эллипс

В геометрии треугольника инэллипс , — это эллипс касающийся трех сторон треугольника . Самый простой пример — вписанная окружность . Другими важными эллипсами являются эллипс Штейнера , который касается треугольника в середине его сторон, эллипс Мандара и эллипс Брокара (см. раздел примеров ). Для любого треугольника существует бесконечное количество эллипсов.

Особую роль играет эллипс Штейнера: его площадь наибольшая из всех эллипсов.

Поскольку невырожденное коническое сечение однозначно определяется пятью элементами из множества вершин и касательных, в треугольнике, три стороны которого заданы как касательные, можно указать только точки касания на двух сторонах. Тогда однозначно определяется третья точка контакта.

Параметрические представления, центр, сопряженные диаметры

Вне эллипс треугольника однозначно определяется вершинами треугольника и двумя точками контакта. $U,V$ .

Неэллипс треугольника с вершинами

O=(0,0),\;A=(a_{1},a_{2}),\;B=(b_{1},b_{2})

и точки соприкосновения

U=(u_{1},u_{2}),\;V=(v_{1},v_{2})

на $OA$ и $OB$ соответственно может быть описано рациональным параметрическим представлением

$\left({\frac {4u_{1}\xi ^{2}+v_{1}ab}{4\xi ^{2}+4\xi +ab}},{\frac {4u_{2}\xi ^{2}+v_{2}ab}{4\xi ^{2}+4\xi +ab}}\right)\ ,\ -\infty <\xi <\infty \ ,$

где $a,b$ однозначно определяются выбором точек контакта:

a={\frac {1}{s-1}},\ u_{i}=sa_{i},\quad b={\frac {1}{t-1}},\ v_{i}=tb_{i}\;,\ 0<s,t<1\;.

Третья контакта точка

W=\left({\frac {u_{1}a+v_{1}b}{a+b+2}}\;,\;{\frac {u_{2}a+v_{2}b}{a+b+2}}\right)\;.

Центр находится эллипса

M={\frac {ab}{ab-1}}\left({\frac {u_{1}+v_{1}}{2}},{\frac {u_{2}+v_{2}}{2}}\right)\;.

Векторы

{\vec {f}}_{1}={\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {ab}}{ab-1}}\;(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2})

{\vec {f}}_{2}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {ab}{ab-1}}}\;(u_{1}-v_{1},u_{2}-v_{2})\;

представляют собой два сопряженных полудиаметра , а эллипс имеет более распространенное тригонометрическое параметрическое представление.

${\vec {x}}={\vec {OM}}+{\vec {f}}_{1}\cos \varphi +{\vec {f}}_{2}\sin \varphi \;.$

Точка Брианшона эллипса (общая точка $K$ линий ${\overline {AV}},{\overline {BU}},{\overline {OW}}$ ) является

K:\left({\frac {u_{1}a+v_{1}b}{a+b+1}}\;,\;{\frac {u_{2}a+v_{2}b}{a+b+1}}\right)\ .

Варьируясь $s,t$ это простой вариант прописать две точки контакта $U,V$ . Заданные границы для $s,t$ гарантировать, что точки касания расположены на сторонах треугольника. Они предусматривают $a,b$ границы $-\infty <a,b<-1$ .

Примечание: параметры $a,b$ не являются ни полуосями эллипса, ни длинами двух сторон.

Примеры

эллипс Штейнера

Для $s=t={\tfrac {1}{2}}$ точки соприкосновения $U,V,W$ являются серединами сторон, а эллипс - это эллипс Штейнера (его центр - центр тяжести треугольника).

Обвести

Для $s={\tfrac {|OA|+|OB|-|AB|}{2|OA|}},\;t={\tfrac {|OA|+|OB|-|AB|}{2|OB|}}$ получается вписанная окружность треугольника с центром

{\vec {OM}}={\frac {|OB|{\vec {OA}}+|OA|{\vec {OB}}}{|OA|+|OB|+|AB|}}\;.

Мандарт в эллипсе

Для $s={\tfrac {|OA|-|OB|+|AB|}{2|OA|}},\;t={\tfrac {-|OA|+|OB|+|AB|}{2|OB|}}$ эллипс - это эллипс Мандарта треугольника. Он касается сторон в точках касания вписанных окружностей (см. схему).

Неэллипс Брокара

Для $\ s={\tfrac {|OB|^{2}}{|OB|^{2}+|AB|^{2}}}\;,\quad t={\tfrac {|OA|^{2}}{|OA|^{2}+|AB|^{2}}}\;$ получается эллипс Брокара . Он однозначно определяется своей точкой Брианшона, заданной в трилинейных координатах. $\ K:(|OB|:|OA|:|AB|)\$ .

Выводы утверждений

Определение внутреннего эллипса путем решения задачи для гиперболы в $\xi$ - $\eta$ -плоскость и дополнительное преобразование решения в *плоскость x* - y . $M$ является центром искомого эллипса и $D_{1}D_{2},\;E_{1}E_{2}$ два сопряженных диаметра. В обеих плоскостях существенные точки обозначены одними и теми же символами. $g_{\infty }$ — линия на бесконечности *плоскости x* - y .

Новые координаты

Для доказательства утверждений задача рассматривается проективно и вводятся удобные новые неоднородные $\xi$ - $\eta$ -координаты такие, что искомое коническое сечение выглядит как гипербола , а точки $U,V$ станут точками на бесконечности новых осей координат. Очки $A=(a_{1},a_{2}),\;B=(b_{1},b_{2})$ будет описываться в новой системе координат $A=[a,0],B=[0,b]$ и соответствующая линия имеет уравнение ${\frac {\xi }{a}}+{\frac {\eta }{b}}=1$ . (Ниже выяснится, что $a,b$ действительно имеют тот же смысл, что и в предыдущем утверждении.) Теперь ищется гипербола с осями координат в качестве асимптот, касающаяся прямой ${\overline {AB}}$ . Это легкая задача. Путем простого расчета получаем гиперболу с уравнением $\eta ={\frac {ab}{4\xi }}$ . Он касается линии ${\overline {AB}}$ в точку $W=[{\tfrac {a}{2}},{\tfrac {b}{2}}]$ .

Преобразование координат

Преобразование решения в плоскость x - y будет производиться с использованием однородных координат и матрицы

{\begin{bmatrix}u_{1}&v_{1}&0\\u_{2}&v_{2}&0\\1&1&1\end{bmatrix}}\quad

.

точка $[x_{1},x_{2},x_{3}]$ отображается на

{\begin{bmatrix}u_{1}&v_{1}&0\\u_{2}&v_{2}&0\\1&1&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\x_{2}\\x_{3}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}u_{1}x_{1}+v_{1}x_{2}\\u_{2}x_{1}+v_{2}x_{2}\\x_{1}+x_{2}+x_{3}\end{pmatrix}}\rightarrow \left({\frac {u_{1}x_{1}+v_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}+x_{3}}}\;,\;{\frac {u_{2}x_{1}+v_{2}x_{2}}{x_{1}+x_{2}+x_{3}}}\right),\quad {\text{if }}x_{1}+x_{2}+x_{3}\neq 0.

точка $[\xi ,\eta ]$ принадлежащий $\xi$ - $\eta$ -плоскость представлена вектором-столбцом $[\xi ,\eta ,1]^{T}$ (см. однородные координаты ). Точка, находящаяся на бесконечности, представлена $[\cdots ,\cdots ,0]^{T}$ .

Координатное преобразование существенных точек

U:\ [1,0,0]^{T}\ \rightarrow \ (u_{1},u_{2})\ ,\quad V:\ [0,1,0]^{T}\ \rightarrow \ (v_{1},v_{2})\ ,

O:\ [0,0]\ \rightarrow \ (0,0)\ ,\quad A:\ [a,0]\rightarrow \ (a_{1},a_{2})\ ,\quad B:\ [0,b]\rightarrow \ (b_{1},b_{2})\ ,

(Следует учитывать:

\ a={\tfrac {1}{s-1}},\ u_{i}=sa_{i},\quad b={\tfrac {1}{t-1}},\ v_{i}=tb_{i}\;

; смотри выше.)

$g_{\infty }:\xi +\eta +1=0\$ — уравнение линии на бесконечности плоскости x — y ; его точка в бесконечности равна $[1,-1,0]^{T}$ .

[1,-1,{\color {red}0}]^{T}\ \rightarrow \ (u_{1}-v_{1},u_{2}-v_{2},{\color {red}0})^{T}

Отсюда точка на бесконечности $g_{\infty }$ (в $\xi$ - $\eta$ -плоскость) отображается в бесконечную точку плоскости x - y . Это означает: две касательные гиперболы, параллельные $g_{\infty }$ , параллельны и в плоскости x - y . Их точки соприкосновения

D_{i}:\left[{\frac {\pm {\sqrt {ab}}}{2}},{\frac {\pm {\sqrt {ab}}}{2}}\right]\ \rightarrow \ {\frac {1}{2}}{\frac {\pm {\sqrt {ab}}}{1\pm {\sqrt {ab}}}}\;(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2}),\;

Поскольку касательные эллипса касаются в точках $D_{1},D_{2}$ параллельны, хорда $D_{1}D_{2}$ - диаметр , а его середина - центр $M$ эллипса

M:\ {\frac {1}{2}}{\frac {ab}{ab-1}}\left(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2}\right)\;.

Легко проверяется, что $M$ имеет $\xi$ - $\eta$ -координаты

\ M:\;\left[{\frac {-ab}{2}},{\frac {-ab}{2}}\right]\;.

Чтобы определить диаметр эллипса, сопряженного с $D_{1}D_{2}$ , в $\xi$ - $\eta$ -плоскость, нужно определить общие точки $E_{1},E_{2}$ гиперболы с линией, проходящей через $M$ параллельно касательным (его уравнение $\xi +\eta +ab=0$ ). Получаешь $E_{i}:\left[{\tfrac {-ab\pm {\sqrt {ab(ab-1)}}}{2}},{\tfrac {-ab\mp {\sqrt {ab(ab-1)}}}{2}}\right]$ . И в x - y координатах :

\ E_{i}={\frac {1}{2}}{\frac {ab}{ab-1}}\left(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2}\right)\pm {\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {ab(ab-1)}}{ab-1}}\left(u_{1}-v_{1},u_{2}-v_{2}\right)\;,

Из двух сопряженных диаметров $D_{1}D_{2},E_{1}E_{2}$ можно получить два векторно- сопряженных полудиаметра.

{\begin{aligned}{\vec {f}}_{1}&={\vec {MD_{1}}}={\frac {1}{2}}{\frac {\sqrt {ab}}{ab-1}}\;(u_{1}+v_{1},u_{2}+v_{2})\\[6pt]{\vec {f}}_{2}&={\vec {ME_{1}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {ab}{ab-1}}}\;(u_{1}-v_{1},u_{2}-v_{2})\;\end{aligned}}

и, по крайней мере, тригонометрическое параметрическое представление эллипса:

{\vec {x}}={\vec {OM}}+{\vec {f}}_{1}\cos \varphi +{\vec {f}}_{2}\sin \varphi \;.

Аналогично случаю эллипса Штейнера можно определить полуоси, эксцентриситет, вершины, уравнение в координатах x - y и площадь эллипса.

Третья точка соприкосновения $W$ на $AB$ является:

W:\left[{\frac {a}{2}},{\frac {b}{2}}\right]\ \rightarrow \ \left({\frac {u_{1}a+v_{1}b}{a+b+2}}\;,\;{\frac {u_{2}a+v_{2}b}{a+b+2}}\right)\;.

Точка Брианшона эллипса является общей точкой. $K$ из трех линий ${\overline {AV}},{\overline {BU}},{\overline {OW}}$ . В $\xi$ - $\eta$ -плоскости эти линии имеют уравнения: $\xi =a\;,\;\eta =b\;,\;a\eta -b\xi =0$ . Следовательно, точка $K$ имеет координаты:

K:\ [a,b]\ \rightarrow \ \left({\frac {u_{1}a+v_{1}b}{a+b+1}}\;,\;{\frac {u_{2}a+v_{2}b}{a+b+1}}\right)\ .

Преобразование гиперболы $\ \eta ={\frac {ab}{4\xi }}$ дает рациональное параметрическое представление эллипса:

\left[\xi ,{\frac {ab}{4\xi }}\right]\ \rightarrow \ \left({\frac {4u_{1}\xi ^{2}+v_{1}ab}{4\xi ^{2}+4\xi +ab}},{\frac {4u_{2}\xi ^{2}+v_{2}ab}{4\xi ^{2}+4\xi +ab}}\right)\ ,\ -\infty <\xi <\infty \ .

Обвести

Для вписанного есть $|OU|=|OV|$ , что эквивалентно

(1)

\;s|OA|=t|OB|\;.\

Кроме того

(2)

\;(1-s)|OA|+(1-t)|OB|=|AB|

. (см. схему)

Решая эти два уравнения для $s,t$ каждый получает

(3)

\;s={\frac {|OA|+|OB|-|AB|}{2|OA|}},\;t={\frac {|OA|+|OB|-|AB|}{2|OB|}}\;.

Чтобы получить координаты центра, сначала вычисляют, используя (1) и (3)

1-{\frac {1}{ab}}=1-(s-1)(t-1)=-st+s+t=\cdots ={\frac {s}{2(|OB|}}(|OA|+|OB|+|AB|)\;.

Следовательно

{\vec {OM}}={\frac {|OB|}{s(|OA|+|OB|+|AB|)}}\;(s{\vec {OA}}+t{\vec {OB}})=\cdots ={\frac {|OB|{\vec {OA}}+|OA|{\vec {OB}}}{|OA|+|OB|+|AB|}}\;.

Мандарт в эллипсе

Параметры $s,t$ ибо эллипс Мандарта можно получить из свойств точек контакта (см. de: Ankreis ).

Неэллипс Брокара

Эллипс Брокара треугольника однозначно определяется его точкой Брианшона, заданной в трилинейных координатах. $\ K:(|OB|:|OA|:|AB|)\$ . ^[1] Изменение трилинейных координат в более удобное представление $\ K:k_{1}{\vec {OA}}+k_{2}{\vec {OB}}\$ (см. трилинейные координаты ) дает $\ k_{1}={\tfrac {|OB|^{2}}{|OB|^{2}+|OA|^{2}+|AB|^{2}}},\;k_{2}={\tfrac {|OA|^{2}}{|OB|^{2}+|OA|^{2}+|AB|^{2}}}\$ . С другой стороны, если параметры $s,t$ эллипса даны, рассчитывается по приведенной выше формуле для $K$ : $\ k_{1}={\tfrac {s(t-1)}{st-1}},\;k_{2}={\tfrac {t(s-1)}{st-1}}\$ . Приравнивая оба выражения для $k_{1},k_{2}$ и решение для $s,t$ урожайность

s={\frac {|OB|^{2}}{|OB|^{2}+|AB|^{2}}}\;,\quad t={\frac {|OA|^{2}}{|OA|^{2}+|AB|^{2}}}\;.

Эллипс с наибольшей площадью

Эллипс Штейнера имеет наибольшую площадь среди всех эллипсов треугольника.

Доказательство

Из теоремы Аполлония о свойствах сопряженных полудиаметров ${\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2}$ эллипса получается:

F=\pi \left|\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})\right|\quad

(см. статью об эллипсе Штейнера ).

Для эллипса с параметрами $s,t$ каждый получает

\det({\vec {f}}_{1},{\vec {f}}_{2})={\frac {1}{4}}{\frac {ab}{(ab-1)^{3/2}}}\det(s{\vec {a}}+t{\vec {b}},s{\vec {a}}-t{\vec {b}})

={\frac {1}{2}}{\frac {s{\sqrt {s-1}}\;t{\sqrt {t-1}}}{(1-(s-1)(t-1))^{3/2}}}\det({\vec {b}},{\vec {a}})\;,

где ${\vec {a}}=(a_{1},a_{2}),\;{\vec {b}}=(b_{1},b_{2}),\;{\vec {u}}=(u_{1},u_{2}),{\vec {v}}=(v_{1},v_{2}),\;{\vec {u}}=s{\vec {a}},\;{\vec {v}}=t{\vec {b}}$ .
Чтобы исключить корни, достаточно исследовать экстремумы функции $G(s,t)={\tfrac {s^{2}(s-1)\;t^{2}(t-1)}{(1-(s-1)(t-1))^{3}}}$ :