Теорема Брианшона

В геометрии шестиугольник теорема Брианшона — это теорема, утверждающая, что, когда вокруг конического описан сечения , его главные диагонали (соединяющие противоположные вершины) встречаются в одной точке. Он назван в честь Шарля Жюльена Брианшона (1783–1864).

Официальное заявление

Позволять $P_{1}P_{2}P_{3}P_{4}P_{5}P_{6}$ быть шестиугольником , образованным шестью касательными к коническому сечению . Затем строки ${\overline {P_{1}P_{4}}},\;{\overline {P_{2}P_{5}}},\;{\overline {P_{3}P_{6}}}$ (расширенные диагонали, соединяющие противоположные вершины) пересекаются в одной точке $B$ , точка Брианшона . ^[1]^{: с. 218}^[2]

Связь с теоремой Паскаля

Полярная обратная и проективно-двойственная к этой теореме дают теорему Паскаля .

Дегенерации

3-касательное вырождение теоремы Брианшона

Что касается теоремы Паскаля, то существуют вырождения и для теоремы Брианшона: Пусть совпадают две соседние касательные. Точка их пересечения становится точкой коники. На диаграмме совпадают три пары соседних касательных. Эта процедура приводит к утверждению о эллипсах треугольников. С проективной точки зрения два треугольника $P_{1}P_{3}P_{5}$ и $P_{2}P_{4}P_{6}$ лежать в перспективе с центром $B$ . Это означает, что существует центральная коллинеация, которая отображает один треугольник на другой. Но только в особых случаях эта коллинеация является аффинным масштабированием. Например, для эллипса Штейнера, где точка Брианшона является центроидом.

В аффинной плоскости

Теорема Брианшона верна как в аффинной плоскости , так и в вещественной проективной плоскости . Однако ее формулировка в аффинной плоскости в известном смысле менее информативна и более сложна, чем в проективной плоскости . Рассмотрим, например, пять касательных к параболе . Их можно считать сторонами шестиугольника, шестая сторона которого является бесконечной линией , но в аффинной плоскости нет бесконечной линии. В двух случаях линия от (несуществующей) вершины до противоположной вершины будет линией, параллельной одной из пяти касательных линий. Поэтому теорему Брианшона, сформулированную только для аффинной плоскости, в такой ситуации пришлось бы формулировать иначе.

Проективно-двойственный вариант теоремы Брианшона имеет исключения в аффинной плоскости, но не в проективной плоскости.

Доказательство

Теорему Брианшона можно доказать, используя идею радикальной оси или взаимного движения.Для доказательства возьмем произвольную длину (MN) и проведем ее по касательным, начиная с точек контакта: PL = RJ = QH = MN и т. д. Нарисуем окружности a, b, c, касающиеся противоположных сторон шестиугольника в созданных точках ( H,W), (J,V) и (L,Y) соответственно. Легко видеть, что совпадающие прямые совпадают с радикальными осями ab, bc, ca соответственно трех окружностей, взятых попарно. Таким образом, О совпадает с радикальным центром этих трех кругов.

Теорема принимает особые формы в случае описанных пятиугольников, например, когда R и Q имеют тенденцию совпадать с F, в случае, когда AFE преобразуется в касательную в точке F. Затем, проводя дальнейшее аналогичное отождествление точек T, C и U, мы получить соответствующую теорему для четырехугольников.

См. также

Ссылки

^ Уитворт, Уильям Аллен. Трилинейные координаты и другие методы современной аналитической геометрии двух измерений , Забытые книги, 2012 (оригинал Deighton, Bell and Co., 1866). http://www.forgottenbooks.com/search?q=Trilinear+coordinates&t=books
^ Коксетер, HSM (1987). Проективная геометрия (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. Теорема 9.15, с. 83. ИСБН 0-387-96532-7 .

[WW-1] Уитворт, Уильям Аллен. Трилинейные координаты и другие методы современной аналитической геометрии двух измерений , Забытые книги, 2012 (оригинал Deighton, Bell and Co., 1866). http://www.forgottenbooks.com/search?q=Trilinear+coordinates&t=books

[2] Коксетер, HSM (1987). Проективная геометрия (2-е изд.). Спрингер-Верлаг. Теорема 9.15, с. 83. ИСБН 0-387-96532-7 .

[1]

[2]