Конгруэнтность (геометрия)

В геометрии две фигуры или объекты считаются конгруэнтными , если они имеют одинаковую форму и размер или если одна из них имеет ту же форму и размер, что и зеркальное отображение другой. ^[1]

Более формально, два набора точек называются конгруэнтными тогда и только тогда, когда один может быть преобразован в другой посредством изометрии , то есть комбинации жестких движений , а именно перемещения , вращения и отражения . Это означает, что любой объект можно перемещать и отражать (но не изменять его размер) так, чтобы он точно совпадал с другим объектом. Следовательно, две различные плоские фигуры на листе бумаги конгруэнтны, если их можно вырезать, а затем полностью совместить. Переворачивание бумаги разрешено.

В элементарной геометрии слово конгруэнтный часто используется следующим образом. ^[2] Слово «равный» часто используется вместо слова «конгруэнтный» для этих объектов.

Два отрезка равны, если они имеют одинаковую длину.
Два угла равны, если они имеют одинаковую меру.
Два круга равны, если они имеют одинаковый диаметр.

В этом смысле конгруэнтность двух плоских фигур означает, что их соответствующие характеристики «конгруэнтны» или «равны», включая не только соответствующие стороны и углы, но также соответствующие диагонали, периметры и площади.

Соответствующая концепция сходства применяется, если объекты имеют одинаковую форму, но не обязательно имеют одинаковый размер. (Большинство определений рассматривают соответствие как форму сходства, хотя меньшинство требует, чтобы объекты имели разные размеры, чтобы их можно было квалифицировать как сходные.)

Определение равенства многоугольников

Чтобы два многоугольника были конгруэнтными, они должны иметь одинаковое количество сторон (и, следовательно, одинаковое количество — одинаковое количество — вершин). Два многоугольника с n сторонами конгруэнтны тогда и только тогда, когда каждый из них имеет численно идентичные последовательности (даже если по часовой стрелке для одного многоугольника и против часовой стрелки для другого) сторона-угол-боковой-угол-... для n сторон и n углов.

Графически равенство многоугольников можно установить следующим образом:

Сначала сопоставьте и пометьте соответствующие вершины двух фигур.
Во-вторых, нарисуйте вектор из одной из вершин одной из фигур в соответствующую вершину другой фигуры. Переведите первую фигуру по этому вектору так, чтобы эти две вершины совпадали.
В-третьих, вращайте переведенную фигуру вокруг совпавшей вершины, пока не совпадет одна пара соответствующих сторон .
В-четвертых, отражайте повернутую фигуру вокруг совпавшей стороны, пока фигуры не совпадут.

Если в какой-то момент шаг не может быть завершен, многоугольники не конгруэнтны.

Равенство треугольников

Два треугольника равны, если их соответствующие стороны равны по длине и соответствующие им углы равны по мере.

Символически запишем конгруэнтность и неконгруэнтность двух треугольников $△ ABC$ и $△ A'B'C'$ следующим образом:

ABC\cong A'B'C'

ABC\ncong A'B'C'

Во многих случаях достаточно установить равенство трех соответствующих частей и использовать один из следующих результатов, чтобы вывести конгруэнтность двух треугольников.

Определение соответствия

Достаточные доказательства соответствия двух треугольников в евклидовом пространстве можно показать с помощью следующих сравнений:

SAS (сторона-угол-сторона): если две пары сторон двух треугольников равны по длине и входящие в них углы равны по размеру, то треугольники конгруэнтны.
ССС (сторона-сторона-сторона): Если три пары сторон двух треугольников равны по длине, то треугольники равны.
ASA (угол-сторона-угол): Если две пары углов двух треугольников равны по размеру, а входящие в них стороны равны по длине, то треугольники конгруэнтны.

Постулат АСА приписывается Фалесу Милетскому . В большинстве систем аксиом три критерия — SAS, SSS и ASA — устанавливаются в виде теорем . В школьных кружков по математике системе SAS рассматривается как один (№ 15) из 22 постулатов.

AAS (угол-угол-сторона): Если две пары углов двух треугольников равны по размеру, а пара соответствующих невходящих в них сторон равна длине, то треугольники конгруэнтны. AAS эквивалентен условию ASA в том смысле, что если заданы любые два угла, то же самое относится и к третьему углу, поскольку их сумма должна составлять 180 °. АСА и ААС иногда объединяют в одно условие, ААкоррС – любые два угла и соответствующую сторону. ^[3]
RHS (прямоугольная сторона-гипотенуза), также известная как HL (катет гипотенузы): если у двух прямоугольных треугольников гипотенузы равны по длине, а пара других сторон равны по длине, то треугольники конгруэнтны. .

Боковой угол

Условие SSA (сторона-сторона-угол), которое определяет две стороны и невключенный угол (также известное как ASS или угол-сторона-сторона), само по себе не доказывает конгруэнтность. Чтобы показать соответствие, требуется дополнительная информация, такая как размер соответствующих углов и в некоторых случаях длины двух пар соответствующих сторон. Есть несколько возможных случаев:

Если два треугольника удовлетворяют условию SSA и длина стороны, противоположной углу, больше или равна длине прилегающей стороны (SSA, или угол длинной стороны-короткой стороны), то эти два треугольника конгруэнтны. Противоположная сторона иногда длиннее, если соответствующие углы острые, но всегда длиннее, если соответствующие углы прямые или тупые. Если угол представляет собой прямой угол, также известный как постулат катета гипотенузы (HL) или условие прямоугольной стороны гипотенузы (RHS), третью сторону можно вычислить с помощью теоремы Пифагора , что позволяет реализовать постулат SSS. применяемый.

Если два треугольника удовлетворяют условию SSA и соответствующие углы острые, а длина стороны, противолежащей углу, равна длине прилежащей стороны, умноженной на синус угла, то два треугольника конгруэнтны.

Если два треугольника удовлетворяют условию SSA и соответствующие углы острые и длина стороны, противолежащей углу, больше длины прилежащей стороны, умноженной на синус угла (но меньше длины прилежащей стороны), тогда нельзя доказать, что два треугольника конгруэнтны. Это неоднозначный случай , и на основе данной информации можно образовать два разных треугольника, но дополнительная информация, отличающая их, может привести к доказательству сравнения.

Угол-угол-угол

В евклидовой геометрии ААА (угол-угол-угол) (или просто АА, поскольку в евклидовой геометрии сумма углов треугольника составляет 180°) не дает информации о размерах двух треугольников и, следовательно, доказывает только подобие , а не конгруэнтность в евклидовом пространстве.

Однако в сферической геометрии и гиперболической геометрии (где сумма углов треугольника меняется в зависимости от размера) ААА достаточно для конгруэнтности на заданной кривизне поверхности. ^[4]

КПКТС

Эта аббревиатура означает « Соответствующие части конгруэнтных треугольников конгруэнтны» , что является сокращенной версией определения конгруэнтных треугольников. ^[5]^[6]

Более подробно, это краткий способ сказать, что если треугольники $ABC$ и $DEF$ конгруэнтны, то есть

\triangle ABC\cong \triangle DEF,

с соответствующими парами углов в вершинах $A$ и $D$ ; $Б$ и $Е$ ; и $C$ и $F$ , и с соответствующими парами сторон $AB$ и $DE$ ; $до нашей эры$ и $EF$ ; и $CA$ и $FD$ , то верны следующие утверждения:

{\overline {AB}}\cong {\overline {DE}}

{\overline {BC}}\cong {\overline {EF}}

{\overline {AC}}\cong {\overline {DF}}

\angle BAC\cong \angle EDF

\angle ABC\cong \angle DEF

\angle BCA\cong \angle EFD.

Это утверждение часто используется в качестве обоснования в доказательствах элементарной геометрии, когда необходимо сделать вывод о равенстве частей двух треугольников после того, как конгруэнтность треугольников установлена. было показано, что два треугольника конгруэнтны Например, если по критериям SSS , и для доказательства необходимо утверждение о том, что соответствующие углы конгруэнтны, то CPCTC можно использовать в качестве обоснования этого утверждения.

Родственная теорема — CPCFC , в которой «треугольники» заменяются «фигурами», так что теорема применима к любой паре многоугольников или многогранников конгруэнтных .

Определение сравнения в аналитической геометрии

В евклидовой системе конгруэнтность является фундаментальной; это аналог равенства чисел. В аналитической геометрии конгруэнтность может быть определена интуитивно следующим образом: два отображения фигур в одну декартову систему координат конгруэнтны тогда и только тогда, когда для любых двух точек в первом отображении евклидово расстояние между ними равно евклидову расстоянию между соответствующими точками. точки во втором отображении.

Более формальное определение гласит, что два подмножества A и B евклидова пространства R ^н называются конгруэнтными, если существует изометрия f : R ^н → Р ^н (элемент евклидовой группы E ( n )) с f ( A ) = B . Конгруэнтность – это отношение эквивалентности .

Соответствующие конические сечения

Два конических сечения называются конгруэнтными, если их эксцентриситеты и еще один характеризующий их отдельный параметр равны. Их эксцентриситет определяет их форму, равенства которых достаточно, чтобы установить сходство, а второй параметр затем устанавливает размер. Поскольку две окружности , параболы или прямоугольные гиперболы всегда имеют один и тот же эксцентриситет (в частности, 0 в случае кругов, 1 в случае парабол и ${\sqrt {2}}$ в случае прямоугольных гипербол) два круга, параболы или прямоугольные гиперболы должны иметь только одно общее значение параметра, определяющее их размер, чтобы они были конгруэнтны.

Соответствующие многогранники

Для двух многогранников одного комбинаторного типа (т. е. одинаковых число E ребер , одинаковое количество граней и одинаковое количество сторон на соответствующих гранях), существует набор измерений E , который может установить, конгруэнтны ли многогранники или нет. ^[7]^[8]Число ограничено, а это означает, что измерений меньше E недостаточно, если многогранники являются общими среди своего комбинаторного типа. Но меньшее количество измерений может подойти для особых случаев. Например, у кубов 12 ребер, но 9 измерений достаточно, чтобы решить, конгруэнтен ли многогранник этого комбинаторного типа данному правильному кубу.

Равные треугольники на сфере

Как и в случае с плоскими треугольниками, на сфере два треугольника, имеющие одну и ту же последовательность угол-сторона-угол (ASA), обязательно конгруэнтны (то есть имеют три одинаковые стороны и три одинаковых угла). ^[9] Это можно увидеть следующим образом: можно расположить одну из вершин с заданным углом на южном полюсе и провести сторону заданной длины вверх по нулевому меридиану. Знание обоих углов на обоих концах отрезка фиксированной длины гарантирует, что две другие стороны исходят по однозначно определенной траектории и, таким образом, встретятся друг с другом в однозначно определенной точке; таким образом, ASA действителен.

Теоремы о сравнении сторона-угол-сторона (SAS) и сторона-сторона-сторона (SSS) также справедливы для сферы; кроме того, если два сферических треугольника имеют идентичную последовательность угол-угол-угол (ААА), они конгруэнтны (в отличие от плоских треугольников). ^[9]

Теорема о сравнении плоскости и треугольника угол-угол-сторона (AAS) не справедлива для сферических треугольников. ^[10] Как и в плоской геометрии, угол сторона-сторона (SSA) не подразумевает конгруэнтность.

Обозначения

Символом, обычно используемым для сравнения, является символ равенства с тильдой над ним, $≅$ , соответствующий символу Юникода «приблизительно равно» (U+2245). В Великобритании $знак равенства с тремя чертами \equiv$ иногда используется (U+2261).

См. также

Ссылки

^ Клэпхэм, К.; Николсон, Дж. (2009). «Оксфордский краткий математический словарь, конгруэнтные фигуры» (PDF) . Аддисон-Уэсли. п. 167. Архивировано из оригинала 29 октября 2013 года . Проверено 2 июня 2017 г. {{cite web}}: CS1 maint: bot: исходный статус URL неизвестен ( ссылка )
^ «Конгруэнтность» . Открытый справочник по математике. 2009 . Проверено 2 июня 2017 г.
^ Парр, HE (1970). Повторный курс школьной математики . Учебники математики второе издание. G Bell and Sons Ltd. ISBN 0-7135-1717-4 .
^ Корнел, Антонио (2002). Геометрия для средней школы . Учебники математики второе издание. Bookmark Inc. ISBN 971-569-441-1 .
^ Джейкобс, Гарольд Р. (1974), Геометрия , WH Freeman, с. 160, ISBN 0-7167-0456-0 Джейкобс использует небольшую вариацию этой фразы
^ «Соответствующие треугольники» . Заметки Клиффа . Проверено 4 февраля 2014 г.
^ Борисов, Александр; Дикинсон, Марк; Гастингс, Стюарт (март 2010 г.). «Задача о сравнении многогранников». Американский математический ежемесячник . 117 (3): 232–249. arXiv : 0811.4197 . дои : 10.4169/000298910X480081 . S2CID 8166476 .
^ Крич, Алекса. «Проблема конгруэнтности» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 11 ноября 2013 г.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Болин, Майкл (9 сентября 2003 г.). «Исследование сферической геометрии» (PDF) . стр. 6–7. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.
^ Холлиер, Л. «Слайд 89 из 112» .

Внешние ссылки

SSS в Cut-the-Knot
SSA в Cut-the-Knot
Интерактивная анимация, демонстрирующая конгруэнтные многоугольники , конгруэнтные углы , конгруэнтные отрезки линий , конгруэнтные треугольники в Math Open Reference.

[1] Клэпхэм, К.; Николсон, Дж. (2009). «Оксфордский краткий математический словарь, конгруэнтные фигуры» (PDF) . Аддисон-Уэсли. п. 167. Архивировано из оригинала 29 октября 2013 года . Проверено 2 июня 2017 г. {{cite web}}: CS1 maint: bot: исходный статус URL неизвестен ( ссылка )

[2] «Конгруэнтность» . Открытый справочник по математике. 2009 . Проверено 2 июня 2017 г.

[3] Парр, HE (1970). Повторный курс школьной математики . Учебники математики второе издание. G Bell and Sons Ltd. ISBN 0-7135-1717-4 .

[4] Корнел, Антонио (2002). Геометрия для средней школы . Учебники математики второе издание. Bookmark Inc. ISBN 971-569-441-1 .

[5] Джейкобс, Гарольд Р. (1974), Геометрия , WH Freeman, с. 160, ISBN 0-7167-0456-0 Джейкобс использует небольшую вариацию этой фразы

[6] «Соответствующие треугольники» . Заметки Клиффа . Проверено 4 февраля 2014 г.

[7] Борисов, Александр; Дикинсон, Марк; Гастингс, Стюарт (март 2010 г.). «Задача о сравнении многогранников». Американский математический ежемесячник . 117 (3): 232–249. arXiv : 0811.4197 . дои : 10.4169/000298910X480081 . S2CID 8166476 .

[8] Крич, Алекса. «Проблема конгруэнтности» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 11 ноября 2013 г.

[Bolin-9] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Болин, Майкл (9 сентября 2003 г.). «Исследование сферической геометрии» (PDF) . стр. 6–7. Архивировано (PDF) из оригинала 9 октября 2022 г.

[10] Холлиер, Л. «Слайд 89 из 112» .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]