Инверсивная геометрия

Чтобы узнать о других значениях, см. Отражение точки .

В геометрии , инверсивная геометрия — это изучение инверсии , преобразования евклидовой плоскости которое отображает круги или линии в другие круги или линии и сохраняет углы между пересекающимися кривыми. Многие сложные задачи геометрии становятся гораздо проще, если применить инверсию. Инверсия, похоже, была открыта одновременно несколькими людьми, в том числе Штайнером (1824 г.), Кетле (1825 г.), Беллавитисом (1836 г.), Стаббсом и Ингрэмом (1842–1843 гг.) и Кельвином (1845 г.).

Понятие инверсии можно обобщить на пространства более высокой размерности .

Инверсия в круге

Инверсия лямбда- множества Мандельброта с разными переводами

Обратная точка

P ' является обратным P по отношению к кругу.

Инвертировать число в арифметике обычно означает взять обратное ему число . Близкая идея в геометрии — это «инвертирование» точки. На плоскости инверсией ' точки P относительно окружности (Ø) с центром O и радиусом r является точка P опорной , лежащая на луче от O через P такая, что

$OP\cdot OP^{\prime }=r^{2}.$

Это называется инверсией круга или инверсией плоскости . Инверсия, переводящая любую точку P (кроме O ) в ее образ P ', также возвращает P ' обратно в P , поэтому результатом применения одной и той же инверсии дважды является тождественное преобразование, которое делает ее самоинверсией ( т.е. инволюцией). Чтобы сделать инверсию полной функцией , которая также определена для O , необходимо ввести точку на бесконечности , единственную точку, расположенную на всех прямых, и расширить инверсию, по определению, чтобы поменять местами центр O и эту точку в бесконечность.

Из определения следует, что инверсия любой точки внутри опорной окружности должна лежать вне ее, и наоборот, при этом центр и точка, находящаяся на бесконечности, меняют свое положение, при этом любая точка на окружности не затрагивается ( инвариантна относительно инверсии). Таким образом, для точки внутри круга, чем ближе точка к центру, тем дальше ее трансформация. При этом для любой точки (внутри или вне круга) чем ближе точка к кругу, тем ближе ее трансформация.

Конструкция циркуля и линейки

Чтобы построить обратную P ' точки P вне круга Ø : Пусть r будет радиусом Ø . Прямоугольные треугольники ОПН и ОНП ' подобны. OP относится к r так же, как r относится к OP ' .

Точка вне круга

Чтобы построить обратную P ' точки P вне круга Ø :

• Нарисуйте отрезок от ( центр круга Ø ) до P. O
• Пусть M — середина OP . (Не показано)
• Нарисуйте круг c с центром M, через P. проходящим (Без надписи. Это синий кружок)
• Пусть N и N ' будут точками пересечения Ø и c .
• Нарисуйте отрезок NN ' .
• P ' – это место пересечения OP и NN ' .

Точка внутри круга

построить обратную точку P Чтобы ' внутри круга Ø :

• Проведите луч r из O (центр круга Ø ) через P ' . (Нет надписи, это горизонтальная линия)
• Проведите линию s через P ' перпендикулярно r . (Нет надписи. Это вертикальная линия)
• Пусть N — одна из точек пересечения Ø и s .
• Нарисуйте сегмент ON .
• Проведите линию t через N перпендикулярно ON .
• P — это место пересечения луча r и линии t .

Строительство Датты

Существует конструкция обратной точки к A относительно окружности P , которая не зависит от того, находится ли A внутри или снаружи P .

Рассмотрим круг P с центром O и точкой A которая может лежать внутри или снаружи круга P. ,

• Возьмем точку пересечения С луча ОА окружностью Р. с
• Соедините точку C с произвольной точкой B на окружности P (отличной от C и от точки на P, противоположной C )
• Пусть h — отражение луча BA в прямой BC . Тогда h пересекает луч OC в точке A ' . A ' обратной точкой A относительно окружности P. является

Характеристики

• 
  Инверсией по отношению к красному кругу круга, проходящего через О (синий), является линия, не проходящая через О (зеленый), и наоборот.
• 
  Инверсией по отношению к красному кругу круга, не проходящего через О (синий), является круг, не проходящий через О (зеленый), и наоборот.
• 
  Инверсия по отношению к кругу не отображает центр круга в центр его изображения.

Инверсией множества точек плоскости относительно окружности называется множество обратных этих точек. Следующие свойства делают инверсию круга полезной.

• Окружность, проходящая через центр O опорной окружности, превращается в линию, не проходящую через O , а параллельную касательной к исходной окружности в O , и наоборот; тогда как линия, проходящая через O, инвертируется сама в себя (но не является поточечно инвариантной).
• Окружность, не проходящая через , превращается в окружность, не проходящая через O. O Если окружность пересекает опорную окружность, эти инвариантные точки пересечения также находятся на обратной окружности. Окружность (или линия) не изменяется при инверсии тогда и только тогда, когда она ортогональна опорной окружности в точках пересечения.

Дополнительные свойства включают в себя:

• Если окружность q проходит через две различные точки А и А', обратные относительно окружности k , то окружности k и q ортогональны.
• Если окружности k и q ортогональны, то прямая линия, проходящая через центр O круга k и пересекающая q , делает это в точках, обратных относительно k .
• Дан треугольник OAB, в котором O — центр окружности k и точки A' и B', обратные A и B относительно k , тогда

$\angle OAB=\angle OB'A'\ {\text{ and }}\ \angle OBA=\angle OA'B'.$

• Точки пересечения двух окружностей p и q, ортогональных окружности k , являются обратными относительно k .
• Если M и M' — точки, обратные относительно окружности k на двух кривых m и m', также обратные относительно k , то касательные к m и m' в точках M и M' либо перпендикулярны прямой, линию ММ' или сформируйте из этой линии равнобедренный треугольник с основанием ММ'.
• Инверсия оставляет неизменной величину углов, но меняет ориентацию ориентированных углов на противоположную.

Примеры в двух измерениях

Примеры инверсии окружностей от A до J относительно красного круга в точке O. Круги от A до F, проходящие через точку O, отображаются в прямые линии. Круги от G до J, которые этого не делают, сопоставляются с другими кругами. Опорный круг и линия L отображаются сами на себя. Окружности пересекают свои инверсии, если таковые имеются, на опорной окружности. В файле SVG щелкните кружок или наведите указатель мыши на него, чтобы выделить его.

• Инверсия линии — это окружность, содержащая центр инверсии; или это сама линия, если она содержит центр
• Инверсия круга — это другой круг; или это линия, если исходный круг содержит центр
• Инверсия параболы – кардиоида.
• Инверсия гиперболы — лемниската Бернулли.

Приложение

Для круга, не проходящего через центр инверсии, центр инвертируемого круга и центр его изображения при инверсии коллинеарны центру опорного круга. Этот факт можно использовать для доказательства того, что линия Эйлера касания треугольника совпадает с его линией OI. Доказательство примерно выглядит следующим образом:

Инвертируйте относительно вписанной окружности треугольника ABC . Медиальный треугольник касающегося треугольника переворачивается в треугольник ABC , что означает центр описанной окружности медиального треугольника, то есть девятиточечный центр касающегося треугольника, центр и центр описанной окружности ABC коллинеарны треугольника .

Любые две непересекающиеся окружности можно превратить в концентрические окружности. Тогда обратное расстояние (обычно обозначаемое δ) определяется как натуральный логарифм отношения радиусов двух концентрических окружностей.

Кроме того, любые две непересекающиеся окружности можно инвертировать в конгруэнтные окружности, используя окружность инверсии с центром в точке окружности антиподобия .

Связь Поселье -Липкина представляет собой механическую реализацию инверсии в окружности. Он обеспечивает точное решение важной проблемы преобразования линейного и кругового движения.

Полюс и полярник

Основная статья: полюс и полярный

Полярная линия q, в точку Q относительно окружности радиуса r с центром в точке O. ведущая Точка P является инверсии Q ; точкой поляра — это линия, проходящая через и перпендикулярная линии, содержащей O , P и Q. P

Если точка R является инверсией точки P , то линии, перпендикулярные линии PR, проходящей через одну из точек, являются полярой другой точки (полюса ) .

Полюсы и поляры обладают рядом полезных свойств:

• Если точка P на прямой l , то полюс L прямой l лежит на поляре p точки P. лежит
• Если точка P движется вдоль прямой l , ее поляра p вращается вокруг полюса L линии l .
• Если от полюса к окружности можно провести две касательные, то ее поляра проходит через обе точки касания.
• Если точка лежит на окружности, ее полярой является касательная, проходящая через эту точку.
• Если точка P лежит на своей полярной линии, то P находится на окружности.
• Каждая линия имеет ровно один полюс.

В трех измерениях

Инверсия сферы в красную сферу

Инверсия сфероида (на красной сфере)

Инверсия однолистного гиперболоида

Инверсию круга можно обобщить до инверсии сферы в трех измерениях. Инверсия точки P в 3D относительно базовой сферы с центром в точке O и радиусом R представляет собой точку P ' на луче с направлением OP такую, что $OP\cdot OP^{\prime }=||OP||\cdot ||OP^{\prime }||=R^{2}$. Как и в 2D-версии, сфера инвертируется в сферу, за исключением того, что если сфера проходит через центр O опорной сферы, она инвертируется в плоскость. Любая плоскость, проходящая через O , превращается в сферу, касающуюся O. точки Окружность, то есть пересечение сферы секущей плоскостью, превращается в окружность, за исключением того случая, когда окружность проходит через точку О, она превращается в прямую. Это сводится к двумерному случаю, когда секущая плоскость проходит через O если секущая плоскость не проходит через O. , но является настоящим трехмерным явлением ,

Примеры в трех измерениях

Сфера

Самая простая поверхность (кроме плоскости) — сфера. На первой картинке изображена нетривиальная инверсия (центр сферы не является центром инверсии) сферы вместе с двумя ортогональными пересекающимися пучками окружностей.

Цилиндр, конус, тор

Инверсия цилиндра, конуса или тора приводит к образованию циклиды Дюпена .

Сфероид

Сфероид представляет собой поверхность вращения и содержит карандаш кругов, который отображается на карандаш кругов (см. Рисунок). Прообразом сфероида является поверхность четвертой степени.

Гиперболоид одного листа

Однолистный гиперболоид, представляющий собой поверхность вращения, содержит пучок окружностей, отображаемый на пучок окружностей. Однолистный гиперболоид содержит дополнительно два пучка линий, которые отображаются на пучки окружностей. На картинке показана одна такая линия (синяя) и ее инверсия.

Стереографическая проекция как инверсия сферы.

Стереографическая проекция как инверсия сферы.

Стереографическая проекция обычно проецирует сферу из точки. $N$ (северный полюс) сферы на касательную плоскость в противоположной точке $S$ (южный полюс). Это отображение можно выполнить путем инверсии сферы на ее касательную плоскость. Если сфера (подлежащая проектированию) имеет уравнение $x^{2}+y^{2}+z^{2}=-z$ (поочередно пишется $x^{2}+y^{2}+(z+{\tfrac {1}{2}})^{2}={\tfrac {1}{4}}$; центр $(0,0,-0.5)$, радиус $0.5$, зеленый на рисунке), то он будет отображен путем инверсии единичной сферы (красный) на касательную плоскость в точке $S=(0,0,-1)$. Линии, проходящие через центр инверсии (точка $N$) отображаются на себя. Это проекционные линии стереографической проекции.

6-сферные координаты

Шестисферные координаты представляют собой систему координат трехмерного пространства, полученную путем инвертирования декартовых координат .

Аксиоматика и обобщение

Одним из первых, кто рассмотрел основы инверсной геометрии, был Марио Пьери в 1911 и 1912 годах. Эдвард Каснер написал диссертацию на тему «Теория инвариантов инверсионной группы».

Совсем недавно математическая структура инверсной геометрии была интерпретирована как структура инцидентности , в которой обобщенные круги называются «блоками»: В геометрии инцидентности любая аффинная плоскость вместе с единственной точкой на бесконечности образует плоскость Мёбиуса , также известную как инверсивная плоскость. . Ко всем линиям добавляется точка бесконечности. Эти плоскости Мёбиуса можно описать аксиоматически и существуют как в конечной, так и в бесконечной версиях.

Моделью сфера плоскости Мёбиуса, происходящей из евклидовой плоскости, является Римана .

Инвариант

Перекрестное соотношение между 4 точками $x,y,z,w$ инвариантен относительно инверсии. В частности, если O является центром инверсии и $r_{1}$ и $r_{2}$ — расстояния до концов линии L, то длина линии $d$ станет $d/(r_{1}r_{2})$ при инверсии радиуса 1. Инвариант:

$I={\frac {|x-y||w-z|}{|x-w||y-z|}}$

Связь с программой Эрланген

По словам Кокстера, преобразование обращением по окружности было изобретено Л. И. Магнусом в 1831 году. С тех пор это отображение стало путем к высшей математике. Через несколько шагов применения карты инверсии окружности изучающий геометрию преобразований вскоре осознает значение Феликса Кляйна программы Эрлангена , являющейся результатом некоторых моделей гиперболической геометрии.

Расширение

Комбинация двух инверсий в концентрических окружностях приводит к подобию , гомотетическому преобразованию или расширению, характеризуемому соотношением радиусов окружностей.

$x\mapsto R^{2}{\frac {x}{|x|^{2}}}=y\mapsto T^{2}{\frac {y}{|y|^{2}}}=\left({\frac {T}{R}}\right)^{2}x.$

взаимность

Когда точка на плоскости интерпретируется как комплексное число $z=x+iy,$ с комплексным сопряжением ${\bar {z}}=x-iy,$ тогда обратное значение z равно

${\frac {1}{z}}={\frac {\bar {z}}{|z|^{2}}}.$

Следовательно, алгебраическая форма обращения в единичной окружности имеет вид $z\mapsto w$ где:

$w={\frac {1}{\bar {z}}}={\overline {\left({\frac {1}{z}}\right)}}$.

Взаимное поступательное движение является ключевым моментом в теории преобразований как генератор группы Мёбиуса . Другие генераторы — это перемещение и вращение, оба из которых известны благодаря физическим манипуляциям в окружающем трехмерном пространстве. Введение возвратно-поступательного движения (зависящего от инверсии круга) - вот что создает своеобразную природу геометрии Мёбиуса, которую иногда отождествляют с инверсной геометрией (евклидовой плоскости). Однако инверсная геометрия является более масштабным исследованием, поскольку она включает в себя необработанную инверсию круга (еще не превращенную с помощью сопряжения в возвратно-поступательное движение). Инверсивная геометрия также включает отображение сопряжения . Ни сопряжение, ни инверсия в круге не входят в группу Мёбиуса, поскольку они неконформны (см. Ниже). Элементы группы Мёбиуса являются аналитическими функциями всей плоскости и поэтому обязательно конформны .

Превращаем круги в круги

Рассмотрим в комплексной плоскости окружность радиуса $r$ вокруг точки $a$

$(z-a)(z-a)^{*}=r^{2}$

где без ограничения общности, $a\in \mathbb {R} .$ Используя определение инверсии

$w={\frac {1}{z^{*}}}$

это несложно показать $w$ подчиняется уравнению

$ww^{*}-{\frac {a}{(a^{2}-r^{2})}}(w+w^{*})+{\frac {a^{2}}{(a^{2}-r^{2})^{2}}}={\frac {r^{2}}{(a^{2}-r^{2})^{2}}}$

и, следовательно, это $w$ описывает круг с центром ${\textstyle {\frac {a}{a^{2}-r^{2}}}}$ и радиус ${\textstyle {\frac {r}{|a^{2}-r^{2}|}}.}$

Когда $a\to r,$ круг превращается в линию, параллельную воображаемой оси $w+w^{*}={\tfrac {1}{a}}.$

Для $a\not \in \mathbb {R}$ и $aa^{*}\neq r^{2}$ результат для $w$ является

${\begin{aligned}&ww^{*}-{\frac {aw+a^{*}w^{*}}{(a^{*}a-r^{2})}}+{\frac {aa^{*}}{(aa^{*}-r^{2})^{2}}}={\frac {r^{2}}{(aa^{*}-r^{2})^{2}}}\\[4pt]\Longleftrightarrow {}&\left(w-{\frac {a^{*}}{aa^{*}-r^{2}}}\right)\left(w^{*}-{\frac {a}{a^{*}a-r^{2}}}\right)=\left({\frac {r}{\left|aa^{*}-r^{2}\right|}}\right)^{2}\end{aligned}}$

показывая, что $w$ описывает круг с центром ${\textstyle {\frac {a}{(aa^{*}-r^{2})}}}$ и радиус ${\textstyle {\frac {r}{\left|a^{*}a-r^{2}\right|}}}$.

Когда $a^{*}a\to r^{2},$ уравнение для $w$ становится

${\begin{aligned}&aw+a^{*}w^{*}=1\Longleftrightarrow 2\operatorname {Re} \{aw\}=1\Longleftrightarrow \operatorname {Re} \{a\}\operatorname {Re} \{w\}-\operatorname {Im} \{a\}\operatorname {Im} \{w\}={\frac {1}{2}}\\[4pt]\Longleftrightarrow {}&\operatorname {Im} \{w\}={\frac {\operatorname {Re} \{a\}}{\operatorname {Im} \{a\}}}\cdot \operatorname {Re} \{w\}-{\frac {1}{2\cdot \operatorname {Im} \{a\}}}.\end{aligned}}$

Высшая геометрия

Как упоминалось выше, ноль, начало координат, требует особого рассмотрения при отображении инверсии окружности. Подход заключается в соединении точки на бесконечности, обозначенной ∞ или 1/0. В подходе комплексных чисел, где возвратно-поступательное движение является очевидной операцией, эта процедура приводит к комплексной проективной линии , часто называемой сферой Римана . Именно подпространства и подгруппы этого пространства и группы отображений были применены Бельтрами , Кэли и Кляйном для создания ранних моделей гиперболической геометрии . Таким образом, инверсная геометрия включает в себя идеи Лобачевского и Бояи в их плоской геометрии. Более того, Феликс Кляйн был настолько поражен способностью отображений идентифицировать геометрические явления, что в 1872 году он представил манифест, Эрлангенскую программу . С тех пор многие математики сохраняют термин «геометрия» для обозначения пространства вместе с группой отображений этого пространства. Важнейшими свойствами фигур в геометрии являются те, которые инвариантны относительно этой группы.

Например, Смогоржевский развивает несколько теорем инверсной геометрии, прежде чем начать геометрию Лобачевского.

В высших измерениях

В реальном n -мерном евклидовом пространстве инверсия в сфере радиуса r с центром в точке $O=(o_{1},...,o_{n})$ это карта произвольной точки $P=(p_{1},...,p_{n})$ находится путем обращения длины вектора смещения $P-O$ и умножив на $r^{2}$:

${\begin{aligned}P&\mapsto P'=O+{\frac {r^{2}(P-O)}{\|P-O\|^{2}}},\\[5mu]p_{j}&\mapsto p_{j}'=o_{j}+{\frac {r^{2}(p_{j}-o_{j})}{\sum _{k}(p_{k}-o_{k})^{2}}}.\end{aligned}}$

Преобразование инверсией в гиперплоскостях или гиперсферах в E ^н может использоваться для создания расширений, переводов или вращений. Действительно, две концентрические гиперсферы, используемые для создания последовательных инверсий, приводят к расширению или гомотетии относительно центра гиперсферы.

Когда две параллельные гиперплоскости используются для создания последовательных отражений, результатом является сдвиг . Когда две гиперплоскости пересекаются в ( n –2) -плоскости , последовательные отражения вызывают вращение , при котором каждая точка ( n –2)-плоскости является фиксированной точкой каждого отражения и, следовательно, композиции.

Любая комбинация отражений, перемещений и вращений называется изометрией . Любая комбинация отражений, расширений, перемещений и вращений является подобием .

Все это конформные отображения , и фактически там, где пространство имеет три или более измерений, отображения, генерируемые инверсией, являются единственными конформными отображениями. Теорема Лиувилля — классическая теорема конформной геометрии .

Добавление бесконечной точки к пространству устраняет различие между гиперплоскостью и гиперсферой; Инверсивная геометрия более высоких измерений часто изучается в предполагаемом контексте n -сферы как базового пространства. Преобразования инверсной геометрии часто называют преобразованиями Мёбиуса . Инверсивная геометрия применялась для изучения раскрасок или разбиений n -сферы.

Свойство антиконформного отображения

Карта инверсии окружности антиконформна, что означает, что в каждой точке она сохраняет углы и меняет ориентацию (карта называется конформной, если она сохраняет ориентированные углы). С алгебраической точки зрения карта является антиконформной, если в каждой точке якобиан представляет собой произведение скаляра на ортогональную матрицу с отрицательным определителем: в двух измерениях якобиан должен быть скаляром, умноженным на отражение в каждой точке. Это означает, что если J — якобиан, то $J\cdot J^{T}=kI$ и $\det(J)=-{\sqrt {k}}.$ Вычисление якобиана в случае z _i = x _i /‖ x ‖ ² , где ‖ x ‖ ² = х ₁ ² + ... + х _н ² дает Джей-Джей ^Т = kI , где k = 1/‖ x ‖ ⁴ⁿ , и, кроме того, det( J ) отрицательен; следовательно, инверсное отображение антиконформно.

В комплексной плоскости наиболее очевидным отображением инверсии окружности (т. е. использованием единичной окружности с центром в начале координат) является комплексно-сопряженное комплексное обратное отображение, переводящее z в 1/ z . Комплексное аналитическое обратное отображение конформно, а сопряженное с ним обращение круга — антиконформно.В этом случае гомография конформна, а антигомография антиконформна.

Инверсивная геометрия и гиперболическая геометрия

с ( n − 1)-сфера уравнением

$x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+2a_{1}x_{1}+\cdots +2a_{n}x_{n}+c=0$

будет иметь положительный радиус, 1 _если ² + ... н ₊ ² больше, чем c , и при инверсии дает сферу

$x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+2{\frac {a_{1}}{c}}x_{1}+\cdots +2{\frac {a_{n}}{c}}x_{n}+{\frac {1}{c}}=0.$

Следовательно, он будет инвариантным относительно инверсии тогда и только тогда, когда c = 1. Но это условие ортогональности единичной сфере. Следовательно, мы вынуждены рассмотреть ( n − 1)-сферы с уравнением

$x_{1}^{2}+\cdots +x_{n}^{2}+2a_{1}x_{1}+\cdots +2a_{n}x_{n}+1=0,$

которые инвариантны относительно инверсии, ортогональны единичной сфере и имеют центры вне сферы. Вместе с гиперплоскостями подпространства, разделяющими полусферы, они являются гиперповерхностями модели диска Пуанкаре гиперболической геометрии.

Поскольку инверсия в единичной сфере оставляет сферы, ортогональные ей, инвариантными, инверсия отображает точки внутри единичной сферы наружу и наоборот. Таким образом, это верно в целом для ортогональных сфер, и, в частности, инверсия в одной из сфер, ортогональных единичной сфере, отображает единичную сферу в себя. Он также отображает внутреннюю часть единичной сферы на себя, при этом точки вне ортогональной сферы отображаются внутри, и наоборот; это определяет отражения модели диска Пуанкаре, если мы включим в них также отражения через диаметры, разделяющие полушария единичной сферы. Эти отражения порождают группу изометрий модели, которая говорит нам о том, что изометрии конформны. Следовательно, угол между двумя кривыми в модели такой же, как угол между двумя кривыми в гиперболическом пространстве.

См. также

• Круг антиподобия
• Двойственность (проективная геометрия)
• Обратная кривая
• Предельная точка (геометрия)
• Преобразование Мёбиуса
• Проективная геометрия
• Гекслет Содди
• Теорема Мора-Машерони
• Инверсия кривых и поверхностей (немецкий)

Ссылки

• Альтшиллер-Корт, Натан (1952), Геометрия колледжа: введение в современную геометрию треугольника и круга (2-е изд.), Нью-Йорк: Barnes & Noble , LCCN   52-13504
• Блер, Дэвид Э. (2000), Теория инверсии и конформное отображение , Американское математическое общество, ISBN  0-8218-2636-0
• Браннан, Дэвид А.; Эсплен, Мэтью Ф.; Грей, Джереми Дж. (1998), «Глава 5: Обратная геометрия», Геометрия , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, стр. 199–260, ISBN  0-521-59787-0
• Коксетер, HSM (1969) [1961], Введение в геометрию (2-е изд.), John Wiley & Sons, ISBN  0-471-18283-4
• Хартсхорн, Робин (2000), «Глава 7: Неевклидова геометрия, Раздел 37: Круговая инверсия» , Геометрия: Евклид и за его пределами , Springer, ISBN  0-387-98650-2
• Кей, Дэвид К. (1969), Геометрия колледжа , Нью-Йорк: Холт, Райнхарт и Уинстон , LCCN   69-12075
• Паттерсон, Бойд (1941) «Инверсивная плоскость», American Mathematical Monthly 48: 589–99, дои : 10.2307/2303867 МР 0006034

Внешние ссылки

• Инверсия: отражение в круге при разрезании узла.
• Страница инверсной геометрии Уилсона Стотера
• Практические задачи из сборника учебных материалов IMO о том, как использовать инверсию для решения задач олимпиады по математике.
• Вайсштейн, Эрик В. «Инверсия» . Математический мир .
• Визуальный словарь специальных плоских кривых Кса Ли