Теорема Бекмана – Куорлза

В геометрии теорема Бекмана -Куорлза утверждает, что если преобразование евклидовой плоскости или многомерного евклидова пространства сохраняет единичные расстояния, то оно сохраняет и все евклидовы расстояния . Эквивалентно, каждый гомоморфизм графа единичных расстояний плоскости до самого себя должен быть изометрией плоскости. Теорема названа в честь Фрэнка С. Бекмана и Дональда А. Куорлза-младшего, опубликовавших этот результат в 1953 году; позже оно было заново открыто другими авторами и подтверждено множеством способов. аналогичные теоремы для рациональных подмножеств евклидовых пространств или для неевклидовой геометрии Известны также .

Заявление и идея доказательства

Формально результат следующий. Позволять $f$ быть функцией или многозначной функцией из $d$ -мерное евклидово пространство само по себе, и предположим, что для каждой пары точек $p$ и $q$ которые находятся на единичном расстоянии друг от друга, каждая пара изображений $f(p)$ и $f(q)$ также находятся на единичном расстоянии друг от друга. Затем $f$ должна быть изометрией : это взаимно-однозначная функция , сохраняющая расстояния между всеми парами точек. ^{[ 1 ]}

Один из способов перефразирования теоремы Бекмана-Куорлза включает гомоморфизмы графов , отображения между неориентированными графами , которые переводят вершины в вершины и ребра в ребра. Для графа единичных расстояний, вершинами которого являются все точки плоскости, с ребром между любыми двумя точками на единичном расстоянии, гомоморфизм этого графа в себя - это то же самое, что преобразование плоскости, сохраняющее единичное расстояние. Таким образом, теорема Бекмана-Куорлза утверждает, что единственные гомоморфизмы этого графа самому себе - это очевидные гомоморфизмы, исходящие из изометрий плоскости . ^{[ 2 ]} Для этого графа все гомоморфизмы являются симметриями графа , определяющим свойством класса графов, называемых ядрами . ^{[ 3 ]}

А также оригинальные доказательства теоремы Бекмана и Куорлза, ^{[ 1 ]} и доказательства в более поздних статьях, заново открывающие результат, ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]} было опубликовано несколько альтернативных доказательств. ^{[ 7 ]}^{[ 8 ]}^{[ 9 ]} Если $F$ — набор расстояний, сохраняемый отображением $f$ , то из неравенства треугольника следует , что некоторые сравнения других расстояний с членами $F$ сохраняются $f$ . Следовательно, если $F$ можно показать, что это плотное множество , то все расстояния должны сохраняться. Основная идея нескольких доказательств теоремы Бекмана-Куорлза состоит в том, чтобы использовать структурную жесткость некоторых графов единичных расстояний , таких как график регулярного симплекса , чтобы показать, что отображение, сохраняющее единичные расстояния, должно сохранять достаточно других расстояний, чтобы сформировать плотный набор. ^{[ 9 ]}

Контрпримеры для других пространств

Бекман и Куорлз отмечают, что теорема неверна для действительной линии (одномерного евклидова пространства). В качестве примера рассмотрим функцию $f(x)$ который возвращает $x+1$ если $x$ является целым числом и возвращает $x$ в противном случае. Эта функция подчиняется предварительным условиям теоремы: она сохраняет единичные расстояния. Однако он не сохраняет расстояния между целыми и нецелыми числами. ^{[ 1 ]}

Бекман и Куорлз приводят еще один контрпример, показывающий, что их теорема не может быть обобщена на бесконечномерное пространство, гильбертово пространство последовательностей действительных чисел, суммируемых с квадратом . «Квадратно-суммируемый» означает, что сумма квадратов значений в последовательности из этого пространства должна быть конечной. Расстояние между любыми двумя такими последовательностями можно определить так же, как евклидово расстояние для конечномерных пространств, суммируя квадраты разностей координат и затем извлекая квадратный корень. Чтобы построить функцию, сохраняющую единичные расстояния, но не другие расстояния, Бекман и Куорлз составили две разрывные функции :

Первая функция отображает каждую точку гильбертова пространства в ближайшую точку счетного плотного подпространства . Например, плотное подпространство может быть выбрано как подпространство последовательностей рациональных чисел . Пока это преобразование перемещает каждую точку на расстояние меньше, чем ${\tfrac {1}{2}}$ , он будет отображать точки, находящиеся на единичном расстоянии друг от друга, в отдельные изображения.
Вторая функция отображает это плотное множество на счетный единичный симплекс — бесконечное множество точек, находящихся на единичном расстоянии друг от друга. Один из примеров счетного симплекса в этом пространстве состоит из последовательностей действительных чисел, принимающих значение $1/{\sqrt {2}}$ в одной позиции и равны нулю во всех остальных местах. Последовательностей такого вида бесконечно много, и расстояние между любыми двумя такими последовательностями равно единице. Эта вторая функция должна быть взаимно однозначной, но в противном случае ее можно выбрать произвольно.

Когда эти два преобразования объединяются, они отображают любые две точки, находящиеся на единичном расстоянии друг от друга, в две разные точки плотного подпространства, а оттуда отображают их в две разные точки симплекса, которые обязательно находятся на единичном расстоянии друг от друга. Поэтому их состав сохраняет единичные расстояния. Однако это не изометрия, поскольку она отображает каждую пару точек, независимо от их исходного расстояния, либо в одну и ту же точку, либо на единичное расстояние. ^{[ 1 ]}^{[ 10 ]}

Связанные результаты

Семираскраска евклидовой плоскости так, чтобы никакие две точки на единичном расстоянии (например, соседние точки наложенного веретена Мозера ) не имели одинаковый цвет. Сопоставление точек по цвету с семью вершинами шестимерного правильного симплекса дает карту из $\mathbb {E} ^{2}$ к $\mathbb {E} ^{6}$ которое сохраняет единичные расстояния, но не является изометрией.

Каждое евклидово пространство может быть отображено в пространство достаточно более высокой размерности таким образом, чтобы сохранять единичные расстояния, но не являться изометрией. Для этого, следуя известным результатам по задаче Хадвигера–Нельсона , раскрасьте точки данного пространства конечным числом цветов так, чтобы никакие две точки на единичном расстоянии не имели одинаковый цвет. Затем сопоставьте каждый цвет с вершиной многомерного регулярного симплекса с единичной длиной ребра. Например, евклидову плоскость можно раскрасить семью цветами, используя замощение шестиугольниками диаметром немного меньше единицы, так что никакие две точки одного цвета не находятся на расстоянии единицы друг от друга. Тогда точки плоскости можно сопоставить по цветам семи вершинам шестимерного правильного симплекса . Неизвестно, является ли шесть наименьшим измерением, для которого это возможно, и улучшенные результаты по проблеме Хадвигера-Нельсона могут улучшить эту оценку. ^{[ 11 ]}^{[ 12 ]}

Для преобразований точек с рациональными числовыми координатами ситуация сложнее, чем для полной евклидовой плоскости. Существуют сохраняющие единичное расстояние карты рациональных точек в рациональные точки, которые не сохраняют другие расстояния для измерений до четырех, но не сохраняют ни одного для измерений пять и выше. ^{[ 13 ]}^{[ 14 ]} Аналогичные результаты верны и для отображений рациональных точек, которые сохраняют другие расстояния, такие как квадратный корень из двух , в дополнение к единичным расстояниям. ^{[ 15 ]} Для пар точек, расстояние которых является алгебраическим числом $A$ , существует конечная версия этой теоремы: Маэхара показал, что для любого алгебраического числа $A$ , существует конечный жесткий единичных расстояний граф $G$ в котором некоторые две вершины $p$ и $q$ должно быть на расстоянии $A$ друг от друга. Отсюда следует, что любое преобразование плоскости, сохраняющее единичные расстояния в $G$ также необходимо сохранять расстояние между $p$ и $q$ . ^{[ 16 ]}^{[ 17 ]}^{[ 18 ]}

А. Д. Александров задался вопросом, какие метрические пространства обладают тем же свойством, что отображения, сохраняющие единичное расстояние, являются изометриями, ^{[ 19 ]} и следуя этому вопросу, несколько авторов изучили аналогичные результаты для других типов геометрии. Это известно как проблема Александрова–Рассиаса . Например, можно заменить евклидово расстояние значением квадратичной формы . ^{[ 20 ]} Теоремы Бекмана-Куорлза были доказаны для неевклидовых пространств, таких как пространство Минковского , ^{[ 21 ]} обратное расстояние в плоскости Мёбиуса , ^{[ 22 ]} конечные дезарговы плоскости , ^{[ 23 ]} и пространства, определенные над полями с ненулевой характеристикой . ^{[ 24 ]}^{[ 25 ]} Кроме того, теоремы этого типа использовались для характеристики преобразований, отличных от изометрий, таких как преобразования Лоренца . ^{[ 26 ]}

История

Теорема Бекмана-Куорлза была впервые опубликована Фрэнком С. Бекманом и Дональдом А. Куорлзом-младшим в 1953 году. ^{[ 1 ]} назвал ее «теоремой Бекмана и Куорлза» Еще в 1960 году Виктор Клее . ^{[ 27 ]} Позже он был заново открыт другими авторами в 1960-х и 1970-х годах. ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]}^{[ 6 ]}

Куорлз был сыном инженера связи и руководителя оборонного ведомства Дональда А. Куорлза . Он получил образование в Академии Филлипса , Йельском университете и Военно-морской академии США . он служил метеорологом в ВМС США Во время Второй мировой войны и стал инженером в IBM. Его работа там включала проекты по слежению за спутником , разработку суперкомпьютера , струйной печати и магнитно-резонансной томографии ; ^{[ 28 ]} он защитил докторскую степень. в 1964 году в Курантовском институте математических наук по компьютерному моделированию ударных волн под совместным руководством Роберта Д. Рихтмайера и Питера Лакса . ^{[ 29 ]}

Бекман учился в Городском колледже Нью-Йорка и во время войны служил в армии США. Как и Куорлз, он работал в IBM с 1951 года. ^{[ 30 ]} Он получил докторскую степень. в 1965 году под руководством Луи Ниренберга в Колумбийском университете по уравнениям в частных производных . ^{[ 31 ]} В 1971 году он покинул IBM и стал председателем-основателем факультета компьютерных и информационных наук в Бруклинском колледже , а позже руководил аспирантской программой по информатике в Аспирантурном центре CUNY . ^{[ 30 ]}

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Бекман, Ф.С.; Куорлз, Д.А. младший (1953), «Об изометриях евклидовых пространств», Труды Американского математического общества , 4 : 810–815, doi : 10.2307/2032415 , MR 0058193
^ Кузьминых, Александр (2009), «О разнообразии и стабильности баз единиц евклидовой метрики», Journal of Geometry , 94 (1–2): 143–150, doi : 10.1007/s00022-009-0010-x , MR 2534414
^ Нешетржил, Ярослав ; Оссона де Мендес, Патрис (2012), Разреженность: графы, структуры и алгоритмы , Алгоритмы и комбинаторика, том. 28, Гейдельберг: Springer, с. 43, номер домена : 10.1007/978-3-642-27875-4 , ISBN 978-3-642-27874-7 , МР 2920058
^ Jump up to: ^а ^б Звенгровский, П. (1965), «Приложение к главе II», в Моденове, П.С.; Пархоменко А.С. (ред.), Геометрические преобразования . 1, Нью-Йорк: Академик Пресс ; по цитате Рассиаса 2001 г.
^ Jump up to: ^а ^б Таунсенд, Карл Г. (1970), «Отображения, сохраняющие конгруэнтность», Mathematics Magazine , 43 : 37–38, doi : 10.2307/2688111 , JSTOR 2688111 , MR 0256252
^ Jump up to: ^а ^б Бишоп, Ричард Л. (1973), «Характеристика движений посредством инвариантности единичного расстояния», Mathematics Magazine , 46 : 148–151, doi : 10.2307/2687969 , JSTOR 2687969 , MR 0319026
^ Бенц, Уолтер (1987), «Элементарное доказательство теоремы Бекмана и Куорлза» , Elemente der Mathematik , 42 (1): 4–9, MR 0881889 , заархивировано из оригинала 02 мая 2024 г. , получено в 2024 г. 05-02
^ Юхас, Розалия (2015), «Еще одно доказательство теоремы Бекмана – Куорлза», Advances in Geometry , 15 (4): 519–521, doi : 10.1515/advgeom-2015-0027 , MR 3406479
^ Jump up to: ^а ^б Тотик, Вилмос (2021), «Теорема Бекмана-Куорлза через неравенство треугольника» (PDF) , Advances in Geometry , 21 (4): 541–543, doi : 10.1515/advgeom-2020-0024 , MR 4323350 , в архиве ( PDF) из оригинала 3 октября 2022 г. , получено 2 мая 2024 г.
^ Гринвелл, Дональд; Джонсон, Питер Д. (1976), «Функции, сохраняющие единичное расстояние», Mathematics Magazine , 49 (2): 74–79, doi : 10.1080/0025570X.1976.11976543 , JSTOR 2689433 , MR 0394445
^ Рассиас, Фемистокл М. (1987), «Некоторые замечания об изометрических отображениях», Facta Universitatis, Серия «Математика и информатика» , 2 : 49–52, MR 0963783 ; по цитате Рассиаса 2001 г.
^ Рассиас, Фемистокл М. (2001), «Изометрические отображения и проблема А. Д. Александрова для консервативных расстояний», Флориан, Х.; Ортнер, Н.; Шнитцер, Ф.Дж.; Тутшке В. (ред.), Функционально-аналитические и комплексные методы, их взаимодействие и приложения к уравнениям в частных производных: материалы международного семинара, состоявшегося в Технологическом университете Граца, Грац, 12–16 февраля 2001 г. , River Edge, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co., Inc., стр. 118–125, doi : 10.1142/4822 , МР 1893253
^ Коннелли, Роберт; Закс, Джозеф (2003), «Теорема Бекмана – Куорлза для рациональных $d$ -пространств, $d$ четных и $d \geq 6$ » , в Бездеке, Андраш (ред.), Дискретная геометрия: в честь 60-летия В. Куперберга , Монографии и Учебники по чистой и прикладной математике, вып. 253, Нью-Йорк: Деккер, стр. 193–199, doi : 10.1201/9780203911211 , MR 2034715 , заархивировано из оригинала 05 октября 2022 г. , получено 2 мая 2024 г.
^ Закс, Джозеф (2006), «Рациональный аналог теоремы Бекмана – Куорлза и рациональная реализация некоторых множеств в $E д$ » (PDF) , Отчеты по математике и ее приложениям , Серия VII, 26 (1): 87–94, MR 2215835 , заархивировано из оригинала (PDF) 12 мая 2006 г.
^ Закс, Джозеф (2005), «О отображениях $\mathbb {Q} ^{d}$ к $\mathbb {Q} ^{d}$ которые сохраняют расстояния $1$ и ${\sqrt {2}}$ и теорема Бекмана-Куорлза», Journal of Geometry , 82 (1–2): 195–203, doi : 10.1007/s00022-004-1660-3 , MR 2161824
^ Маэхара, Хироши (1991), «Расстояния в жестком графе единичных расстояний на плоскости», Discrete Applied Mathematics , 31 (2): 193–200, doi : 10.1016/0166-218X(91)90070-D
^ Маэхара, Хироши (1992), «Расширение гибкой структуры единичных стержней до жесткой», Discrete Mathematics , 108 (1–3): 167–174, doi : 10.1016/0012-365X(92)90671-2 , MR 1189840
^ Тышка, Аполониуш (2000), «Дискретные версии теоремы Бекмана – Куорлза», Mathematical Equations , 59 (1–2): 124–133, arXiv : math/9904047 , doi : 10.1007/PL00000119 , MR 1741475
^ Aleksandrov, A. D. (1970), "Mappings of families of sets", Doklady Akademii Nauk SSSR , 190 : 502–505, MR 0256256
^ Лестер, Джун А. (1979), «Преобразования $n$ -пространство, сохраняющее фиксированное квадратное расстояние», Canadian Journal of Mathematics , 31 (2): 392–395, doi : 10.4153/CJM-1979-043-6 , MR 0528819
^ Лестер, Джун А. (1981), «Теорема Бекмана-Куорлза в пространстве Минковского для пространственноподобного квадратного расстояния», Archiv der Mathematik , 37 (6): 561–568, doi : 10.1007/BF01234395 , MR 0646516
^ Лестер, Джун А. (1991), «Теорема типа Бекмана-Куорлза для инверсного расстояния Кокстера», Canadian Mathematical Bulletin , 34 (4): 492–498, doi : 10.4153/CMB-1991-079-6 , MR 1136651
^ Бенц, Уолтер (1982), «Теорема типа Бекмана-Куорлза для конечных дезарговых плоскостей», Journal of Geometry , 19 (1): 89–93, doi : 10.1007/BF01930870 , MR 0689123
^ Радо, Ференц (1983), "Характеристика полуизометрий плоскости Минковского над полем $K$ ", Journal of Geometry , 21 (2): 164–183, doi : 10.1007/BF01918141 , MR 0745209.
^ Радо, Ференц (1986), «Об отображениях пространства Галуа», Израильский математический журнал , 53 (2): 217–230, doi : 10.1007/BF02772860 , MR 0845873
^ Бенц, Уолтер (1981), «Теорема типа Бекмана Куорлза для плоских преобразований Лоренца», Mathematical Journal , 177 (1): 101–106, doi : 10.1007/BF01214341 , MR 0611472
^ Клее, Виктор (1960), Нерешенные проблемы интуитивной геометрии , с. 41, HDL : 1773/16201
^ «Дональд Куорлз-младший». , Кейп-Коддер , 14 июня 2014 г., заархивировано из оригинала 2 мая 2024 г. , получено 2 мая 2024 г. - через Legacy.com.
^ Дональд Обри Куорлз-младший в проекте «Математическая генеалогия»
^ Jump up to: ^а ^б «Фрэнк Сэмюэл Бекман» , Richmond Times-Dispatch , 23 октября 2009 г., заархивировано из оригинала 2 мая 2024 г. , получено 2 мая 2024 г. - через Legacy.com.
^ Фрэнк С. Бекман в проекте «Математическая генеалогия»

[bq53-1] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и Бекман, Ф.С.; Куорлз, Д.А. младший (1953), «Об изометриях евклидовых пространств», Труды Американского математического общества , 4 : 810–815, doi : 10.2307/2032415 , MR 0058193

[k09-2] Кузьминых, Александр (2009), «О разнообразии и стабильности баз единиц евклидовой метрики», Journal of Geometry , 94 (1–2): 143–150, doi : 10.1007/s00022-009-0010-x , MR 2534414

[no12-3] Нешетржил, Ярослав ; Оссона де Мендес, Патрис (2012), Разреженность: графы, структуры и алгоритмы , Алгоритмы и комбинаторика, том. 28, Гейдельберг: Springer, с. 43, номер домена : 10.1007/978-3-642-27875-4 , ISBN 978-3-642-27874-7 , МР 2920058

[z65-4] Jump up to: ^а ^б Звенгровский, П. (1965), «Приложение к главе II», в Моденове, П.С.; Пархоменко А.С. (ред.), Геометрические преобразования . 1, Нью-Йорк: Академик Пресс ; по цитате Рассиаса 2001 г.

[t70-5] Jump up to: ^а ^б Таунсенд, Карл Г. (1970), «Отображения, сохраняющие конгруэнтность», Mathematics Magazine , 43 : 37–38, doi : 10.2307/2688111 , JSTOR 2688111 , MR 0256252

[b73-6] Jump up to: ^а ^б Бишоп, Ричард Л. (1973), «Характеристика движений посредством инвариантности единичного расстояния», Mathematics Magazine , 46 : 148–151, doi : 10.2307/2687969 , JSTOR 2687969 , MR 0319026

[b87-7] Бенц, Уолтер (1987), «Элементарное доказательство теоремы Бекмана и Куорлза» , Elemente der Mathematik , 42 (1): 4–9, MR 0881889 , заархивировано из оригинала 02 мая 2024 г. , получено в 2024 г. 05-02

[j15-8] Юхас, Розалия (2015), «Еще одно доказательство теоремы Бекмана – Куорлза», Advances in Geometry , 15 (4): 519–521, doi : 10.1515/advgeom-2015-0027 , MR 3406479

[t21-9] Jump up to: ^а ^б Тотик, Вилмос (2021), «Теорема Бекмана-Куорлза через неравенство треугольника» (PDF) , Advances in Geometry , 21 (4): 541–543, doi : 10.1515/advgeom-2020-0024 , MR 4323350 , в архиве ( PDF) из оригинала 3 октября 2022 г. , получено 2 мая 2024 г.

[gj76-10] Гринвелл, Дональд; Джонсон, Питер Д. (1976), «Функции, сохраняющие единичное расстояние», Mathematics Magazine , 49 (2): 74–79, doi : 10.1080/0025570X.1976.11976543 , JSTOR 2689433 , MR 0394445

[r87-11] Рассиас, Фемистокл М. (1987), «Некоторые замечания об изометрических отображениях», Facta Universitatis, Серия «Математика и информатика» , 2 : 49–52, MR 0963783 ; по цитате Рассиаса 2001 г.

[r01-12] Рассиас, Фемистокл М. (2001), «Изометрические отображения и проблема А. Д. Александрова для консервативных расстояний», Флориан, Х.; Ортнер, Н.; Шнитцер, Ф.Дж.; Тутшке В. (ред.), Функционально-аналитические и комплексные методы, их взаимодействие и приложения к уравнениям в частных производных: материалы международного семинара, состоявшегося в Технологическом университете Граца, Грац, 12–16 февраля 2001 г. , River Edge, Нью-Джерси: World Scientific Publishing Co., Inc., стр. 118–125, doi : 10.1142/4822 , МР 1893253

[cz03-13] Коннелли, Роберт; Закс, Джозеф (2003), «Теорема Бекмана – Куорлза для рациональных $d$ -пространств, $d$ четных и $d \geq 6$ » , в Бездеке, Андраш (ред.), Дискретная геометрия: в честь 60-летия В. Куперберга , Монографии и Учебники по чистой и прикладной математике, вып. 253, Нью-Йорк: Деккер, стр. 193–199, doi : 10.1201/9780203911211 , MR 2034715 , заархивировано из оригинала 05 октября 2022 г. , получено 2 мая 2024 г.

[z06-14] Закс, Джозеф (2006), «Рациональный аналог теоремы Бекмана – Куорлза и рациональная реализация некоторых множеств в $E д$ » (PDF) , Отчеты по математике и ее приложениям , Серия VII, 26 (1): 87–94, MR 2215835 , заархивировано из оригинала (PDF) 12 мая 2006 г.

[z05-15] Закс, Джозеф (2005), «О отображениях $\mathbb {Q} ^{d}$ к $\mathbb {Q} ^{d}$ которые сохраняют расстояния $1$ и ${\sqrt {2}}$ и теорема Бекмана-Куорлза», Journal of Geometry , 82 (1–2): 195–203, doi : 10.1007/s00022-004-1660-3 , MR 2161824

[m91-16] Маэхара, Хироши (1991), «Расстояния в жестком графе единичных расстояний на плоскости», Discrete Applied Mathematics , 31 (2): 193–200, doi : 10.1016/0166-218X(91)90070-D

[m92-17] Маэхара, Хироши (1992), «Расширение гибкой структуры единичных стержней до жесткой», Discrete Mathematics , 108 (1–3): 167–174, doi : 10.1016/0012-365X(92)90671-2 , MR 1189840

[t00-18] Тышка, Аполониуш (2000), «Дискретные версии теоремы Бекмана – Куорлза», Mathematical Equations , 59 (1–2): 124–133, arXiv : math/9904047 , doi : 10.1007/PL00000119 , MR 1741475

[a70-19] Aleksandrov, A. D. (1970), "Mappings of families of sets", Doklady Akademii Nauk SSSR , 190 : 502–505, MR 0256256

[l79-20] Лестер, Джун А. (1979), «Преобразования $n$ -пространство, сохраняющее фиксированное квадратное расстояние», Canadian Journal of Mathematics , 31 (2): 392–395, doi : 10.4153/CJM-1979-043-6 , MR 0528819

[l81-21] Лестер, Джун А. (1981), «Теорема Бекмана-Куорлза в пространстве Минковского для пространственноподобного квадратного расстояния», Archiv der Mathematik , 37 (6): 561–568, doi : 10.1007/BF01234395 , MR 0646516

[l91-22] Лестер, Джун А. (1991), «Теорема типа Бекмана-Куорлза для инверсного расстояния Кокстера», Canadian Mathematical Bulletin , 34 (4): 492–498, doi : 10.4153/CMB-1991-079-6 , MR 1136651

[b82-23] Бенц, Уолтер (1982), «Теорема типа Бекмана-Куорлза для конечных дезарговых плоскостей», Journal of Geometry , 19 (1): 89–93, doi : 10.1007/BF01930870 , MR 0689123

[r83-24] Радо, Ференц (1983), "Характеристика полуизометрий плоскости Минковского над полем $K$ ", Journal of Geometry , 21 (2): 164–183, doi : 10.1007/BF01918141 , MR 0745209.

[r86-25] Радо, Ференц (1986), «Об отображениях пространства Галуа», Израильский математический журнал , 53 (2): 217–230, doi : 10.1007/BF02772860 , MR 0845873

[b81-26] Бенц, Уолтер (1981), «Теорема типа Бекмана Куорлза для плоских преобразований Лоренца», Mathematical Journal , 177 (1): 101–106, doi : 10.1007/BF01214341 , MR 0611472

[k60-27] Клее, Виктор (1960), Нерешенные проблемы интуитивной геометрии , с. 41, HDL : 1773/16201

[quarles-28] «Дональд Куорлз-младший». , Кейп-Коддер , 14 июня 2014 г., заархивировано из оригинала 2 мая 2024 г. , получено 2 мая 2024 г. - через Legacy.com.

[qmg-29] Дональд Обри Куорлз-младший в проекте «Математическая генеалогия»

[beckman-30] Jump up to: ^а ^б «Фрэнк Сэмюэл Бекман» , Richmond Times-Dispatch , 23 октября 2009 г., заархивировано из оригинала 2 мая 2024 г. , получено 2 мая 2024 г. - через Legacy.com.

[bmg-31] Фрэнк С. Бекман в проекте «Математическая генеалогия»

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

[ 12 ]

[ 13 ]

[ 14 ]

[ 15 ]

[ 16 ]

[ 17 ]

[ 18 ]

[ 19 ]

[ 20 ]

[ 21 ]

[ 22 ]

[ 23 ]

[ 24 ]

[ 25 ]

[ 26 ]

[ 27 ]

[ 28 ]

[ 29 ]

[ 30 ]

[ 31 ]