эллипс Штейнера

В геометрии это эллипс Штейнера . ^[1] середина эллипса или эллипс средней точки — треугольника это уникальный эллипс, вписанный в треугольник и касающийся сторон в их серединах . Это пример эллипса . Для сравнения, вписанный круг и эллипс Мандара в треугольнике представляют собой другие неконики, которые касаются сторон, но не в средних точках, если треугольник не является равносторонним . Эллипс Штейнера приписывает Дерри. ^[2] Якобу Штайнеру , а доказательство его уникальности дает Дэн Калман. ^[3]

Эллипс Штейнера контрастирует с окружным эллипсом Штейнера треугольника , также называемым просто эллипсом Штейнера, который представляет собой уникальный эллипс, который проходит через вершины данного треугольника и чей центр является центроидом . ^[4]

Определение и свойства [ править ]

Определение

Эллипс, касающийся сторон треугольника $△ ABC$ в его серединах. $M_{1},M_{2},M_{3}$ называется Штейнера △ $. ABC$ эллипсом

Произвольный треугольник $△ ABC$

эллипс Штейнера

Эллипс Штейнера

Большая и малая оси

Равносторонний треугольник $△ ABC$

эллипс Штейнера

Эллипс Штейнера

Характеристики:
Для произвольного треугольника $△ ABC$ со средними точками $M_{1},M_{2},M_{3}$ его сторон верны следующие утверждения:
а) Существует ровно один эллипс Штейнера.
б) Центр эллипса Штейнера — это центр тяжести $S$ треугольника $△ ABC$ .
в1) Треугольник $\triangle M_{1}M_{2}M_{3}$ имеет тот же центр тяжести $S$ , а эллипс Штейнера треугольника $△ ABC$ является эллипсом Штейнера треугольника. $\triangle M_{1}M_{2}M_{3}.$
в2) Эллипс Штейнера треугольника — это масштабированный эллипс Штейнера с масштабным коэффициентом 1/2 и центроидом в качестве центра. Следовательно, оба эллипса имеют одинаковый эксцентриситет , подобны .
г) Площадь эллипса Штейнера равна ${\tfrac {\pi }{3{\sqrt {3}}}}$ - умножить на площадь треугольника.
д) Эллипс Штейнера имеет наибольшую площадь среди всех эллипсов треугольника. ^[5]^{: стр.146}^[6]^{: Следствие 4.2.}

Доказательство

Доказательства свойств а), б), в) основаны на следующих свойствах аффинного отображения: 1) любой треугольник можно рассматривать как аффинный образ равностороннего треугольника. 2) Середины сторон сопоставляются с серединами, а центроиды с центроидами. Центр эллипса отображается в центре его изображения.
Следовательно, достаточно доказать свойства а), б), в) для равностороннего треугольника:
а) Для любого равностороннего треугольника существует вписанная окружность . Он касается сторон в своих средних точках. Другого (невырожденного) конического сечения с такими же свойствами не существует, поскольку коническое сечение определяется 5 точками/касательными.
б) Путем простого расчета.
в) Описанная окружность отображается посредством масштабирования с коэффициентом 1/2 и центроидом в качестве центра на вписанную окружность. Эксцентриситет является инвариантом.
г) Отношение площадей инвариантно к аффинным преобразованиям. Таким образом, соотношение можно рассчитать для равностороннего треугольника.
д) См. Inellipse .

Параметрическое представление и полуоси [ править ]

Параметрическое представление:

Поскольку эллипс Штейнера треугольника $△ ABC$ представляет собой масштабированный эллипс Штейнера (коэффициент 1/2, центр — центроид), можно получить параметрическое представление, полученное из тригонометрического представления эллипса Штейнера :

{\vec {x}}={\vec {p}}(t)={\overrightarrow {OS}}\;+\;{\color {blue}{\frac {1}{2}}}{\overrightarrow {SC}}\;\cos t\;+\;{\frac {1}{{\color {blue}2}{\sqrt {3}}}}{\overrightarrow {AB}}\;\sin t\;,\quad 0\leq t<2\pi \ .

Четыре вершины эллипса Штейнера:

{\vec {p}}(t_{0}),\;{\vec {p}}(t_{0}\pm {\frac {\pi }{2}}),\;{\vec {p}}(t_{0}+\pi ),

где

t 0

— решение задачи

\cot(2t_{0})={\tfrac {{\vec {f}}_{1}^{\,2}-{\vec {f}}_{2}^{\,2}}{2{\vec {f}}_{1}\cdot {\vec {f}}_{2}}}\quad

с

\quad {\vec {f}}_{1}={\frac {1}{2}}{\vec {SC}},\quad {\vec {f}}_{2}={\frac {1}{2{\sqrt {3}}}}{\vec {AB}}\ .

Полуоси:

С сокращениями

{\begin{aligned}M&:={\color {blue}{\frac {1}{4}}}\left({\vec {SC}}^{2}+{\frac {1}{3}}{\vec {AB}}^{2}\right)\\N&:={\frac {1}{{\color {blue}4}{\sqrt {3}}}}\left|\det \left({\vec {SC}},{\vec {AB}}\right)\right|\end{aligned}}

для полуосей

a, b

(где

a > b

):

{\begin{aligned}a&={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {M+2N}}+{\sqrt {M-2N}}\right)\\b&={\frac {1}{2}}\left({\sqrt {M+2N}}-{\sqrt {M-2N}}\right)\ .\end{aligned}}

Линейный эксцентриситет $c$ эллипса Штейнера равен

c={\sqrt {a^{2}-b^{2}}}=\dotsb ={\sqrt {\sqrt {M^{2}-4N^{2}}}}\ .

Трилинейное уравнение [ править ]

Уравнение эллипса Штейнера в трилинейных координатах для треугольника с длинами сторон $a, b, c$ (при этом эти параметры имеют иной смысл, чем ранее) имеет вид ^[1]

a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+c^{2}z^{2}-2abxy-2bcyz-2cazx=0

где $x$ — произвольная положительная константа, умноженная на расстояние точки от стороны длины $a$ , и аналогично для $b$ и $c$ с той же мультипликативной константой.

Другая недвижимость [ править ]

Длины большой и малой полуосей треугольника со сторонами $a, b, c$ равны ^[1]

{\frac {1}{6}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}\pm 2Z}},

где

Z={\sqrt {a^{4}+b^{4}+c^{4}-a^{2}b^{2}-b^{2}c^{2}-c^{2}a^{2}}}.

По теореме Мардена , ^[3] если три вершины треугольника являются комплексными нулями кубического многочлена , то фокусы эллипса Штейнера являются нулями производной многочлена .

Главная ось эллипса Штейнера — это линия наилучшего ортогонального соответствия вершин. ^[6]^{: Следствие 2.4.}

Обозначим центр тяжести, а также первую и вторую точки Ферма треугольника как $G,F_{+},F_{-}$ соответственно. Большая ось эллипса Штейнера треугольника является внутренней биссектрисой $\angle F_{+}GF_{-}.$ Длины осей $|GF_{-}|\pm |GF_{+}|\!;$ то есть сумма и разность расстояний точек Ферма от центроида. ^[7]^{: Тэм. 1}

Оси эллипса Штейнера треугольника касаются его параболы Киперта, единственной параболы, которая касается сторон треугольника и имеет линию Эйлера в качестве направляющей . ^[7]^{: Тэм. 3}

Фокусами эллипса Штейнера треугольника являются пересечения большой оси эллипса и круга с центром на малой оси, проходящего через точки Ферма. ^[7]^{: Тэм. 6}

Как и в случае с любым эллипсом, вписанным в треугольник $△ ABC$ , если считать фокусами $P$ и $Q,$ то получим ^[8]

{\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\overline {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.

Обобщение [ править ]

Эллипс Штейнера треугольника можно обобщить до $n$ -угольников: некоторые $n$ -угольники имеют внутренний эллипс, касающийся каждой стороны в средней точке стороны. Теорема Мардена по-прежнему применима: фокусы эллипса Штейнера являются нулями производной многочлена, нули которого являются вершинами $n$ -угольника. ^[9]

Ссылки [ править ]

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Вайсштейн, Э. «Steiner Inellipse» — из MathWorld, веб-ресурса Wolfram, http://mathworld.wolfram.com/SteinerInellipse.html .
^ Х. Дорри, 100 великих задач элементарной математики, их история и решение (перевод Д. Антина), Дувр, Нью-Йорк, 1965, задача 98.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Калман, Дэн (2008), «Элементарное доказательство теоремы Мардена» (PDF) , American Mathematical Monthly , 115 (4): 330–338, JSTOR 27642475 , MR 2398412 , заархивировано из оригинала (PDF) 08.2012 г. 26 .
^ Вайсштейн, Эрик В. «Окружность Штайнера» . Математический мир .
^ Чакериан, Г.Д. (1979), «Искаженный взгляд на геометрию», в Хонсбергере, Росс (редактор), «Математические сливы» , «Математические изложения Дольчиани», том. 4, Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, стр. 135–136, 145–146 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Минда, Д. ; Фелпс, С. (2008), «Треугольники, эллипсы и кубические полиномы» (PDF) , American Mathematical Monthly , 115 (8): 679–689, MR 2456092 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Скимеми, Бенедетто, «Простые соотношения относительно эллипса Штейнера треугольника», Forum Geometricorum 10, 2010: 55–77.
^ Аллер, Патрисия Р.; Чжоу, Цзюньминь; и Яо, Хайшен, «Доказательство идентичности эллипса девятнадцатого века», Mathematical Gazette 96, март 2012 г., стр. 161–165.
^ Пэриш, Джеймс Л., «О производной вершинного многочлена», Forum Geometricorum 6, 2006, стр. 285–288: Предложение 5.

[Weisstein-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Вайсштейн, Э. «Steiner Inellipse» — из MathWorld, веб-ресурса Wolfram, http://mathworld.wolfram.com/SteinerInellipse.html .

[2] Х. Дорри, 100 великих задач элементарной математики, их история и решение (перевод Д. Антина), Дувр, Нью-Йорк, 1965, задача 98.

[Kalman-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Калман, Дэн (2008), «Элементарное доказательство теоремы Мардена» (PDF) , American Mathematical Monthly , 115 (4): 330–338, JSTOR 27642475 , MR 2398412 , заархивировано из оригинала (PDF) 08.2012 г. 26 .

[4] Вайсштейн, Эрик В. «Окружность Штайнера» . Математический мир .

[Chakerian-5] Чакериан, Г.Д. (1979), «Искаженный взгляд на геометрию», в Хонсбергере, Росс (редактор), «Математические сливы» , «Математические изложения Дольчиани», том. 4, Вашингтон, округ Колумбия: Математическая ассоциация Америки, стр. 135–136, 145–146 .

[Minda-6] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Минда, Д. ; Фелпс, С. (2008), «Треугольники, эллипсы и кубические полиномы» (PDF) , American Mathematical Monthly , 115 (8): 679–689, MR 2456092 .

[Scimemi-7] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Скимеми, Бенедетто, «Простые соотношения относительно эллипса Штейнера треугольника», Forum Geometricorum 10, 2010: 55–77.

[8] Аллер, Патрисия Р.; Чжоу, Цзюньминь; и Яо, Хайшен, «Доказательство идентичности эллипса девятнадцатого века», Mathematical Gazette 96, март 2012 г., стр. 161–165.

[9] Пэриш, Джеймс Л., «О производной вершинного многочлена», Forum Geometricorum 6, 2006, стр. 285–288: Предложение 5.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]