Изометрия евклидовой плоскости

В геометрии изометрия евклидовой плоскости — это изометрия евклидовой плоскости или, более неформально, способ преобразования плоскости, который сохраняет геометрические свойства, такие как длина. Существует четыре типа: перемещение , вращение , отражение и скользящее отражение (см. ниже § Классификация ).

Набор изометрий евклидовой плоскости образует группу составную : евклидову группу в двух измерениях. Он порождается отражениями в линиях, и каждый элемент евклидовой группы представляет собой совокупность не более трех различных отражений.

Неформальное обсуждение

Неформально изометрия евклидовой плоскости — это любой способ преобразования плоскости без ее «деформации». Например, предположим, что евклидова плоскость представлена листом прозрачного пластика, лежащим на столе. Примеры изометрий включают в себя:

Сдвиг листа на один дюйм вправо.
Поворот листа на десять градусов вокруг некоторой отмеченной точки (которая остается неподвижной).
Переворачиваю лист, чтобы посмотреть на него сзади. Обратите внимание: если на одной стороне листа нарисована картинка, то, перевернув лист, мы видим зеркальное отображение картинки.

Это примеры переводов , вращений и отражений соответственно. Существует еще один тип изометрии, называемый скользящим отражением (см. Ниже классификацию изометрий евклидовой плоскости ).

Однако складывание, разрезание или плавление листа не считаются изометриями. Не являются и менее радикальные изменения, такие как изгиб, растяжение или скручивание.

Формальное определение

Изометрия . евклидовой плоскости - это преобразование плоскости, сохраняющее расстояние То есть это карта

$M:{\textbf {R}}^{2}\to {\textbf {R}}^{2}$

такая, что для любых точек p и q на плоскости

$d(p,q)=d(M(p),M(q)),$

где d ( p , q ) — обычное евклидово расстояние между p и q .

Классификация

Можно показать, что существует четыре типа изометрий евклидовой плоскости. ( Примечание : обозначения типов изометрий, перечисленных ниже, не полностью стандартизированы.)

Размышления

Отражения , или зеркальные изометрии , обозначаются F _{c , v} , где c — точка на плоскости, а v — единичный вектор в R. ². ( F означает «переворот».) отражают точку p на линии L , которая перпендикулярна v и проходит через c . Линия L называется осью отражения или соответствующим зеркалом . Чтобы найти формулу для F _{c , v} сначала используем скалярное произведение , чтобы найти компонент t p , мы − c в направлении v :

$t=(p-c)\cdot v=(p_{x}-c_{x})v_{x}+(p_{y}-c_{y})v_{y},$

и затем мы получаем отражение p путем вычитания:

$F_{c,v}(p)=p-2tv.$

Комбинация вращений вокруг начала координат и отражений вокруг линии, проходящей через начало координат, получается, когда все ортогональные матрицы (т.е. с определителем 1 и -1), образующие ортогональную группу O (2). В случае определителя −1 мы имеем:

$R_{0,\theta }(p)={\begin{bmatrix}\cos \theta &\sin \theta \\\sin \theta &\mathbf {-} \cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\end{bmatrix}}.$ которое представляет собой отражение по оси x с последующим поворотом на угол θ или, что эквивалентно, отражение в линии, составляющей угол θ /2 с осью x . Отражение в параллельной линии соответствует добавлению вектора, перпендикулярного ей.

Переводы

Переводы , обозначаемые T _v , где v — вектор в R ² имеют эффект смещения плоскости в направлении v . То есть для любой точки p плоскости

$T_{v}(p)=p+v,$

или в терминах координат ( x , y ),

$T_{v}(p)={\begin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\end{bmatrix}}.$

Перевод можно рассматривать как совокупность двух параллельных размышлений.

Ротации

Вращения , обозначаемые Rc _,θ , где c — точка плоскости (центр вращения), а θ — угол поворота. В терминах координат вращения легче всего выразить, разбив их на две операции. Во-первых, вращение вокруг начала координат определяется выражением

$R_{0,\theta }(p)={\begin{bmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\end{bmatrix}}.$

Эти матрицы являются ортогональными матрицами (т.е. каждая представляет собой квадратную матрицу G которой , транспонирование является ее обратной матрицей , т.е. $GG^{T}=G^{T}G=I_{2}.$ ), с определителем 1 (другая возможность для ортогональных матриц - -1, что дает зеркальное отображение, см. ниже). Они образуют специальную ортогональную группу SO(2).

Вращение вокруг c может быть выполнено путем сначала перевода c в начало координат, затем выполнения вращения вокруг начала координат и, наконец, перевода начала координат обратно в c . То есть,

$R_{c,\theta }=T_{c}\circ R_{0,\theta }\circ T_{-c},$

или другими словами,

$R_{c,\theta }(p)=c+R_{0,\theta }(p-c).$

Альтернативно выполняется вращение вокруг начала координат с последующим переносом:

$R_{c,\theta }(p)=c-R_{0,\theta }c+R_{0,\theta }(p).$

Вращение можно рассматривать как совокупность двух непараллельных отражений.

Жесткие преобразования

Совокупность перемещений и вращений вместе образуют жесткие движения или жесткие перемещения . Этот набор образует группу по составу, группу жестких движений , подгруппу полной группы евклидовых изометрий.

Скользящие отражения

Скользящие отражения , обозначаемые G _{c , v , w} , где c — точка на плоскости, v — единичный вектор в R ², и w не является нулевым, вектор, перпендикулярный v, представляет собой комбинацию отражения в линии, описываемой c и v , с последующим сдвигом вдоль w . То есть,

$G_{c,v,w}=T_{w}\circ F_{c,v},$

или другими словами,

$G_{c,v,w}(p)=w+F_{c,v}(p).$

(Также верно, что

$G_{c,v,w}(p)=F_{c,v}(p+w);$

то есть мы получим тот же результат, если выполним перенос и отражение в обратном порядке.)

В качестве альтернативы мы умножаем на ортогональную матрицу с определителем -1 (соответствует отражению в линии, проходящей через начало координат), а затем выполняем сдвиг. Это скользящее отражение, за исключением особого случая, когда перемещение перпендикулярно линии отражения, и в этом случае комбинация сама по себе является просто отражением в параллельной линии.

Тождественная является изометрия, определяемая формулой I ( p ) = p для всех точек p, частным случаем перевода, а также частным случаем вращения. Это единственная изометрия, которая принадлежит более чем к одному из описанных выше типов.

Во всех случаях мы умножаем вектор положения на ортогональную матрицу и добавляем вектор; если определитель равен 1, у нас есть вращение, сдвиг или тождество, а если он равен -1, у нас есть скользящее отражение или отражение.

«Случайная» изометрия, как взять лист бумаги со стола и случайно положить его обратно, « почти наверняка » — это вращение или скользящее отражение (у них три степени свободы ). Это применимо независимо от деталей распределения вероятностей , если θ и направление добавленного вектора независимы и равномерно распределены , а длина добавленного вектора имеет непрерывное распределение. Чистый перевод и чистое отражение — это особые случаи, имеющие только две степени свободы, тогда как идентичность еще более особенна и не имеет степеней свободы.

Изометрии как группа отражений

Отражения или зеркальные изометрии можно комбинировать для создания любой изометрии. Таким образом, изометрии являются примером группы отражений .

Зеркальные комбинации

В евклидовой плоскости мы имеем следующие возможности.

[ д ] Личность

Два отражения в одном зеркале возвращают каждую точку в исходное положение. Все точки остаются фиксированными. Любая пара одинаковых зеркал имеет одинаковый эффект.

[ д б ] Отражение

Как Алиса обнаружила через зеркало , одно зеркало заставляет левую и правую руки переключаться. (Формально, топологическая ориентация меняется на противоположную.) Точки на зеркале остаются фиксированными. Каждое зеркало имеет уникальный эффект.

[ d p ] Вращение

Два различных пересекающихся зеркала имеют одну общую точку, которая остается неподвижной. Все остальные точки вращаются вокруг него на угол, в два раза превышающий угол между зеркалами. Любые два зеркала с одинаковой фиксированной точкой и одинаковым углом дают одинаковое вращение, если они используются в правильном порядке.

[ д д ] Перевод

Два различных зеркала, которые не пересекаются, должны быть параллельны. Каждая точка перемещается на одинаковую величину, на удвоенное расстояние между зеркалами, и в одном направлении. Никакие точки не остаются фиксированными. Любые два зеркала, расположенные в одном и том же параллельном направлении и на одинаковом расстоянии друг от друга, дают одинаковый сдвиг, если они используются в правильном порядке.

[ d q ] Отражение скольжения

Три зеркала. Если все они параллельны, эффект будет таким же, как и у одного зеркала (сдвиньте пару, чтобы отменить третье). В противном случае мы можем найти эквивалентное расположение, в котором два из них параллельны, а третий перпендикулярен им. Эффект представляет собой отражение в сочетании с перемещением параллельно зеркалу. Никакие точки не остаются фиксированными.

Трех зеркал достаточно.

Добавление большего количества зеркал не добавляет больше возможностей (в плоскости), поскольку их всегда можно переставить, чтобы вызвать отмену.

Доказательство

Изометрия полностью определяется ее воздействием на три независимых (не коллинеарных) точки. предположим p1 , p2 _, , p3 _что в q1 _{отображаются} , q2 _, , q3 _Итак ; мы можем создать последовательность зеркал для достижения этой цели следующим образом. Если p ₁ и q ₁ различны, выберите их серединный перпендикуляр в качестве зеркала. Теперь p1 отображается q1 _; в и все дальнейшие зеркала проведем через q ₁ , оставив его фиксированным. Назовем образы p ₂ и p ₃ при этом отражении p ₂ ′ и p ₃ ′. Если q ₂ отличается от p ₂ ′, разделите угол q ₁ пополам новым зеркалом. Теперь, когда p ₁ и p ₂ на месте, p ₃ находится на p ₃ ″; а если его нет на месте, последнее зеркало через q ₁ и q ₂ перевернет его в q ₃ . Таким образом, для воспроизведения любой изометрии плоскости достаточно не более трех отражений. КЭД

Признание

Мы можем распознать, какая из этих изометрий у нас есть, по тому, сохраняет ли она руки или меняет их местами, а также имеет ли она хотя бы одну фиксированную точку или нет, как показано в следующей таблице (без тождества).

		Сохраняет руки?
		Да	Нет
Фиксированная точка?	Да	Вращение	Отражение
Фиксированная точка?	Нет	Перевод	Скольжение отражения

Структура группы

Изометрии, требующие нечетного количества зеркал — отражение и скользящее отражение — всегда меняются местами влево и вправо. Четные изометрии — тождество, вращение и перемещение — никогда не выполняются; они соответствуют жестким движениям и образуют нормальную подгруппу полной евклидовой группы изометрий. Ни полная группа, ни четная подгруппа не являются абелевыми ; например, изменение порядка расположения двух параллельных зеркал меняет направление производимого ими перемещения.

Доказательство

Личность — это изометрия; ничего не меняется, поэтому расстояние не может измениться. И если одна изометрия не может изменить расстояние, то и две (или три, или более) подряд не могут; таким образом, композиция двух изометрий снова является изометрией, а множество изометрий замыкается относительно композиции. Тождественная изометрия также является тождеством композиции, а композиция ассоциативна ; следовательно, изометрии удовлетворяют аксиомам полугруппы . Для группы мы также должны иметь обратный элемент для каждого элемента. Чтобы отменить отражение, мы просто составляем его с самим собой (Отражения — это инволюции ). А поскольку каждая изометрия может быть выражена как последовательность отражений, ее инверсия может быть выражена как перевернутая последовательность. Обратите внимание, что устранение пары одинаковых отражений уменьшает количество отражений на четное число, сохраняя четность последовательности; также обратите внимание, что идентичность имеет четность. Следовательно, все изометрии образуют группу, а даже изометрии — подгруппу. (Нечетные изометрии не включают тождество и не являются подгруппой). Эта подгруппа является нормальной подгруппой, потому что размещение четной изометрии между двумя нечетными дает четную изометрию. КЭД

Поскольку четная подгруппа нормальна, она является ядром гомоморфизма единицы факторгруппы . , где фактор изоморфен группе, состоящей из отражения и Однако полная группа не является прямым произведением , а лишь полупрямым произведением четной подгруппы и факторгруппы.

Состав

Композиция изометрий по-разному смешивает виды. Мы можем думать о идентичности либо как о двух зеркалах, либо ни об одном; в любом случае это не влияет на композицию. А два отражения дают либо сдвиг, либо поворот, либо идентичность (что тривиально и то, и другое). Отражение, составленное с помощью любого из них, может сводиться к одному отражению; в противном случае это дает единственную доступную трехзеркальную изометрию - скользящее отражение. Пара переводов всегда сводится к одному переводу; поэтому сложные случаи связаны с ротациями. Мы знаем, что вращение, составленное либо из вращения, либо из перемещения, должно создавать четную изометрию. Композиция с перемещением производит еще одно вращение (на ту же величину, со смещенной фиксированной точкой), но композиция с вращением может давать как перемещение, так и вращение. Часто говорят, что композиция двух вращений дает вращение, и Эйлер доказал эту теорему в 3D; однако это верно только для вращений, имеющих общую фиксированную точку.

Трансляция, вращение и ортогональные подгруппы

Таким образом, у нас есть два новых типа подгрупп изометрии: все перемещения и вращения, имеющие общую фиксированную точку. Обе являются подгруппами четной подгруппы, внутри которой переводы нормальны. Поскольку сдвиги являются нормальной подгруппой, мы можем их исключить, оставив подгруппу изометрий с фиксированной точкой, ортогональную группу .

Доказательство

Если два вращения имеют общую фиксированную точку, то мы можем повернуть пару зеркал второго вращения, чтобы отменить внутренние зеркала последовательности из четырех (два и два), оставив только внешнюю пару. Таким образом, композиция двух вращений с общей неподвижной точкой дает вращение на сумму углов вокруг одной и той же неподвижной точки.

Если два перевода параллельны, мы можем сдвинуть пару зеркал второго перевода, чтобы отменить внутреннее зеркало последовательности из четырех, так же, как и в случае вращения. Таким образом, композиция двух параллельных переводов дает перевод на сумму расстояний в одном направлении. Теперь предположим, что переводы не параллельны и что зеркальная последовательность представляет собой A ₁ , A ₂ (первый перевод), за которым следуют B ₁ , B ₂ (второй). Тогда A2 _и B1 _должны пересечься, скажем, в точке c ; и, повторно связывая, мы можем свободно поворачивать эту внутреннюю пару вокруг c . Если мы повернёмся на 90°, произойдет интересная вещь: теперь A ₁ и A ₂ ′ пересекаются под углом 90°, скажем, в точке p , и то же самое делают B ₁ ′ и B ₂ , скажем, в точке q . Снова повторно связывая, мы поворачиваем первую пару вокруг p, чтобы заставить B ₂ ″ пройти через q , и поворачиваем вторую пару вокруг q, чтобы заставить A ₁ ″ пройти через p . Внутренние зеркала теперь совпадают и компенсируются, а внешние зеркала остаются параллельными. Таким образом, композиция двух непараллельных переводов также дает перевод. Кроме того, три точки поворота образуют треугольник, края которого соответствуют правилу «голова к хвосту». векторное сложение : $2(п c) + 2(c q) знак равно 2(п q)$ . КЭД

Построение вложенной группы

Структура подгрупп предлагает другой способ составления произвольной изометрии:

Выберите фиксированную точку и зеркало через нее.

Если изометрия нечетная, используйте зеркало; иначе нет.
При необходимости поверните вокруг фиксированной точки.
Если необходимо, переведите.

Это работает, потому что переводы являются нормальной подгруппой полной группы изометрий с фактором ортогональной группы; а вращения вокруг фиксированной точки являются нормальной подгруппой ортогональной группы с фактором одного отражения.

Дискретные подгруппы

Обсуждаемые до сих пор подгруппы не только бесконечны, но и непрерывны ( группы Ли ). Любая подгруппа, содержащая хотя бы один ненулевой сдвиг, должна быть бесконечной, но подгруппы ортогональной группы могут быть конечными. Например, симметрия правильного пятиугольника состоит из поворотов на целое число, кратное 72 ° (360 ° / 5), а также отражений в пяти зеркалах, которые перпендикулярно делят края пополам. Это группа D ₅ из 10 элементов. У него есть подгруппа C ₅ вдвое меньшего размера, в которой отсутствуют отражения. Эти две группы являются членами двух семейств D _n и C _n для любого n > 1. Вместе эти семейства составляют группы розеток .

Переводы не сворачиваются сами по себе, но мы можем взять в качестве подгруппы целые кратные любого конечного перевода или суммы кратных двух таких независимых переводов. Они порождают решетку периодического замощения плоскости.

Мы также можем объединить эти два типа дискретных групп — дискретные вращения и отражения вокруг фиксированной точки и дискретные перемещения — для создания групп фризов и групп обоев . Любопытно, что лишь немногие из групп неподвижной точки оказались совместимыми с дискретными сдвигами. Фактически, совместимость решеток накладывает настолько серьезное ограничение, что с точностью до изоморфизма у нас есть только 7 различных групп фризов и 17 различных групп обоев. Например, симметрии пятиугольника D ₅ несовместимы с дискретной решеткой трансляций. (Каждое высшее измерение также имеет лишь конечное число таких кристаллографических групп , но это число быстро растет; например, в 3D — 230 групп, а в 4D — 4783.)

Изометрии на комплексной плоскости

В терминах комплексных чисел изометрии плоскости имеют вид

${\begin{array}{ccc}\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} \\z&\mapsto &a+\omega z\end{array}}$

или формы

${\begin{array}{ccc}\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} \\z&\mapsto &a+\omega {\overline {z}}{\mbox{,}}\end{array}}$

для некоторых комплексных чисел $a$ и $ω$ , |ω| = 1. Это легко доказать: если $a = f (0)$ и $ω = f (1) - f (0)$ и если определить

${\begin{array}{rccc}g\colon &\mathbb {C} &\longrightarrow &\mathbb {C} \\&z&\mapsto &{\frac {f(z)-a}{\omega }}{\mbox{,}}\end{array}}$

тогда $g$ — изометрия, $g (0) = 0$ и $g (1) = 1$ . Тогда легко видеть, что g — это либо тождество, либо сопряжение, и доказываемое утверждение следует из этого и из того факта, что $f (z) = a + ωg (z)$ .

Очевидно, это связано с предыдущей классификацией плоских изометрий, поскольку:

функции типа $z \to a + z$ являются сдвигами;
функции типа $z \to ω z$ являются вращениями (когда |ω| = 1);
сопряжение является отражением.

Обратите внимание, что вращение вокруг комплексной точки p получается с помощью комплексной арифметики с

$z\mapsto \omega (z-p)+p=\omega z+p(1-\omega )$

где последнее выражение показывает отображение, эквивалентное вращению в 0 и сдвигу.Поэтому, учитывая прямую изометрию $z\mapsto \omega z+a,$ можно решить $p(1-\omega )=a$ чтобы получить $p=a/(1-\omega )$ как центр эквивалентного вращения, при условии, что $\omega \neq 1$ , то есть при условии, что прямая изометрия не является чистым переводом. Как заявил Седерберг: «Прямая изометрия — это либо вращение, либо перемещение». ^[1]

См. также

Теорема Бекмана – Куорлза , характеристика изометрий как преобразований, сохраняющих единичные расстояния.
Конгруэнтность (геометрия)
Координатные вращения и отражения
Теорема Ельмслева , утверждение о том, что середины соответствующих пар точек в изометрии прямых коллинеарны.

Ссылки

^ Седерберг, Джудит Н. (2001). Курс современной геометрии . стр. 136–164 . ISBN 978-0-387-98972-3 . , цитата со стр. 151

Внешние ссылки

Плоские изометрии

[1] Седерберг, Джудит Н. (2001). Курс современной геометрии . стр. 136–164 . ISBN 978-0-387-98972-3 . , цитата со стр. 151

[1]