Геометрия трансформации
В математике , геометрия преобразований (или трансформационная геометрия ) — это название математического и педагогического подхода к изучению геометрии сосредоточенного на группах геометрических преобразований и свойствах, которые инвариантны относительно них. Это противоположно классическому синтетической геометрии подходу евклидовой геометрии , который фокусируется на доказательстве теорем .
Например, в геометрии трансформации свойства равнобедренного треугольника выводятся из того факта, что он отображается на самого себя посредством отражения относительно определенной линии. Это контрастирует с классическими доказательствами по критериям равенства треугольников . [1]
Первая систематическая попытка использовать преобразования в качестве основы геометрии была предпринята Феликсом Кляйном в 19 веке под названием «Программа Эрлангена» . В течение почти столетия этот подход оставался ограниченным кругами математических исследований. В 20 веке были предприняты попытки использовать его для математического образования . Андрей Колмогоров включил этот подход (вместе с теорией множеств ) в предложение по реформе преподавания геометрии в России . [2] Кульминацией этих усилий стала общая реформа преподавания математики в 1960-х годах, известная как движение «Новая математика» .
в математики Использование преподавании
Исследование геометрии трансформации часто начинается с изучения симметрии отражения , встречающейся в повседневной жизни. Первое настоящее преобразование — это отражение в линии или отражение относительно оси . Композиция , двух отражений приводит к вращению , когда линии пересекаются, или к сдвигу когда они параллельны. Таким образом, посредством преобразований учащиеся узнают об изометрии евклидовой плоскости . Например, рассмотрим отражение от вертикальной линии и линии, наклоненной под углом 45° к горизонтали. Можно заметить, что одна композиция дает четверть оборота против часовой стрелки (90 °), а обратная композиция дает четверть оборота по часовой стрелке. Такие результаты показывают, что геометрия преобразований включает в себя некоммутативные процессы.
Забавное применение отражения в линии возникает при доказательстве треугольника площадью в одну седьмую, найденного в любом треугольнике.
Еще одно преобразование, знакомящее молодых студентов, — это расширение . Однако отражение в трансформации круга кажется неуместным для младших классов. Таким образом, инверсная геометрия , более масштабное исследование, чем геометрия преобразований в начальной школе, обычно предназначена для студентов колледжей.
Эксперименты с конкретными группами симметрии уступают место абстрактной теории групп . Другие конкретные действия используют вычисления с комплексными числами , гиперкомплексными числами или матрицами для выражения геометрии преобразования.Такие уроки трансформационной геометрии представляют собой альтернативный взгляд, который контрастирует с классической синтетической геометрией . Когда учащиеся затем сталкиваются с аналитической геометрией , идеи вращения и отражения координат легко следуют им. Все эти концепции готовятся к линейной алгебре , где концепция отражения расширяется .
Педагоги проявили некоторый интерес и описали проекты и опыт преобразования геометрии для детей от детского сада до старшей школы. В случае с детьми очень раннего возраста, чтобы избежать введения новой терминологии и установить связь с повседневным опытом учащихся с конкретными предметами, иногда рекомендовалось использовать знакомые им слова, например, «сальто» для отражения линий». слайды» для перемещения и «повороты» для вращения, хотя это не точный математический язык. В некоторых предложениях учащиеся начинают с работы с конкретными объектами, прежде чем выполнять абстрактные преобразования посредством определения отображения каждой точки фигуры. [3] [4] [5] [6]
Пытаясь перестроить курсы геометрии в России, Колмогоров предложил представить ее с точки зрения преобразований, поэтому курсы геометрии были построены на основе теории множеств . Это привело к появлению в школах термина «конгруэнтный» для фигур, которые раньше назывались «равными»: поскольку фигура рассматривалась как набор точек, она могла быть равна только самой себе, а два треугольника могли перекрываться. по изометриям считались конгруэнтными . [2]
Один автор выразил важность теории групп для преобразования геометрии следующим образом:
- Я приложил некоторые усилия, чтобы разработать на основе первых принципов всю необходимую мне теорию групп с намерением, чтобы моя книга могла послужить первым введением в группы преобразований и понятия абстрактной теории групп, если вы никогда их не видели. [7]
См. также [ править ]
- Хиральность (математика)
- Геометрическое преобразование
- Теорема Эйлера о вращении
- Движение (геометрия)
- Матрица трансформации
Ссылки [ править ]
- ^ Жорж Глезер – Кризис преподавания геометрии
- ^ Jump up to: Перейти обратно: а б Александр Карп и Брюс Р. Вогели – Российское математическое образование: программы и практики, том 5 , стр. 100–102
- ^ Р. С. Миллман - Геометрия Клейнианских преобразований, Amer. Математика. Ежемесячно 84 (1977)
- ^ ЮНЕСКО - Новые тенденции в преподавании математики, т.3, 1972 г. / стр. 8
- ^ Барбара Зорин - Геометрические преобразования в учебниках математики для средней школы
- ^ ЮНЕСКО - Исследования в области математического образования. Преподавание геометрии
- ^ Майлз Рид и Балаж Сзендрой (2005) Геометрия и топология , стр. xvii, Издательство Кембриджского университета , ISBN 0-521-61325-6 , МР 2194744
Дальнейшее чтение [ править ]
- Генрих Гуггенхаймер (1967) Плоская геометрия и ее группы , Холден-Дэй.
- Роджер Эванс Хоу и Уильям Баркер (2007) Непрерывная симметрия: от Евклида до Кляйна , Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-3900-3 .
- Робин Хартшорн (2011) Обзор непрерывной симметрии , American Mathematical Monthly 118:565–8.
- Роджер Линдон (1985) Группы и геометрия , № 101, серия лекций Лондонского математического общества, Cambridge University Press ISBN 0-521-31694-4 .
- П. С. Моденов и А. С. Пархоменко (1965) Геометрические преобразования , перевод Майкла Б. П. Слейтера, Academic Press .
- Джордж Э. Мартин (1982) Геометрия трансформации: введение в симметрию , Springer Verlag .
- Исаак Яглом (1962) Геометрические преобразования , Random House (перевод с русского).
- Макс Йегер (1966) Геометрия трансформации (перевод с немецкого).
- Учебные заметки по трансформациям от Благотворительного фонда Гэтсби.
- Натали Синклер (2008) История учебной программы по геометрии в Соединенных Штатах , стр. 63–66.
- Залман П. Усискин и Артур Ф. Коксфорд. Трансформационный подход к геометрии десятого класса, Учитель математики, Vol. 65, № 1 (январь 1972 г.), стр. 21-30 .
- Залман П. Усыскин. Влияние преподавания евклидовой геометрии посредством преобразований на успеваемость и отношение учащихся к геометрии в десятом классе, Журнал исследований в области математического образования, Vol. 3, № 4 (ноябрь 1972 г.), стр. 249–259.
- A. N. Kolmogorov. Геометрические преобразования в школьном курсе геометрии, Математика в школе, 1965, Nº 2, pp. 24–29. (Geometric transformations in a school geometry course) (in Russian)
- Элтон Торп Олсон (1970). Плоская геометрия средней школы через преобразования: предварительное исследование, Том. Я. Университет Висконсина – Мэдисон.
- Элтон Торп Олсон (1970). Плоская геометрия средней школы через преобразования: предварительное исследование, Том II . Университет Висконсина – Мэдисон.