Теорема Мора – Маскерони

В математике теорема Мора-Машерони гласит, что любое геометрическое построение, которое можно выполнить с помощью циркуля и линейки, можно выполнить только с помощью циркуля.

Надо понимать, что под «всякой геометрической конструкцией» понимаются фигуры, не содержащие прямых линий, так как без линейки провести прямую линию явно невозможно. Понятно, что линия определена при условии, что заданы или построены две различные точки на этой линии, даже если визуальное представление линии не присутствует. Теорему можно сформулировать более точно так: ^[1]

Любая евклидова конструкция, поскольку заданные и требуемые элементы являются точками (или окружностями), может быть завершена только с помощью циркуля, если ее можно завершить с помощью циркуля и линейки вместе.

Хотя использование линейки может значительно облегчить построение, теорема показывает, что любой набор точек, который полностью определяет построенную фигуру, может быть определен только с помощью циркуля, и единственная причина использовать линейку — это эстетика наблюдения прямых линий. , что для целей построения функционально ненужно.

История

Результат был первоначально опубликован Георгом Мором в 1672 году. ^[2] но его доказательство томилось в безвестности до 1928 года. ^[3]^[4]^[5] Теорема была независимо открыта Лоренцо Маскерони в 1797 году и была известна как теорема Маскерони, пока работа Мора не была открыта заново. ^[6]

Известно несколько доказательств результата. Доказательство Маскерони 1797 года в целом основывалось на идее использования отражения в линии в качестве основного инструмента. Решение Мора было другим. ^[3] В 1890 году Август Адлер опубликовал доказательство с помощью инверсионного преобразования . ^[7]

Алгебраический подход использует изоморфизм между евклидовой плоскостью и действительным координатным пространством. $\mathbb {R} ^{2}$ . Таким образом, в 1990 году была доказана более сильная версия теоремы. ^[8] Также показана зависимость теоремы от аксиомы Архимеда (которая не может быть сформулирована на языке первого порядка ).

Конструктивное доказательство

Контур

Чтобы доказать теорему, необходимо доказать, что каждая из основных конструкций циркуля и линейки возможна с использованием только циркуля, поскольку они являются основой или элементарными шагами для всех других конструкций. Это:

Создание линии через две существующие точки
Создание круга через одну точку с центром в другой точке
Создание точки, которая является пересечением двух существующих непараллельных линий.
Создание одной или двух точек на пересечении линии и круга (если они пересекаются)
Создание одной или двух точек пересечения двух окружностей (если они пересекаются).

№1 – Линия, проходящая через две точки

Понятно, что прямую линию без линейки провести невозможно. Считается, что линия задана любыми двумя точками, поскольку любая такая пара определяет уникальную линию. В соответствии с целью теоремы, которую мы стремимся доказать, фактическую линию следует проводить не иначе, как по эстетическим соображениям.

№2 — Окружность, проходящая через одну точку с определенным центром.

Это можно сделать только с помощью компаса. Для этого не потребуется линейка.

№5 – Пересечение двух кругов

Это построение также можно выполнить непосредственно с помощью циркуля.

№3, №4 — Остальные конструкции.

Таким образом, для доказательства теоремы необходимо привести только конструкции компаса для №3 и №4.

Обозначения и примечания

В этой статье будут использоваться следующие обозначения. Окружность, центр которой находится в точке $U$ и проходит через точку $V,$ будем обозначать $U (V)$ . Круг с центром $U$ и радиусом, указанным числом $r$ , или отрезок $AB$ будет обозначаться $U (r)$ или $U (AB)$ соответственно. ^[9]

В общих конструкциях часто существует несколько вариантов, которые дают один и тот же результат. Выбор в таком варианте можно сделать без потери общности. Однако когда конструкция используется для доказательства того, что что-то можно сделать, нет необходимости описывать все эти различные варианты, и для ясности изложения ниже будет приведен только один вариант. Однако многие конструкции имеют разные формы в зависимости от того, используют ли они инверсию круга или нет , и эти альтернативы будут предоставлены, если это возможно.

Также важно отметить, что некоторые из приведенных ниже конструкций, доказывающих теорему Мора – Маскерони, требуют произвольного размещения точек в пространстве, например, нахождения центра круга, если это еще не предусмотрено (см. конструкцию ниже). В некоторых парадигмах построения, например, в геометрическом определении конструктивного числа , произвольное размещение точек может быть запрещено. Однако в такой парадигме, например, существуют различные конструкции, поэтому произвольное размещение точек является ненужным. Также стоит отметить, что ни один круг невозможно построить без циркуля, поэтому на практике нет причин, по которым центральная точка не существует.

Некоторые предварительные построения

Чтобы доказать вышеприведенные конструкции №3 и №4, которые включены ниже, ниже также объясняются несколько необходимых промежуточных конструкций, поскольку они часто используются и на них ссылаются. Это также конструкции, состоящие только из компаса. Все приведенные ниже конструкции основаны на № 1, № 2, № 5 и любой другой конструкции, указанной до нее.

Теорема об эквивалентности компаса (перенос окружности)

Способность переносить или копировать окружность в новый центр жизненно важна для этих доказательств и имеет фундаментальное значение для установления достоверности теоремы. Создание нового круга того же радиуса, что и первый, но с центром в другой точке — ключевая особенность, отличающая разрушающийся компас от современного жесткого компаса. В случае жесткого циркуля это тривиально, а в случае с разрушающимся компасом это вопрос возможности конструкции. Эквивалентность сжимающегося циркуля и жесткого циркуля была доказана Евклидом (книга I, предложение 2 « Начал» ), используя линейку и сжимающийся циркуль, когда он, по сути, строит копию круга с другим центром. Эту эквивалентность можно также установить только с помощью (разрушающегося) компаса, доказательство чего можно найти в основной статье.

Отражение точки через линию

Учитывая отрезок $AB$ и точку $C,$ не лежащую на линии, определяемой этим отрезком, постройте изображение $C$ после отражения от этой линии.

Постройте две окружности: одну с центром в $A$ и одну с центром в $,$ обе проходящие через $C.$ B
D , другая точка пересечения двух кругов, является отражением C через линию AB .
- Если $C = D$ (т. е. существует единственная точка пересечения двух окружностей), то $C$ является собственным отражением и лежит на линии $AB$ (вопреки предположению), а две окружности внутренне касаются.

Увеличение длины отрезка

Дан отрезок $AB.$ точку $C$ Найдите на прямой $AB$ такую, что $B$ является серединой отрезка $AC$ . ^[10]

Постройте точку $D$ как пересечение окружностей $A (B)$ и $B (A)$ . ( ∆ABD — равносторонний треугольник.)
Постройте точку $E \neq A$ как пересечение окружностей $D (B)$ и $B (D)$ . (∆ DBE — равносторонний треугольник.)
Наконец, постройте точку $C \neq D$ как пересечение окружностей $B (E)$ и $E (B)$ . (∆ EBC — равносторонний треугольник, и три угла при $вершине B$ показывают, что $A, B и C$ лежат на одной прямой.)

Эту конструкцию можно повторять столько раз, сколько необходимо, чтобы найти точку $Q$ так, чтобы длина отрезка $AQ$ = $n$ ⋅ длина отрезка $AB$ для любого натурального числа $n$ .

Инверсия в круге

Учитывая круг $B (r)$ , для некоторого радиуса $r$ (черным цветом) и точки $D (\neq B)$ постройте точку $I$ , обратную $D$ в круге. ^[11] Естественно, инверсии для точки не существует. ${\textstyle D=B}$ .

Нарисуйте круг $D (B)$ (красного цвета).
Предположим, что красный круг пересекает черный круг в точках E и E'.
- если круги не пересекаются в двух точках, см. альтернативную конструкцию ниже.
- если окружности пересекаются только в одной точке, $E=E'$ , можно инвертировать $D$ просто удвоив длину $EB$ (увеличение длины в четыре раза) $DB$ ).
Отразить центр круга $B$ $B$ через линию $EE'$ $EE'$ :
1. Постройте два новых круга $E (B)$ и $E' (B)$ (голубого цвета).
2. Голубые круги пересекаются в точке $B$ другой точке $I \neq B.$ и в
Точка $I$ — это желаемая инверсия точки $D$ в черном круге.

Точка $I$ такова, что радиус $r$ точки $B (r)$ относится к $IB$ , как $DB$ к радиусу; или $IB / r = r / DB$ .

В случае, если приведенная выше конструкция не удалась (т. е. красный круг и черный круг не пересекаются в двух точках), ^[10] найдите точку $Q$ на прямой $BD$ так, чтобы длина отрезка $BQ$ была целым положительным кратным, скажем $, n$ длины $BD$ , и была больше $r /2$ (это возможно по аксиоме Архимеда). Найдите $Q',$ обратный $Q$ в круге $B (r),$ как указано выше (красный и черный круги теперь должны пересекаться в двух точках). Точка $I$ теперь получается расширением $BQ'$ так, что $BI$ = $n \cdot BQ'$ .

Определение центра окружности по трем точкам

По трем неколлинеарным точкам $A$ , $B$ и $C$ найдите центр $O$ круга, который они определяют. ^[12]

Постройте точку $D$ , обратную точке $C,$ в окружности $A (B)$ .
Отразите $А$ по линии $BD$ точку $Х.$ в
$O$ является обратным $X$ в круге $A (B)$ .

Пересечение двух непараллельных прямых (конструкция №3)

Учитывая непараллельные прямые $AB$ и $CD$ пересечения $X.$ , найдите точку их ^[12]

Выберите окружность $O (r)$ произвольного радиуса, центр которой $O$ не лежит ни на одной прямой.
Инвертируйте точки $A$ и $B$ в круге $O (r)$ в точки $A'$ и $B'$ соответственно.
Линия $AB$ переворачивается в окружность, проходящую через $точки O$ , $A'$ и $B'$ . Найдите центр $E$ этого круга.
Инвертируйте точки $C$ и $D$ в круге $O (r)$ в точки $C'$ и $D'$ соответственно.
Прямая $CD$ инвертируется в окружность, проходящую через $точки O$ , $C'$ и $D'$ . Найдите центр $F$ этого круга.
Пусть $Y \neq O$ — пересечение окружностей $E (O)$ и $F (O)$ .
$X$ является обратным $Y$ в круге $O (r)$ .

Пересечение прямой и окружности (конструкция №4)

Построение точек пересечения линии и круга только с помощью компаса разбивается на два случая в зависимости от того, коллинеарен ли центр круга линии.

Центр окружности не коллинеарен прямой

Предположим, что центр круга не лежит на прямой.

Пересечение линии и окружности (неколлинеарный случай)

Даны круг $C (r)$ (черный цвет) и линия $AB$ . Мы хотим построить между ними точки пересечения $P$ и $Q$ (если они существуют). ^[13]^[3]

Постройте точку D , которая является отражением точки C через линию AB . (См. выше.)
- В предположении этого случая $C \neq D$ .
Постройте круг $D (r)$ (красный). (См. выше, эквивалентность компаса.)
Пересечения круга C ( r ) и нового красного круга D ( r ) это точки P и Q. —
- Если две окружности (внешне) касательны, то $P=Q$ .
Точки P и Q являются точками пересечения окружности C ( r ) и прямой AB .
- Если $P=Q$ тогда линия касается окружности $C(r)$ .

Также может быть предложена альтернативная конструкция с использованием инверсии круга. ^[12]

Даны окружность $C (r)$ и прямая $AB$ . Мы хотим построить между ними точки пересечения $P$ и $Q$ (если они существуют).

Инвертируйте точки A и B в круге C ( r ) в точки A' и B' соответственно.
- В предположении этого случая точки $A'$ , $B'$ и $C$ не лежат на одной прямой.
Найдите центр $E$ круга, проходящего через точки $C$ , $A'$ и $B'$ .
Постройте окружность $E (C)$ , которая представляет собой инверсию прямой $AB$ в окружность $C (r)$ .
P и Q — точки пересечения окружностей C ( r ) и E ( C ) . ^[14]
- Если две окружности (внутренне) касательны, то $P=Q$ , и линия также является касательной.

Центр окружности коллинеарен прямой

Дан круг $C (D),$ центр $C$ которого лежит на прямой $AB$ , найдите точки $P$ и $Q$ , точки пересечения круга и прямой. ^[15]

Постройте точку $D' \neq D$ как другое пересечение окружностей $A (D)$ и $C (D)$ .
Постройте точку $F$ как пересечение окружностей $C (DD')$ и $D (C)$ . ( $F$ — четвертая вершина параллелограмма $CD'DF$ .)
Постройте точку $F'$ как пересечение окружностей $C (DD')$ и $D' (C)$ . ( $F'$ — четвертая вершина параллелограмма $CDD'F'$ .)
Постройте точку $M$ как пересечение окружностей $F (D')$ и $F' (D)$ . ( $М$ лежит на $AB$ .)
Точки $P$ и $Q$ являются пересечениями окружностей $F (CM)$ и $C (D)$ .

Таким образом, было показано, что все основные построения, которые можно выполнить с помощью линейки и циркуля, можно выполнить только с помощью циркуля, при условии, что понимается, что линию нельзя провести буквально, а просто определить двумя точками.

Другие виды ограниченного строительства

Ограничения, связанные с компасом

эпохи Возрождения Математики Лодовико Феррари , Джероламо Кардано и Никколо Фонтана Тарталья и другие смогли показать в 16 веке, что любое построение линейки и циркуля можно выполнить с помощью линейки и циркуля фиксированной ширины (т.е. ржавого циркуля). ^[16]

Теорема об эквивалентности компаса показывает, что во всех упомянутых выше конструкциях привычный современный компас с его фиксированной апертурой, которую можно использовать для передачи расстояний, можно заменить «складным компасом», компасом, который складывается всякий раз, когда его поднимают с высоты. странице, чтобы ее нельзя было напрямую использовать для передачи расстояний. Действительно, в оригинальных конструкциях Евклида используется складной компас.

Ограничения, кроме компаса

Вдохновленный результатом Маскерони, в 1822 году Жан Виктор Понселе предложил вариацию на ту же тему. Он предположил, что любое построение, возможное с помощью линейки и циркуля, можно выполнить только с помощью линейки. Однако есть одно условие: должен быть предоставлен один круг с обозначенным центром. Это утверждение, теперь известное как теорема Понселе-Штайнера , было доказано Якобом Штайнером одиннадцать лет спустя.

Доказательство, позднее предоставленное в 1904 году Франческо Севери , ослабляет требование наличия одного полного круга и показывает, что любая малая дуга круга, при условии, что центр все еще имеется, все еще достаточна. ^[17]

Кроме того, сам центр может быть опущен вместо частей дуги, если он заменен чем-то другим, достаточным, например, вторым концентрическим или пересекающимся кругом, или третьим кругом, или непересекающимся вторым кругом, имеющим точку на либо дана средняя линия или радиальная ось между ними.

См. также

Примечания

^ Евс 1963 , с. 201
^ Георг Мор, Евклид Даник (Амстердам: Якоб ван Велсен, 1672).
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Евс 1963 , с. 199
^ Ельмслев, Дж. (1928) «Из мемуаров Евклида Даника, датским математиком Георгом Мором в 1672 году в Амстердаме» опубликованных , Matematisk Tidsskrift B, страницы 1–7.
^ Ом Георга Мора Шогт, JH (1938) « Евклид Даник », Matematisk Tidsskrift A, страницы 34–36.
^ Лоренцо Маскерони, Геометрия компаса (Павия: Пьетро Галеацци, 1797). Издание 1901 года.
^ Евс 1963 , с. 198
^ Арнон Аврон , «О строгой конструктивности только с помощью циркуля» , Journal of Geometry (1990) 38: 12.
^ Евс 1963 , с. 184
^ Перейти обратно: ^а ^б Педо 1988 , с. 78
^ Педо 1988 , с. 77
^ Перейти обратно: ^а ^б ^с Педо 1988 , с. 123
^ Хунгербюлер 1994 , с. 784
^ Педо выполняет еще одну инверсию в этой точке, но точки $P$ и $Q$ находятся на круге инверсии и поэтому инвариантны относительно этой последней ненужной инверсии.
^ Евс 1963 , с. 200
^ Ретц, Мерлин; Кейн, Мета Дарлин (1989), «Конструкции циркуля и линейки», Исторические темы для класса математики , Национальный совет учителей математики (NCTM), стр. 195, ISBN 9780873532815
^ Ретц и Кейн 1989 , с. 196

Ссылки

Ивс, Ховард (1963), Обзор геометрии (том первый) , Аллин и Бэкон
Хунгербюлер, Норберт (1994), «Краткое элементарное доказательство теоремы Мора-Машерони», The American Mathematical Monthly , 101 (8): 784–787, doi : 10.1080/00029890.1994.11997027
Педо, Дэн (1988) [1970], Геометрия / Комплексный курс , Дувр, ISBN 978-0-486-65812-4

Дальнейшее чтение

Педо, Дэн (1995) [1957], «1 Раздел 11: Геометрия компаса», Круги / Математический взгляд , Математическая ассоциация Америки, стр. 23–25, ISBN 978-0-88385-518-8
Посаментье, Альфред С.; Геретшлегер, Роберт (2016), «8. Конструкции Маскерони с использованием только циркуля», The Circle , Prometheus Books, стр. 197–216, ISBN 978-1-63388-167-9

Внешние ссылки

Строительство только с помощью компаса

[1] Евс 1963 , с. 201

[2] Георг Мор, Евклид Даник (Амстердам: Якоб ван Велсен, 1672).

[Eves199-3] Перейти обратно: ^а ^б ^с Евс 1963 , с. 199

[4] Ельмслев, Дж. (1928) «Из мемуаров Евклида Даника, датским математиком Георгом Мором в 1672 году в Амстердаме» опубликованных , Matematisk Tidsskrift B, страницы 1–7.

[5] Ом Георга Мора Шогт, JH (1938) « Евклид Даник », Matematisk Tidsskrift A, страницы 34–36.

[6] Лоренцо Маскерони, Геометрия компаса (Павия: Пьетро Галеацци, 1797). Издание 1901 года.

[7] Евс 1963 , с. 198

[8] Арнон Аврон , «О строгой конструктивности только с помощью циркуля» , Journal of Geometry (1990) 38: 12.

[9] Евс 1963 , с. 184

[Pedoe_1988_loc=p._78-10] Перейти обратно: ^а ^б Педо 1988 , с. 78

[11] Педо 1988 , с. 77

[Pedoe123-12] Перейти обратно: ^а ^б ^с Педо 1988 , с. 123

[Hunger784-13] Хунгербюлер 1994 , с. 784

[14] Педо выполняет еще одну инверсию в этой точке, но точки $P$ и $Q$ находятся на круге инверсии и поэтому инвариантны относительно этой последней ненужной инверсии.

[15] Евс 1963 , с. 200

[16] Ретц, Мерлин; Кейн, Мета Дарлин (1989), «Конструкции циркуля и линейки», Исторические темы для класса математики , Национальный совет учителей математики (NCTM), стр. 195, ISBN 9780873532815

[17] Ретц и Кейн 1989 , с. 196

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]