Ортоцентрическая система

В геометрии ортоцентрическая система — это совокупность четырёх точек на плоскости , одна из которых является ортоцентром треугольника, образованного тремя другими. Эквивалентно, линии, проходящие через непересекающиеся пары точек, перпендикулярны , а четыре окружности, проходящие через любые три из четырех точек, имеют одинаковый радиус. ^[1]

Если четыре точки образуют ортоцентрическую систему, то каждая из четырех точек является ортоцентром трех других. Все эти четыре возможных треугольника будут иметь один и тот же круг из девяти точек . Следовательно, все эти четыре возможных треугольника должны иметь описанные окружности с одинаковым радиусом описанной окружности .

Обычный девятиконечный круг [ править ]

Центр этого общего круга из девяти точек находится в центре тяжести четырех ортоцентрических точек. Радиус общего девятиконечного круга — это расстояние от центра девяти точек до середины любого из шести соединителей, соединяющих любую пару ортоцентрических точек, через которые проходит общий девятиконечный круг. Окружность девяти точек также проходит через три ортогональных пересечения у оснований высот четырех возможных треугольников.

Этот общий центр из девяти точек находится в средней точке соединителя, который соединяет любую ортоцентрическую точку с центром описанной окружности треугольника, образованного из трех других ортоцентрических точек.

Общая окружность из девяти точек касается всех 16 вписанных и вписанных окружностей четырех треугольников, вершины которых образуют ортоцентрическую систему. ^[2]

треугольник, его центр и Общий эксцентры ортогональный

Если шесть соединителей, соединяющих любую пару ортоцентрических точек, расширить до шести линий, пересекающих друг друга, они создадут семь точек пересечения. Четыре из этих точек являются исходными ортоцентрическими точками, а дополнительные три точки представляют собой ортогональные пересечения у подножия высот . Соединение этих трех ортогональных точек в треугольник образует ортогональный треугольник , общий для всех четырех возможных треугольников, образованных из четырех ортоцентрических точек, взятых по три за раз.

Инцентр этого общего ортоцентрического треугольника должен быть одной из исходных четырех ортоцентрических точек. Более того, три оставшиеся точки становятся эксцентрами этого общего ортогонального треугольника. Ортоцентрическая точка, которая становится центром ортического треугольника, - это ортоцентрическая точка, ближайшая к общему девятиточечному центру. Эта связь между ортико-треугольником и исходными четырьмя ортоцентрическими точками непосредственно приводит к тому, что инцентр и эксцентриситеты опорного треугольника образуют ортоцентрическую систему. ^[3]

Нормально отличать одну из ортоцентрических точек от других, особенно ту, которая является центром ортоцентрического треугольника; эта точка обозначается $H$ как ортоцентр трех внешних ортоцентрических точек, выбранных в качестве опорного треугольника $△ ABC$ . В этой нормализованной конфигурации точка $H$ всегда будет лежать внутри треугольника $△ ABC$ , а все углы треугольника $△ ABC$ будут острыми. Четыре возможных треугольника, упомянутые выше, тогда являются треугольниками $△ ABC, △ ABH, △ ACH, △ BCH$ . Шесть упомянутых выше разъемов: $AB, AC, BC, AH, BH, CH$ . Семью упомянутыми выше пересечениями являются $A, B, C, H$ исходные ортоцентрические точки) и $HA, HB (, HC$ (основания высот треугольника $△ ABC$ и вершины прямоугольного треугольника).

Ортоцентрическая система и ее ортические оси [ править ]

Ортическая ось, связанная с нормализованной ортоцентрической системой $A, B, C, H$ , где $△ ABC$ — эталонный треугольник, представляет собой линию, проходящую через три точки пересечения, образованные, когда каждая сторона ортоцентрического треугольника встречается с каждой стороной эталонного треугольника. Теперь рассмотрим три других возможных треугольника: $△ ABH, △ ACH, △ BCH$ . У каждого из них есть своя ортическая ось.

Линии Эйлера и гомотетические системы ортоцентрические

Пусть векторы $a, b, c, h$ определяют положение каждой из четырех ортоцентрических точек, и пусть $n = (a + b + c + h)/4$ — вектор положения $N$ , общего девятиточечного центра. Соедините каждую из четырех ортоцентрических точек с их общим девятиточечным центром и расширьте их на четыре линии. Эти четыре линии теперь представляют линии Эйлера четырех возможных треугольников, где расширенная линия $HN$ — это линия Эйлера треугольника $△ ABC$ , а расширенная линия $AN$ — это линия Эйлера треугольника $△ BCH$ точка $P$ и т. д. Если на Эйлеровой линии выбрана линия $HN$ опорного треугольника $△ ABC$ с вектором положения $p$ таким, что $p = n + α(h - n)$ , где $α$ — чистая константа, не зависящая от положения четырех ортоцентрических точек и еще трех точек $P A, P B, PC такой$ , что $p a = n + α(a - n)$ и т. д., то $P, PA, P B, PC$ образуют ортоцентрическую систему. Эта сгенерированная ортоцентрическая система всегда гомотетична исходной системе из четырех точек с общим центром из девяти точек в качестве гомотетического центра и α - отношением подобия. .

Когда $P$ выбран в качестве центроида $G$ , тогда $α = -⅓$ . Когда $P$ выбран в качестве центра описанной окружности $O$ , тогда $α = -1$ и сгенерированная ортоцентрическая система конгруэнтна исходной системе, а также является ее отражением относительно девятиточечного центра. В этой конфигурации $PA,, PB PC исходного$ образуют треугольник Джонсона опорного треугольника $△ ABC$ . Следовательно, все описанные окружности четырех треугольников $△ ABC, △ ABH, △ ACH, △ BCH$ равны и образуют набор окружностей Джонсона , как показано на соседней диаграмме.

Дальнейшие свойства [ править ]

Четыре линии Эйлера ортоцентрической системы ортогональны четырем ортическим осям ортоцентрической системы.

Шесть соединителей, которые соединяют любую пару из исходных четырёх ортоцентрических точек, образуют пары соединителей, ортогональных друг другу, так что они удовлетворяют уравнениям расстояний.

{\overline {AB}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BH}}^{2}={\overline {BC}}^{2}+{\overline {AH}}^{2}=4R^{2}

где $R$ — общий радиус описанной окружности четырех возможных треугольников. Эти уравнения вместе с законом синусов приводят к тождеству

{\frac {\overline {BC}}{\sin A}}={\frac {\overline {AC}}{\sin B}}={\frac {\overline {AB}}{\sin C}}={\frac {\overline {HA}}{|\cos A|}}={\frac {\overline {HB}}{|\cos B|}}={\frac {\overline {HC}}{|\cos C|}}=2R.

Теорема Фейербаха утверждает, что окружность из девяти точек касается вписанной и трех вписанных окружностей опорного треугольника. Поскольку окружность из девяти точек является общей для всех четырех возможных треугольников в ортоцентрической системе, она касается 16 окружностей, составляющих вписанные и вписанные окружности четырех возможных треугольников.

Любая коника, проходящая через четыре ортоцентрические точки, может быть только прямоугольной гиперболой .Это результат теоремы Фейербаха о конусах, которая утверждает, что для всех описанных окружностей опорного треугольника, которые также проходят через его ортоцентр, геометрическое место центра такой описанной окружности образует окружность из девяти точек и что описанные окружности могут быть только прямоугольными гиперболами.Геометрическое положение точек зрения этого семейства прямоугольных гипербол всегда будет лежать на четырех ортических осях. Таким образом, если прямоугольная гипербола проведена через четыре ортоцентрических точки, она будет иметь один фиксированный центр в общем девятиточечном круге, но у нее будет четыре перспективы, по одной на каждой из ортических осей четырех возможных треугольников. Одна точка девятиточечного круга, которая является центром этой прямоугольной гиперболы, будет иметь четыре разных определения в зависимости от того, какой из четырех возможных треугольников используется в качестве опорного треугольника.

Хорошо документированные прямоугольные гиперболы, проходящие через четыре ортоцентрические точки, - это окружные гиперболы Фейербаха, Ержабека и Киперта опорного треугольника $△ ABC$ в нормализованной системе с $H$ в качестве ортоцентра.

Четыре возможных треугольника имеют набор из четырех инконик, известных как орто-инконики, которые обладают определенными свойствами. Контакты этих иконик с четырьмя возможными треугольниками происходят в вершинах их общего ортического треугольника. В нормализованной ортоцентрической системе ортиконика, касающаяся сторон треугольника $△ ABC,$ представляет собой эллипс, а ортиконики трех других возможных треугольников являются гиперболами. Эти четыре ортические иконики также имеют одну и ту же Брианшона точку $H$ , ортоцентрическую точку, ближайшую к общему девятиточечному центру. Центры этих ортических иконик являются симмедианными точками $K$ четырех возможных треугольников.

Существует множество документированных кубиков, которые проходят через опорный треугольник и его ортоцентр. Окружной куб, известный как ортокуб - K006, интересен тем, что он проходит через три ортоцентрические системы, а также три вершины ортикубического треугольника (но не ортоцентр ортикического треугольника). Три ортоцентрические системы - это инцентр и эксцентры, опорный треугольник и его ортоцентр и, наконец, ортоцентр опорного треугольника вместе с тремя другими точками пересечения, которые эта кубика имеет с описанной окружностью опорного треугольника.

Любые две полярные окружности двух треугольников в ортоцентрической системе ортогональны . ^[4]

Примечания [ править ]

^ Кочик, Ежи; Солецкий, Анджей (2009). «Распутывание треугольника» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 116 (3): 228–237.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Ортоцентрическая система». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. [1]
^ Джонсон 1929 , с. 182 .
^ Джонсон 1929 , с. 177 .

Ссылки [ править ]

Джонсон, Роджер А. (1929). Современная геометрия: элементарный трактат о геометрии треугольника и круга . Хоутон Миффлин. Переиздано как «Расширенная евклидова геометрия» . Дувр. 1960 год; 2007. См. особенно главу IX. Три примечательных момента .

Внешние ссылки [ править ]

Эрик В. Вайсштейн . «Ортоцентр» , «Теорема Фейербаха» , «Теорема Фейербаха о кониках» , «Гипербола Фейербаха» , « Гипербола Ерабека» , «Гипербола Киперта» , «Ортическая иконика» , «Ортическая ось» , «Перспектор» . Математический мир .
Бернар Жиберт Циркумкубический K006
Кларк Кимберлинг, « Энциклопедия центров треугольника ». (Перечисляет около 5000 интересных точек, связанных с любым треугольником.)

[1] Кочик, Ежи; Солецкий, Анджей (2009). «Распутывание треугольника» (PDF) . Американский математический ежемесячник . 116 (3): 228–237.

[2] Вайсштейн, Эрик В. «Ортоцентрическая система». Из MathWorld — веб-ресурса Wolfram. [1]

[FOOTNOTEJohnson1929[httpsbabelhathitrustorgcgiptidwu89043163211view1upseq200_182]-3] Джонсон 1929 , с. 182 .

[FOOTNOTEJohnson1929[httpsbabelhathitrustorgcgiptidwu89043163211view1upseq195_177]-4] Джонсон 1929 , с. 177 .

[1]

[2]

[3]

[4]