Средняя точка

В геометрии — средняя точка это середина прямой отрезка . Он равноудален от обеих конечных точек и является центроидом как сегмента, так и конечных точек. Он делит сегмент пополам.

Формула [ править ]

Середина отрезка n -мерного пространства, концы которого равны $A=(a_{1},a_{2},\dots ,a_{n})$ и $B=(b_{1},b_{2},\dots ,b_{n})$ дается

{\frac {A+B}{2}}.

То есть я ^й координата средней точки ( i = 1, 2, ..., n ) равна

{\frac {a_{i}+b_{i}}{2}}.

Строительство [ править ]

Учитывая две точки интереса, найти середину отрезка линии, который они определяют, можно с помощью циркуля и линейки . Середину отрезка линии, вложенного в плоскость , можно определить, сначала построив линзу с использованием дуг окружностей одинакового (и достаточно большого) радиуса с центрами в двух конечных точках, а затем соединив выступы линзы (две точки, в которых находится точка дуги пересекаются). Точка, в которой линия, соединяющая точки пересечения, пересекает сегмент, является средней точкой сегмента. Найти середину с помощью только циркуля сложнее, но согласно теореме Мора-Машерони это все же возможно . ^[1]

Геометрические свойства, включающие средние точки [ править ]

Круг [ править ]

Середина любого диаметра круга . является центром круга

Любая линия , перпендикулярная любой хорде окружности и проходящая через ее середину, также проходит через центр окружности.

Теорема о бабочке гласит, что если $M$ является серединой хорды $PQ$ окружности, через которую $две другие хорды AB$ и $CD$ проведены $, то AD$ и $BC$ пересекают хорду $PQ$ в точках $X$ и $Y$ соответственно, так что $M$ является средней точкой окружности. $ХY$ .

Эллипс [ править ]

Середина любого сегмента, который является площади биссектрисой или периметра биссектрисой эллипса, является центром эллипса.

Центр эллипса также является средней точкой отрезка, соединяющего два фокуса эллипса.

Гипербола [ править ]

Середина отрезка, соединяющего вершины гиперболы, является центром гиперболы.

Треугольник [ править ]

Биссектриса стороны треугольника — это прямая, перпендикулярная этой стороне и проходящая через ее середину. Три биссектрисы трех сторон треугольника пересекаются в центре описанной окружности (центре окружности, проходящей через три вершины).

Медиана вершину стороны треугольника проходит как через середину стороны, так и через противоположную треугольника . Три медианы треугольника пересекаются в центре тяжести треугольника (точке, в которой треугольник балансировал бы, если бы он был сделан из тонкого листа металла одинаковой плотности).

Центр девяти точек треугольника лежит в середине между центром описанной окружности и ортоцентром . Все эти точки находятся на линии Эйлера .

( Средний отрезок или средняя линия ) треугольника — это отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника. Он параллелен третьей стороне и имеет длину, равную половине этой третьей стороны.

Средний треугольник данного треугольника имеет вершины в серединах сторон данного треугольника, поэтому его стороны являются тремя средними отрезками данного треугольника. Он имеет тот же центр тяжести и медианы, что и данный треугольник. Периметр (половине периметра) исходного треугольника медиального треугольника равен полупериметру , а его площадь равна одной четверти площади исходного треугольника. Ортоцентр . (пересечение высот ) медиального треугольника совпадает с центром описанной окружности (центром окружности, проходящей через вершины) исходного треугольника

Каждый треугольник имеет вписанный эллипс , называемый эллипсом Штейнера , который внутренне касается треугольника в серединах всех его сторон. Центр этого эллипса находится в центроиде треугольника, и он имеет наибольшую площадь среди всех эллипсов, вписанных в треугольник.

В прямоугольном треугольнике центр описанной окружности является серединой гипотенузы .

В равнобедренном треугольнике медиана, высота и биссектриса со стороны основания и биссектриса угла совпадают вершины с линией Эйлера и осью симметрии , и эти совпадающие линии проходят через середину стороны основания.

Четырехугольник [ править ]

Две бимедианы выпуклого . четырехугольника — это отрезки, которые соединяют середины противоположных сторон и, следовательно, делят пополам две стороны Две бимедианы и отрезок, соединяющий середины диагоналей, совпадают (все пересекаются) в точке, называемой «центроидом вершины», которая является средней точкой всех трех этих сегментов. ^[2]^{: стр. 125}

Четыре «высоты» выпуклого четырехугольника представляют собой перпендикуляры к стороне, проходящие через середину противоположной стороны, следовательно, делящие последнюю сторону пополам. Если четырехугольник циклический (вписанный в круг), все эти степени сходятся в общей точке, называемой «антицентром».

Теорема Брахмагупты утверждает, что если вписанный четырехугольник ортодиагонален (то есть имеет перпендикулярные диагонали ), то перпендикуляр к стороне из точки пересечения диагоналей всегда проходит через середину противоположной стороны.

Теорема Вариньона утверждает, что середины сторон произвольного четырехугольника образуют вершины параллелограмма , и если четырехугольник не является самопересекающимся, то площадь параллелограмма равна половине площади четырехугольника.

Линия Ньютона — это линия, соединяющая середины двух диагоналей в выпуклом четырёхугольнике, не являющемся параллелограммом. Отрезки, соединяющие середины противоположных сторон выпуклого четырехугольника, пересекаются в точке, лежащей на прямой Ньютона.

Общие полигоны [ править ]

входит В правильный многоугольник вписанная окружность , касающаяся каждой стороны многоугольника в его средней точке.

В правильном многоугольнике с четным числом сторон середина диагонали между противоположными вершинами является центром многоугольника.

Многоугольник с растяжением средней точки циклического многоугольника $P$ ( многоугольник , все вершины которого попадают в одну и ту же окружность) — это другой циклический многоугольник, вписанный в ту же окружность, многоугольник, вершины которого являются серединами дуг окружности между вершинами $P$ . ^[3] Повторение операции растяжения средней точки произвольного начального многоугольника приводит к получению последовательности многоугольников, форма которых сходится к форме правильного многоугольника . ^[3]^[4]

Обобщения [ править ]

В приведенных выше формулах для середины отрезка неявно используются длины отрезков. Однако в обобщении аффинной геометрии , где длины сегментов не определены, ^[5] среднюю точку все еще можно определить, поскольку она является аффинным инвариантом . Синтетическое проективно определение середины $M$ отрезка $AB$ является -гармоническим сопряжением точки бесконечной P $аффинное$ прямой $AB$ . То есть точка $M$ такая, что $H[A, B; П, М]$ . ^[6] Когда координаты можно ввести в аффинной геометрии, два определения средней точки будут совпадать. ^[7]

Средняя точка естественным образом не определена в проективной геометрии, поскольку не существует выделенной точки, которая играла бы роль точки, находящейся на бесконечности (любая точка в проективном диапазоне может быть проективно отображена в любую другую точку в (том же или каком-либо другом) проективном диапазоне) . Однако фиксация точки на бесконечности определяет аффинную структуру на рассматриваемой проективной прямой , и приведенное выше определение можно применить.

Определение середины сегмента может быть распространено на сегменты кривых , такие как геодезические дуги на римановом многообразии . Обратите внимание, что, в отличие от аффинного случая, середина между двумя точками не может быть определена однозначно.

См. также [ править ]

Ссылки [ править ]

^ «Математический мир Вольфрама» . 29 сентября 2010 г.
^ Альтшиллер-Корт, Натан, Геометрия колледжа , Dover Publ., 2007.
^ Jump up to: ^а ^б Дин, Цзю; Хитт, Л. Ричард; Чжан, Синь-Мин (1 июля 2003 г.), «Цепи Маркова и динамическая геометрия многоугольников» (PDF) , Линейная алгебра и ее приложения , 367 : 255–270, doi : 10.1016/S0024-3795(02)00634-1 , получено 19 октября 2011 г.
^ Гомес-Мартин, Франциско; Таслакян, Перуз; Туссен, Годфрид Т. (2008), «Сходимость теневой последовательности вписанных многоугольников», 18-й осенний семинар по вычислительной геометрии.
^ Фишбэк, WT (1969), Проективная и евклидова геометрия (2-е изд.), John Wiley & Sons, стр. 214, ISBN 0-471-26053-3
^ Месерв, Брюс Э. (1983) [1955], «Фундаментальные концепции геометрии» , Дувр, стр. 156, ISBN 0-486-63415-9
^ Янг, Джон Уэсли (1930), Проективная геометрия , Математические монографии Каруса № 4, Математическая ассоциация Америки, стр. 84–85.

Внешние ссылки [ править ]

Анимация – демонстрация характеристик средней точки отрезка.

[1] «Математический мир Вольфрама» . 29 сентября 2010 г.

[Altshiller-Court-2] Альтшиллер-Корт, Натан, Геометрия колледжа , Dover Publ., 2007.

[dhz-3] Jump up to: ^а ^б Дин, Цзю; Хитт, Л. Ричард; Чжан, Синь-Мин (1 июля 2003 г.), «Цепи Маркова и динамическая геометрия многоугольников» (PDF) , Линейная алгебра и ее приложения , 367 : 255–270, doi : 10.1016/S0024-3795(02)00634-1 , получено 19 октября 2011 г.

[4] Гомес-Мартин, Франциско; Таслакян, Перуз; Туссен, Годфрид Т. (2008), «Сходимость теневой последовательности вписанных многоугольников», 18-й осенний семинар по вычислительной геометрии.

[5] Фишбэк, WT (1969), Проективная и евклидова геометрия (2-е изд.), John Wiley & Sons, стр. 214, ISBN 0-471-26053-3

[6] Месерв, Брюс Э. (1983) [1955], «Фундаментальные концепции геометрии» , Дувр, стр. 156, ISBN 0-486-63415-9

[7] Янг, Джон Уэсли (1930), Проективная геометрия , Математические монографии Каруса № 4, Математическая ассоциация Америки, стр. 84–85.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]