO}}={\vec {GA}}+{\vec {AO}}\,{\mbox{(in triangle }}AGO{\mbox{)}},\,{\vec {GO}}={\vec {GB}}+{\vec {BO}}\,{\mbox{(in triangle }}BGO{\mbox{)}},\,{\vec {GO}}={\vec {GC}}+{\vec {CO}}\,{\mbox{(in triangle }}CGO{\mbox{)}}.

Сложив эти три соотношения почленно, мы получим, что

3\cdot {\vec {GO}}=\left(\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyc}}}{\vec {GA}}\right)+\left(\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyc}}}{\vec {AO}}\right)=0-\left(\sum \limits _{\scriptstyle {\rm {cyc}}}{\vec {OA}}\right)=-{\vec {OH}}.

В заключение, $3\cdot {\vec {OG}}={\vec {OH}}$ , и поэтому три точки $O$ , $G$ и $H$ (в этом порядке) лежат на одной прямой.

В книге Дорри ^[7] и линия Эйлера проблема Сильвестра объединены в одно доказательство. Однако большинство доказательств проблемы Сильвестра опираются на фундаментальные свойства свободных векторов независимо от линии Эйлера.

Свойства [ править ]

Расстояния между центрами [ править ]

На линии Эйлера центр тяжести G находится между центром описанной окружности O и ортоцентром H и находится в два раза дальше от ортоцентра, чем от центра описанной окружности: ^[6]^{: стр.102}

GH=2GO;

OH=3GO.

Отрезок GH представляет собой диаметр ортоцентроидальной окружности .

Центр N девятиточечного круга лежит вдоль линии Эйлера на полпути между ортоцентром и центром описанной окружности: ^[1]

ON=NH,\quad OG=2\cdot GN,\quad NH=3GN.

Таким образом, линию Эйлера можно было бы переместить на числовую линию с центром описанной окружности O в точке 0, центроидом G в точке 2 t , центром девяти точек в точке 3 t и ортоцентром H в точке 6 t для некоторого масштабного коэффициента t .

Кроме того, квадрат расстояния между центроидом и центром описанной окружности вдоль линии Эйлера меньше квадрата радиуса описанной окружности R. ² на величину, равную одной девятой суммы квадратов длин сторон a , b и c : ^[6]^{: стр.71}

GO^{2}=R^{2}-{\tfrac {1}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).

Кроме того, ^[6]^{: стр.102}

OH^{2}=9R^{2}-(a^{2}+b^{2}+c^{2});

GH^{2}=4R^{2}-{\tfrac {4}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2}).

Представительство [ править ]

Уравнение [ править ]

Пусть A , B , C обозначают углы при вершине опорного треугольника, и пусть x : y : z — переменная точка в трилинейных координатах ; тогда уравнение для линии Эйлера имеет вид

\sin(2A)\sin(B-C)x+\sin(2B)\sin(C-A)y+\sin(2C)\sin(A-B)z=0.

Уравнение линии Эйлера в барицентрических координатах $\alpha :\beta :\gamma$ является ^[8]

(\tan C-\tan B)\alpha +(\tan A-\tan C)\beta +(\tan B-\tan A)\gamma =0.

Параметрическое представление [ править ]

Другой способ представить линию Эйлера — через параметр t . Начиная с центра описанной окружности (с трилинейными координатами $\cos A:\cos B:\cos C$ ) и ортоцентр (с трилинейками $\sec A:\sec B:\sec C=\cos B\cos C:\cos C\cos A:\cos A\cos B),$ каждая точка на линии Эйлера, кроме ортоцентра, задается трилинейными координатами

\cos A+t\cos B\cos C:\cos B+t\cos C\cos A:\cos C+t\cos A\cos B

формируется как линейная комбинация трилинейников этих двух точек для некоторого t .

Например:

Центр описанной окружности имеет трилинейные линии. $\cos A:\cos B:\cos C,$ соответствующий значению параметра $t=0.$
Центроид имеет трилинейки $\cos A+\cos B\cos C:\cos B+\cos C\cos A:\cos C+\cos A\cos B,$ соответствующий значению параметра $t=1.$
Центр из девяти точек имеет трилинейки. $\cos A+2\cos B\cos C:\cos B+2\cos C\cos A:\cos C+2\cos A\cos B,$ соответствующий значению параметра $t=2.$
Точка де Лонгшана имеет трилинейки. $\cos A-\cos B\cos C:\cos B-\cos C\cos A:\cos C-\cos A\cos B,$ соответствующий значению параметра $t=-1.$

Наклон [ править ]

В декартовой системе координат обозначим наклоны сторон треугольника как $m_{1},$ $m_{2},$ и $m_{3},$ и обозначим наклон ее линии Эйлера как $m_{E}$ . Тогда эти наклоны связаны соотношением ^[9]^{: Лемма 1}

m_{1}m_{2}+m_{1}m_{3}+m_{1}m_{E}+m_{2}m_{3}+m_{2}m_{E}+m_{3}m_{E}

+3m_{1}m_{2}m_{3}m_{E}+3=0.

Таким образом, наклон линии Эйлера (если он конечен) выражается через наклоны сторон как

m_{E}=-{\frac {m_{1}m_{2}+m_{1}m_{3}+m_{2}m_{3}+3}{m_{1}+m_{2}+m_{3}+3m_{1}m_{2}m_{3}}}.

При этом линия Эйлера параллельна стороне BC остроугольного треугольника тогда и только тогда, когда ^[9]^{: стр.173} $\tan B\tan C=3.$

Связь с треугольниками вписанными равносторонними

Геометрическое положение центроидов равносторонних треугольников , вписанных в данный треугольник, образовано двумя прямыми, перпендикулярными линии Эйлера данного треугольника. ^[10]^{: Хор. 4}

В особых треугольниках [ править ]

Прямоугольный треугольник [ править ]

В прямоугольном треугольнике линия Эйлера совпадает с медианой гипотенузы . , то есть проходит как через прямоугольную вершину, так и через середину стороны, противоположной этой вершине Это связано с тем, что ортоцентр прямоугольного треугольника, пересечение его высот , падает на прямоугольную вершину, а центр описанной окружности, пересечение серединных перпендикуляров сторон, падает на середину гипотенузы.

Равнобедренный треугольник [ править ]

Линия Эйлера равнобедренного треугольника совпадает с осью симметрии . В равнобедренном треугольнике центр центра приходится на линию Эйлера.

Автомедиановый треугольник [ править ]

Линия Эйлера автомедианного треугольника (того, у которого медианы находятся в тех же пропорциях, хотя и в противоположном порядке, что и стороны) перпендикулярна одной из медиан. ^[11]

Системы треугольников с Эйлера совпадающими прямыми

Рассмотрим треугольник ABC с точками Ферма–Торричелли F ₁ и F ₂ . Линии Эйлера 10 треугольников с вершинами, выбранными из A, B, C, F ₁ и F ₂ в , совпадают центроиде треугольника ABC . ^[12]

Линии Эйлера четырех треугольников, образованных ортоцентрической системой (набором из четырех точек, каждая из которых является ортоцентром треугольника с вершинами в трех других точках), совпадают в центре из девяти точек, общем для всех треугольников. ^[6]^{: стр.111}

Обобщения [ править ]

Четырехугольник [ править ]

В выпуклом четырехугольнике квазиортоцентр H , «центр тяжести площади» G и квазиокружный центр O лежат в этом порядке на прямой Эйлера, и HG = 2 GO . ^[13]

Тетраэдр [ править ]

Тетраэдр объект , — трехмерный ограниченный четырьмя треугольными гранями . Семь линий, связанных с тетраэдром, совпадают в его центроиде; шесть его средних плоскостей пересекаются в точке Монжа ; и через все вершины проходит описанная сфера, центром которой является центр описанной окружности. Эти точки определяют «линию Эйлера» тетраэдра, аналогичного треугольнику. Центроид — это середина между точкой Монжа и центром описанной окружности на этой линии. Центр двенадцатиточечной сферы также лежит на линии Эйлера.

Симплициальный многогранник [ править ]

Симплициальный многогранник — это многогранник, все грани которого являются симплексами (множественное число от «симплекс»). Например, каждый многоугольник является симплициальным многогранником. Линия Эйлера, связанная с таким многогранником, — это линия, определяемая его центроидом и центром массы описанной окружности . Это определение линии Эйлера обобщает приведенные выше. ^[14]

Предположим, что $P$ является многоугольником. Линия Эйлера $E$ чувствителен к симметрии $P$ следующими способами:

1. Если $P$ имеет линию симметрии отражения $L$ , затем $E$ либо $L$ или точка на $L$ .

2. Если $P$ имеет центр вращательной симметрии $C$ , затем $E=C$ .

3. Если все стороны, кроме одной, $P$ имеют одинаковую длину, то $E$ ортогонален последней стороне.

Родственные конструкции [ править ]

Парабола Киперта треугольника — это уникальная парабола, которая касается сторон (две из них расширены ) треугольника и имеет линию Эйлера в качестве направляющей . ^[15]^{: п. 63}

Ссылки [ править ]

^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Кимберлинг, Кларк (1998). «Центры треугольников и центральные треугольники». Конгресс графов . 129 : я – xxv, 1–295.
^ Эйлер, Леонард (1767). «Легкое решение некоторых сложных геометрических задач» [Легкое решение некоторых сложных геометрических задач]. Новые комментарии Императорской Петрополитанской академии наук 11 : 103–123. Е325. Перепечатано в Opera Omnia , сер. 1, том. 26, с. 139–157, Швейцарское общество естественных наук, Лозанна, 1953, MR. 0061061 . Подведено в: Дартмутском колледже.
^ Шатшнайдер, Дорис; Кинг, Джеймс (1997). Геометрия включена: динамическое программное обеспечение в обучении, преподавании и исследованиях . Математическая ассоциация Америки. стр. 3–4. ISBN 978-0883850992 .
^ Эдмондс, Аллан Л.; Хаджа, Моваффак; Мартини, Хорст (2008), «Ортоцентрические симплексы и бирегулярность», Результаты по математике , 52 (1–2): 41–50, doi : 10.1007/s00025-008-0294-4 , MR 2430410 , S2CID 121434528 , Это хорошо Известно, что центр евклидова треугольника лежит на его прямой Эйлера, соединяющей центр тяжести и центр описанной окружности тогда и только тогда, когда треугольник равнобедренный .
^ Перейти обратно: ^а ^б Леверша, Джерри; Смит, GC (ноябрь 2007 г.), «Эйлер и геометрия треугольника», Mathematical Gazette , 91 (522): 436–452, doi : 10.1017/S0025557200182087 , JSTOR 40378417 , S2CID 125341434 .
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж Альтшиллер-Корт, Натан, Геометрия колледжа , Dover Publications, 2007 (оригинал Barnes & Noble, 1952).
^ Перейти обратно: ^а ^б Дорри, Генрих, «100 великих задач элементарной математики. Их история и решение». Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1965 г., ISBN 0-486-61348-8 , страницы 141 (Прямая линия Эйлера) и 142 (Проблема Сильвестра)
^ Скотт, Дж. А., «Некоторые примеры использования площадных координат в геометрии треугольника», Mathematical Gazette 83, ноябрь 1999 г., 472-477.
^ Перейти обратно: ^а ^б Владимир Г. Боскофф, Лаурентью Хоментковский и Богдан Д. Сучава, «Перспектор Госсарда и проективные последствия», Forum Geometricorum , Том 13 (2013), 169–184. [1]
^ Франсиско Хавьер Гарция Капита́н, «Место центроидов подобных вписанных треугольников», Forum Geometricorum 16, 2016, 257–267. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201631.pdf
^ Парри, К.Ф. (1991), «Штайнер-Лемус и автомедианный треугольник», The Mathematical Gazette , 75 (472): 151–154, doi : 10.2307/3620241 , JSTOR 3620241 .
^ Белухов, Николай Иванов. «Десять одновременных линий Эйлера», Forum Geometricorum 9, 2009, стр. 271–274. http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200924index.html
^ Мякишев, Алексей (2006), «О двух замечательных прямых, относящихся к четырехугольнику» (PDF) , Forum Geometricorum , 6 : 289–295 .
^ Табачников, Серж; Цукерман, Эммануэль (май 2014 г.), «Окружность центра массы и обобщенная линия Эйлера», Дискретная и вычислительная геометрия , 51 (4): 815–836, arXiv : 1301.0496 , doi : 10.1007/s00454-014-9597-2 , S2CID 12307207 .
^ Сцимеми, Бенедетто, «Простые соотношения относительно эллипса Штейнера треугольника», Forum Geometricorum 10, 2010: 55–77.

Внешние ссылки [ править ]

[k-1] Перейти обратно: ^а ^б ^с Кимберлинг, Кларк (1998). «Центры треугольников и центральные треугольники». Конгресс графов . 129 : я – xxv, 1–295.

[2] Эйлер, Леонард (1767). «Легкое решение некоторых сложных геометрических задач» [Легкое решение некоторых сложных геометрических задач]. Новые комментарии Императорской Петрополитанской академии наук 11 : 103–123. Е325. Перепечатано в Opera Omnia , сер. 1, том. 26, с. 139–157, Швейцарское общество естественных наук, Лозанна, 1953, MR. 0061061 . Подведено в: Дартмутском колледже.

[3] Шатшнайдер, Дорис; Кинг, Джеймс (1997). Геометрия включена: динамическое программное обеспечение в обучении, преподавании и исследованиях . Математическая ассоциация Америки. стр. 3–4. ISBN 978-0883850992 .

[4] Эдмондс, Аллан Л.; Хаджа, Моваффак; Мартини, Хорст (2008), «Ортоцентрические симплексы и бирегулярность», Результаты по математике , 52 (1–2): 41–50, doi : 10.1007/s00025-008-0294-4 , MR 2430410 , S2CID 121434528 , Это хорошо Известно, что центр евклидова треугольника лежит на его прямой Эйлера, соединяющей центр тяжести и центр описанной окружности тогда и только тогда, когда треугольник равнобедренный .

[SL-5] Перейти обратно: ^а ^б Леверша, Джерри; Смит, GC (ноябрь 2007 г.), «Эйлер и геометрия треугольника», Mathematical Gazette , 91 (522): 436–452, doi : 10.1017/S0025557200182087 , JSTOR 40378417 , S2CID 125341434 .

[ac-6] Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^Это ^ж Альтшиллер-Корт, Натан, Геометрия колледжа , Dover Publications, 2007 (оригинал Barnes & Noble, 1952).

[Dorrie-7] Перейти обратно: ^а ^б Дорри, Генрих, «100 великих задач элементарной математики. Их история и решение». Dover Publications, Inc., Нью-Йорк, 1965 г., ISBN 0-486-61348-8 , страницы 141 (Прямая линия Эйлера) и 142 (Проблема Сильвестра)

[8] Скотт, Дж. А., «Некоторые примеры использования площадных координат в геометрии треугольника», Mathematical Gazette 83, ноябрь 1999 г., 472-477.

[BHS-9] Перейти обратно: ^а ^б Владимир Г. Боскофф, Лаурентью Хоментковский и Богдан Д. Сучава, «Перспектор Госсарда и проективные последствия», Forum Geometricorum , Том 13 (2013), 169–184. [1]

[Garcia-10] Франсиско Хавьер Гарция Капита́н, «Место центроидов подобных вписанных треугольников», Forum Geometricorum 16, 2016, 257–267. http://forumgeom.fau.edu/FG2016volume16/FG201631.pdf

[parry-11] Парри, К.Ф. (1991), «Штайнер-Лемус и автомедианный треугольник», The Mathematical Gazette , 75 (472): 151–154, doi : 10.2307/3620241 , JSTOR 3620241 .

[12] Белухов, Николай Иванов. «Десять одновременных линий Эйлера», Forum Geometricorum 9, 2009, стр. 271–274. http://forumgeom.fau.edu/FG2009volume9/FG200924index.html

[13] Мякишев, Алексей (2006), «О двух замечательных прямых, относящихся к четырехугольнику» (PDF) , Forum Geometricorum , 6 : 289–295 .

[14] Табачников, Серж; Цукерман, Эммануэль (май 2014 г.), «Окружность центра массы и обобщенная линия Эйлера», Дискретная и вычислительная геометрия , 51 (4): 815–836, arXiv : 1301.0496 , doi : 10.1007/s00454-014-9597-2 , S2CID 12307207 .

[Scimemi-15] Сцимеми, Бенедетто, «Простые соотношения относительно эллипса Штейнера треугольника», Forum Geometricorum 10, 2010: 55–77.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]