Теорема об эквивалентности компаса

В геометрии является теорема эквивалентности циркуля важным утверждением в конструкциях циркуля и линейки . Инструмент, пропагандируемый Платоном в этих конструкциях, — это разделитель или сворачивающийся циркуль , то есть компас , который «сворачивается» всякий раз, когда его поднимают со страницы, так что его нельзя непосредственно использовать для передачи расстояний. с Современный компас его регулируемой апертурой можно использовать для непосредственного определения расстояний, и поэтому он кажется более мощным инструментом. Однако теорема об эквивалентности компаса гласит, что любое построение с помощью «современного компаса» может быть достигнуто с помощью разрушающегося компаса. Это можно показать, установив, что с помощью разрушающегося циркуля по заданному кругу на плоскости можно построить другой круг равного радиуса с центром в любой заданной точке плоскости. Эта теорема представляет собой предложение II книги I Евклида «Начал» . Доказательство теоремы этой . имело неоднозначную историю ^[1]

Строительство

Следующая конструкция и доказательство правильности даны Евклидом в его «Началах» . ^[2] Хотя в трактовке Евклида, по-видимому, есть несколько случаев, в зависимости от выбора, сделанного при интерпретации двусмысленных инструкций, все они приводят к одному и тому же выводу: ^[1] и поэтому конкретные варианты приведены ниже.

По данным точкам $A$ , $B$ и $C$ постройте круг с центром в точке $A$ и радиусом, равным длине $BC$ (то есть эквивалент сплошного зеленого круга, но с центром в точке $A$ ).

Нарисуйте круг с центром в точке $А$ , проходящий через $точку В$ и наоборот (красные круги). Они пересекутся в точке $D$ и образуют равносторонний треугольник $△ ABD$ .
Продлите $DB$ за $B$ пересечение $DB$ и круга $◯ BC$ , отмеченного $E.$ и найдите
Создайте круг с центром в $D$ и проходящий через $E$ (синий круг).
Продлите $DA$ за пределы $A$ пересечение $DA$ и круга $◯ DE$ , обозначенного $F.$ и найдите
Постройте круг с центром в точке $A$ и проходящий через $F$ (пунктирный зеленый круг).
Поскольку $△ ADB$ — равносторонний треугольник, $DA = DB$ .
Поскольку $E$ и $F$ находятся на окружности вокруг $D$ , $DE = DF$ .
Следовательно, $AF = BE$ .
Поскольку $E$ находится на окружности $◯ BC$ , $BE = BC$ .
Следовательно, $AF = BC$ .

Альтернативная конструкция без линейки

Доказать эквивалентность циркуля можно и без использования линейки. Это оправдывает использование движений «фиксированного циркуля» (построение круга заданного радиуса в другом месте) в доказательствах теоремы Мора-Машерони , которая утверждает, что любое построение, возможное с помощью линейки и циркуля, может быть выполнено только с помощью циркуля.

По заданным точкам $A$ , $B$ и $C$ постройте круг с центром в $A$ и радиусом $BC$ , используя только складывающийся циркуль, а не линейку.

Нарисуйте круг с центром в точке $A$ , проходящий через $B$ и наоборот (синие круги). Они пересекутся в точках $D$ и $D'$ .
Нарисуйте круги через $C$ с центрами $D$ и $D'$ (красные круги). Обозначьте другое их $E.$ пересечение
Нарисуйте круг (зеленый круг) с центром $A,$ через $E.$ проходящим Это необходимый круг. ^[3]^[4]

Существует несколько доказательств правильности этой конструкции, и ее часто оставляют читателю в качестве упражнения. ^[3]^[4] Вот современный вариант с использованием преобразований .

Прямая $DD'$ является серединным перпендикуляром к $AB$ . Таким образом, $является$ отражением В через $А$ линию $DD'$ .
По построению $E$ является отражением $C$ через линию $DD'$ .
Поскольку отражение является изометрией , отсюда следует, что $AE = BC,$ как и хотелось.

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Туссен, Годфрид Т. (январь 1993 г.). «Новый взгляд на второе предложение Евклида» (PDF) . Математический интеллект . 15 (3). Спрингер США: 12–24. дои : 10.1007/bf03024252 . eISSN 1866-7414 . ISSN 0343-6993 . S2CID 26811463 .
^ Хит, Томас Л. (1956) [1925]. Тринадцать книг элементов Евклида (2-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. п. 244 . ISBN 0-486-60088-2 .
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Ивс, Ховард (1963), Обзор геометрии (Том I) , Аллин Бэкон, стр. 185
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Смарт, Джеймс Р. (1997), Современная геометрия (5-е изд.), Brooks/Cole, p. 212, ISBN 0-534-35188-3

[Toussaint-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Туссен, Годфрид Т. (январь 1993 г.). «Новый взгляд на второе предложение Евклида» (PDF) . Математический интеллект . 15 (3). Спрингер США: 12–24. дои : 10.1007/bf03024252 . eISSN 1866-7414 . ISSN 0343-6993 . S2CID 26811463 .

[2] Хит, Томас Л. (1956) [1925]. Тринадцать книг элементов Евклида (2-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. п. 244 . ISBN 0-486-60088-2 .

[Eves-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Ивс, Ховард (1963), Обзор геометрии (Том I) , Аллин Бэкон, стр. 185

[Smart-4] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Смарт, Джеймс Р. (1997), Современная геометрия (5-е изд.), Brooks/Cole, p. 212, ISBN 0-534-35188-3

[1]

[2]

[3]

[4]