Преобразование Лоренца

В физике преобразования Лоренца представляют собой шестипараметрическое семейство линейных преобразований из системы координат в пространстве-времени в другую систему координат, которая движется с постоянной скоростью относительно первой. Соответствующее обратное преобразование затем параметризуется отрицательным значением этой скорости. Преобразования названы в честь голландского физика Хендрика Лоренца .

Наиболее распространенная форма преобразования, параметризованная действительной константой. $v,$ представляющая скорость, ограниченную направлением x , выражается как

$${\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}$$

где ( t , x , y , z ) и ( t ', x ', y ', z ') — координаты события в двух кадрах с началами координат, совпадающими в точке t = t ' =0, где штрихованный кадр равен видно из незаштрихованной системы координат как движущееся со скоростью v вдоль оси x , где c — скорость света , и ${\textstyle \gamma =\left({\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}\right)^{-1}}$ является фактором Лоренца . Когда скорость v намного меньше c , фактор Лоренца незначительно отличается от 1, но когда v приближается к c , $\gamma$ растет без ограничений. значение v должно быть меньше, чем c Чтобы преобразование имело смысл, .

Выразив скорость как ${\textstyle \beta ={\frac {v}{c}},}$ эквивалентная форма преобразования:

$${\begin{aligned}ct'&=\gamma \left(ct-\beta x\right)\\x'&=\gamma \left(x-\beta ct\right)\\y'&=y\\z'&=z.\end{aligned}}$$

Системы отсчета можно разделить на две группы: инерциальные (относительное движение с постоянной скоростью) и неинерциальные (ускоряющиеся, движущиеся по криволинейным траекториям, вращательное движение с постоянной угловой скоростью и т. д.). Термин «преобразования Лоренца» относится только к преобразованиям между инерциальными системами отсчета, обычно в контексте специальной теории относительности.

В каждой системе отсчета наблюдатель может использовать локальную систему координат (в данном контексте обычно декартовы координаты ) для измерения длин и часы для измерения временных интервалов. Событие — это то, что происходит в определенной точке пространства в определенный момент времени или, более формально, в точке пространства-времени . Преобразования связывают пространственные и временные координаты события , измеренные наблюдателем в каждом кадре.

Они заменяют преобразование Галилея ньютоновской физики , которая предполагает абсолютные пространство и время (см. теорию относительности Галилея ). Преобразование Галилея является хорошим приближением только при относительных скоростях, намного меньших скорости света. Преобразования Лоренца имеют ряд неинтуитивных особенностей, которых нет в преобразованиях Галилея. Например, они отражают тот факт, что наблюдатели, движущиеся с разными скоростями, могут измерять разные расстояния , прошедшее время и даже разный порядок событий , но всегда так, что скорость света одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Инвариантность скорости света — один из постулатов специальной теории относительности .

Исторически преобразования были результатом попыток Лоренца и других объяснить, как скорость света не зависит от системы отсчета , и понять симметрию законов электромагнетизма . Преобразования позже стали краеугольным камнем специальной теории относительности .

Преобразование Лоренца является линейным преобразованием . Это может включать в себя вращение пространства; Преобразование Лоренца без вращения называется усилением Лоренца . В пространстве Минковского — математической модели пространства-времени в специальной теории относительности — преобразования Лоренца сохраняют пространственно-временной интервал между любыми двумя событиями. Это свойство является определяющим свойством преобразования Лоренца. Они описывают только преобразования, при которых пространственно-временное событие в начале координат остается фиксированным. Их можно рассматривать как гиперболическое вращение пространства Минковского. Более общий набор преобразований, который также включает в себя переводы, известен как группа Пуанкаре .

История

Основная статья: История преобразований Лоренца

Многие физики, в том числе Вольдемар Фойгт , Джордж Фицджеральд , Джозеф Лармор и Хендрик Лоренц. сам — обсуждал физику, подразумеваемую этими уравнениями, с 1887 года. В начале 1889 года Оливер Хевисайд показал на основе уравнений Максвелла , что электрическое поле, окружающее сферическое распределение заряда, должно перестать иметь сферическую симметрию , когда заряд начинает двигаться относительно светоносного эфира . Затем Фитцджеральд предположил, что результат Хевисайда об искажении можно применить к теории межмолекулярных сил. Несколько месяцев спустя Фитцджеральд опубликовал гипотезу о том, что движущиеся тела сжимаются, чтобы объяснить загадочный результат эксперимента Майкельсона и Морли, проведенного в 1887 году с эфиром и ветром . В 1892 году Лоренц независимо представил ту же идею в более подробной форме, которая впоследствии была названа гипотезой сокращения Фитцджеральда-Лоренца . Их объяснение было широко известно до 1905 года.

Лоренц (1892–1904) и Лармор (1897–1900), верившие в гипотезу светоносного эфира, также искали преобразование, при котором уравнения Максвелла остаются инвариантными при преобразовании из эфира в движущуюся систему отсчета. Они расширили гипотезу сокращения Фитцджеральда-Лоренца и обнаружили, что необходимо также изменить временную координату (« местное время »). Анри Пуанкаре дал физическую интерпретацию местного времени (в первом порядке по v / c , относительная скорость двух систем отсчета, нормированная на скорость света) как следствие синхронизации часов в предположении, что скорость света постоянна. в движущихся кадрах. Считается, что Лармор был первым, кто понял решающее свойство замедления времени, присущее его уравнениям.

В 1905 году Пуанкаре первым признал, что преобразование обладает свойствами математической группы .и он назвал его в честь Лоренца. Позже в том же году Альберт Эйнштейн опубликовал то, что сейчас называется специальной теорией относительности , выведя преобразование Лоренца при предположениях принципа относительности и постоянства скорости света в любой инерциальной системе отсчета и отказавшись от механистического эфира как ненужного. .

Вывод группы преобразований Лоренца

Основные статьи: Выводы преобразований Лоренца и группы Лоренца

Событие — это то , что происходит в определенной точке пространства-времени или, в более общем смысле, в самой точке пространства-времени. В любой инерциальной системе отсчета событие задается временной координатой ct и набором декартовых координат x , y , z для указания положения в пространстве в этой системе отсчета. Нижние индексы отмечают отдельные события.

Эйнштейна Из второго постулата относительности (инвариантности c ) следует, что:

$$c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}-(x_{2}-x_{1})^{2}-(y_{2}-y_{1})^{2}-(z_{2}-z_{1})^{2}=0\quad {\text{(lightlike separated events 1, 2)}}$$

( Д1 )

во всех инерциальных системах отсчета для событий, связанных световыми сигналами . Величина слева называется пространственно-временным интервалом между событиями a ₁ = ( t ₁ , x ₁ , y ₁ , z ₁ ) и a ₂ = ( t ₂ , x ₂ , y ₂ , z ₂ ) . Интервал между любыми двумя событиями, не обязательно разделенными световыми сигналами, на самом деле инвариантен, т. е. не зависит от состояния относительного движения наблюдателей в разных инерциальных системах отсчета, что показывается с помощью однородности и изотропии пространства . Таким образом, искомое преобразование должно обладать свойством, которое:

$${\begin{aligned}&c^{2}(t_{2}-t_{1})^{2}-(x_{2}-x_{1})^{2}-(y_{2}-y_{1})^{2}-(z_{2}-z_{1})^{2}\\[6pt]={}&c^{2}(t_{2}'-t_{1}')^{2}-(x_{2}'-x_{1}')^{2}-(y_{2}'-y_{1}')^{2}-(z_{2}'-z_{1}')^{2}\quad {\text{(all events 1, 2)}}.\end{aligned}}$$

( Д2 )

где ( t , x , y , z ) — координаты пространства-времени, используемые для определения событий в одном кадре, а ( t ’, x ’, y ’, z ’) — координаты в другом кадре. Прежде всего заметим, что ( D2 ) выполняется, если произвольная четверка чисел b добавляется к событиям a ₁ и a ₂ . Такие преобразования называются перемещениями пространства-времени и далее здесь не рассматриваются. Затем можно заметить, что линейное решение, сохраняющее начало более простой задачи, решает и общую задачу:

$${\begin{aligned}&c^{2}t^{2}-x^{2}-y^{2}-z^{2}=c^{2}t'^{2}-x'^{2}-y'^{2}-z'^{2}\\[6pt]{\text{or}}\quad &c^{2}t_{1}t_{2}-x_{1}x_{2}-y_{1}y_{2}-z_{1}z_{2}=c^{2}t'_{1}t'_{2}-x'_{1}x'_{2}-y'_{1}y'_{2}-z'_{1}z'_{2}\end{aligned}}$$

( Д3 )

(решение, удовлетворяющее первой формуле, автоматически удовлетворяет и второй; см. поляризационное тождество ). Поиск решения более простой задачи — это всего лишь вопрос поиска в теории классических групп , сохраняющих билинейные формы различной сигнатуры. Первое уравнение в ( D3 ) можно записать более компактно как:

$$(a,a)=(a',a')\quad {\text{or}}\quad a\cdot a=a'\cdot a',$$

( Д4 )

где (·, ·) относится к билинейной форме сигнатуры (1, 3) на R ⁴ раскрывается формулой правой части в ( D3 ). Альтернативное обозначение, определенное справа, называется релятивистским скалярным произведением . Пространство-время математически рассматривается как R ⁴ известно как пространство Минковского M. наделенное этой билинейной формой , Таким образом, преобразование Лоренца является элементом группы O(1, 3) , группы Лоренца или, для тех, кто предпочитает другую метрическую сигнатуру , O(3, 1) (также называемой группой Лоренца). У одного есть:

$$(a,a)=(\Lambda a,\Lambda a)=(a',a'),\quad \Lambda \in \mathrm {O} (1,3),\quad a,a'\in M,$$

( Д5 )

что и есть сохранение билинейной формы ( D3 ), из чего следует (в силу линейности Λ и билинейности формы), что ( D2 ) выполняется. Элементами группы Лоренца являются вращения , повышения и их сочетания. Если учитывать сдвиги пространства-времени, то получается неоднородная группа Лоренца или группа Пуанкаре .

Общие сведения

Отношения между координатами пространства-времени со штрихом и без штриха представляют собой преобразования Лоренца , каждая координата в одной системе отсчета является линейной функцией всех координат в другой системе отсчета, а обратные функции представляют собой обратное преобразование. В зависимости от того, как кадры движутся относительно друг друга и как они ориентированы в пространстве относительно друг друга, в уравнения преобразования входят и другие параметры, описывающие направление, скорость и ориентацию.

Преобразования, описывающие относительное движение с постоянной (равномерной) скоростью и без вращения осей пространственных координат, называются бустами Лоренца или просто бустами , а параметром преобразования является относительная скорость между кадрами. Другой основной тип преобразования Лоренца - это вращение только в пространственных координатах, подобные ускорениям являются инерционными преобразованиями, поскольку относительного движения нет, рамки просто наклонены (а не вращаются непрерывно), и в этом случае величины, определяющие вращение, являются параметры преобразования (например, представление оси-угла или углы Эйлера и т. д.). Комбинация вращения и повышения представляет собой однородное преобразование , которое преобразует начало координат обратно в начало координат.

Полная группа Лоренца O(3, 1) также содержит специальные преобразования, которые не являются ни поворотами, ни ускорениями, а скорее отражениями в плоскости, проходящей через начало координат. Можно выделить два из них; пространственная инверсия , при которой пространственные координаты всех событий меняются местами, и временная инверсия , при которой временная координата каждого события меняет знак.

Ускорения не следует путать с простыми перемещениями в пространстве-времени; в этом случае системы координат просто смещаются и относительного движения нет. Однако они также считаются симметриями, обусловленными специальной теорией относительности, поскольку они оставляют пространственно-временной интервал неизменным. Комбинация вращения с ускорением, за которым следует сдвиг пространства-времени, представляет собой неоднородное преобразование Лоренца , элемент группы Пуанкаре, которую еще называют неоднородной группой Лоренца.

формулировка

Дополнительная информация: Выводы преобразований Лоренца.

Преобразование координат

Пространственно-временные координаты события, измеренные каждым наблюдателем в своей инерциальной системе отсчета (в стандартной конфигурации), показаны в облачках с текстом.
Вверху: кадр F ′ движется со скоростью v вдоль оси x кадра F .
Внизу: кадр F движется со скоростью − v вдоль оси x ′ кадра F ′ .

«Неподвижный» наблюдатель в системе координат F определяет события с координатами t , x , y , z . Другая система отсчета F ′ движется со скоростью v относительно F , и наблюдатель в этой «движущейся» системе отсчета F ′ определяет события с помощью координат t ′, x ′, y ′, z ′ .

Оси координат в каждом кадре параллельны ( оси x и x ' параллельны, оси y и y ' параллельны, а оси z и z ' параллельны), остаются взаимно перпендикулярными, а относительное движение происходит вдоль совпадающих xx ' оси. При t = t ′ = 0 начало обеих систем координат одинаковое: ( x, y, z ) = ( x ′, y ′, z ′) = (0, 0, 0) . Другими словами, время и положение на этом мероприятии совпадают. Если все это верно, то говорят, что системы координат находятся в стандартной конфигурации или синхронизированы .

Если наблюдатель в F записывает событие t , x , y , z , то наблюдатель в F ′ записывает то же событие с координатами

Повышение Лоренца ( x направление )

${\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\\x'&=\gamma \left(x-vt\right)\\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}$

где v — относительная скорость между кадрами в направлении x , c — скорость света , а

$$\gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}$$

(строчная гамма ) — фактор Лоренца .

Здесь v — параметр преобразования, для данного буста это постоянное число, но может принимать непрерывный диапазон значений. В используемой здесь установке положительная относительная скорость v > 0 — это движение вдоль положительных направлений осей xx ′ , нулевая относительная скорость v = 0 — отсутствие относительного движения, а отрицательная относительная скорость v < 0 — относительное движение вдоль отрицательных направлений оси xx ' . Величина относительной скорости v не может равняться или превышать c только субсветовые скорости — c < v < c , поэтому допускаются . Соответствующий диапазон γ составляет 1 ≤ ​​γ < ∞ .

Преобразования не определены, если v находится за пределами этих пределов. При скорости света ( v = c ) γ бесконечно, а быстрее света ( v > c ) γ — комплексное число , каждое из которых делает преобразования нефизическими. Пространственные и временные координаты являются измеримыми величинами и численно должны быть действительными числами.

В качестве активного преобразования наблюдатель в F' замечает, что координаты события «увеличиваются» в отрицательных направлениях осей xx ' из-за - v в преобразованиях. Это имеет эквивалентный эффект системы координат F', усиленной в положительных направлениях осей xx ' , в то время как событие не меняется и просто представляется в другой системе координат, пассивное преобразование .

Обратные отношения ( t , x , y , z через t ', x ', y ', z ' ) можно найти путем алгебраического решения исходного набора уравнений. Более эффективный способ — использовать физические принципы. Здесь F ′ — «неподвижный» кадр, а F — «движущийся» кадр. Согласно принципу относительности, не существует привилегированной системы отсчета, поэтому преобразования из F ' в F должны принимать точно такую ​​же форму, как преобразования из F в F ' . Единственная разница в том, что F движется со скоростью − v относительно F ′ (т. е. относительная скорость имеет ту же величину, но противоположно направлена). Таким образом, если наблюдатель в F ′ отмечает событие t ′, x ′, y ′, z ′ , то наблюдатель в F отмечает то же событие с координатами

Обратное усиление Лоренца ( x направление )

${\begin{aligned}t&=\gamma \left(t'+{\frac {vx'}{c^{2}}}\right)\\x&=\gamma \left(x'+vt'\right)\\y&=y'\\z&=z',\end{aligned}}$

а значение γ остается неизменным. Этот «трюк» простого изменения направления относительной скорости с сохранением ее величины и замены штрихованных и нештрихованных переменных всегда применим для нахождения обратного преобразования каждого повышения в любом направлении.

Иногда удобнее использовать β = v / c (строчная бета ) вместо v , так что

$${\begin{aligned}ct'&=\gamma \left(ct-\beta x\right)\,,\\x'&=\gamma \left(x-\beta ct\right)\,,\\\end{aligned}}$$

что гораздо яснее показывает симметрию преобразования. Из разрешенных диапазонов v и определения β следует −1 < β < 1 . Использование β и γ является стандартным во всей литературе.

Преобразования Лоренца также можно получить способом, напоминающим круговые вращения в трехмерном пространстве, с использованием гиперболических функций . Для повышения в направлении x результаты следующие:

Повышение Лоренца ( направление x с быстротой ζ )

${\begin{aligned}ct'&=ct\cosh \zeta -x\sinh \zeta \\x'&=x\cosh \zeta -ct\sinh \zeta \\y'&=y\\z'&=z\end{aligned}}$

где ζ (строчная дзета ) — параметр, называемый быстротой (используется множество других символов, включая θ, φ, φ, η, ψ, ξ ). Учитывая сильное сходство с поворотами пространственных координат в трехмерном пространстве в декартовых плоскостях xy, yz и zx, усиление Лоренца можно рассматривать как гиперболическое вращение координат пространства-времени в декартовых плоскостях xt, yt и zt. 4D пространство Минковского . Параметр ζ — это гиперболический угол поворота, аналогичный обычному углу кругового вращения. Это преобразование можно проиллюстрировать диаграммой Минковского .

Гиперболические функции возникают из разницы между квадратами времени и пространственных координат в пространственно-временном интервале, а не из суммы. Геометрическое значение гиперболических функций можно визуализировать, приняв x = 0 или ct = 0 в преобразованиях . Возводя в квадрат и вычитая результаты, можно получить гиперболические кривые постоянных значений координат, но изменяющихся ζ , что параметризует кривые по тождеству

$$\cosh ^{2}\zeta -\sinh ^{2}\zeta =1\,.$$

И наоборот, оси ct и x могут быть построены для переменных координат, но постоянного ζ . Определение

$$\tanh \zeta ={\frac {\sinh \zeta }{\cosh \zeta }}\,,$$

обеспечивает связь между постоянным значением быстроты и наклоном оси ct в пространстве-времени. Следствием этих двух гиперболических формул является тождество, соответствующее фактору Лоренца.

$$\cosh \zeta ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\zeta }}}\,.$$

Сравнивая преобразования Лоренца по относительной скорости и быстроте или используя приведенные выше формулы, связи между β , γ и ζ таковы:

$${\begin{aligned}\beta &=\tanh \zeta \,,\\\gamma &=\cosh \zeta \,,\\\beta \gamma &=\sinh \zeta \,.\end{aligned}}$$

Взятие обратного гиперболического тангенса дает быстроту

$$\zeta =\tanh ^{-1}\beta \,.$$

Поскольку −1 < β < 1 , отсюда следует −∞ < ζ < ∞ . Из соотношения между ζ и β положительная быстрота ζ > 0 — это движение вдоль положительных направлений осей xx ′ , нулевая быстрота ζ = 0 — отсутствие относительного движения, а отрицательная быстрота ζ < 0 — относительное движение вдоль отрицательных направлений оси. хх ' оси.

Обратные преобразования получаются путем замены величин со штрихом и без штриха для переключения систем координат и отрицания быстроты ζ → - ζ, поскольку это эквивалентно отрицанию относительной скорости. Поэтому,

Обратное усиление Лоренца ( направление x с быстротой ζ )

${\begin{aligned}ct&=ct'\cosh \zeta +x'\sinh \zeta \\x&=x'\cosh \zeta +ct'\sinh \zeta \\y&=y'\\z&=z'\end{aligned}}$

Обратные преобразования можно аналогичным образом визуализировать, рассмотрев случаи, когда x ′ = 0 и ct ′ = 0 .

До сих пор преобразования Лоренца применялись к одному событию . Если есть два события, между ними существует пространственное разделение и временной интервал. преобразований Лоренца следует Из линейности , что можно выбрать два значения пространственных и временных координат, к каждому применить преобразования Лоренца, а затем вычесть их, чтобы получить преобразования Лоренца разностей;

$${\begin{aligned}\Delta t'&=\gamma \left(\Delta t-{\frac {v\,\Delta x}{c^{2}}}\right)\,,\\\Delta x'&=\gamma \left(\Delta x-v\,\Delta t\right)\,,\end{aligned}}$$

с обратными отношениями

$${\begin{aligned}\Delta t&=\gamma \left(\Delta t'+{\frac {v\,\Delta x'}{c^{2}}}\right)\,,\\\Delta x&=\gamma \left(\Delta x'+v\,\Delta t'\right)\,.\end{aligned}}$$

где Δ ( дельта в верхнем регистре ) указывает на разницу величин; например, Δ x = x ₂ − x ₁ для двух значений координат x и так далее.

Эти преобразования различий, а не пространственных точек или моментов времени, полезны по ряду причин:

• в расчетах и ​​экспериментах измеряются или представляют интерес длины между двумя точками или интервалами времени (например, длина движущегося транспортного средства или время, необходимое для перемещения из одного места в другое),
• преобразования скорости можно легко получить, сделав разницу бесконечно малой и разделив уравнения, и повторив процесс для преобразования ускорения,
• если системы координат никогда не совпадают (т. е. не находятся в стандартной конфигурации), и если оба наблюдателя могут договориться о событии t ₀ , x ₀ , y ₀ , z ₀ в F и t ₀ ′, x ₀ ′, y ₀ ′ , z ₀ ′ в F ′ , то они могут использовать это событие в качестве начала координат, а разности координат пространства-времени — это разности между их координатами и этим началом координат, например, Δ x = x − x ₀ , Δ x ′ = x ′ − х ₀ ' и т. д.

Физические

Критическим требованием преобразований Лоренца является неизменность скорости света, факт, использованный при их выводе и содержащийся в самих преобразованиях. Если в F уравнение для импульса света вдоль направления x имеет вид x = ct , то в F ′ преобразования Лоренца дают x ′ = ct ′ , и наоборот, для любого − c < v < c .

Для относительных скоростей, намного меньших скорости света, преобразования Лоренца сводятся к преобразованию Галилея.

$${\begin{aligned}t'&\approx t\\x'&\approx x-vt\end{aligned}}$$

в соответствии с принципом соответствия . Иногда говорят, что нерелятивистская физика — это физика «мгновенного действия на расстоянии».

Три нелогичных, но правильных предсказания преобразований таковы:

Относительность одновременности

Предположим, что два события происходят вдоль оси x одновременно ( Δ t = 0 ) в F , но разделены ненулевым смещением Δ x . Тогда в F ′ мы находим, что $\Delta t'=\gamma {\frac {-v\,\Delta x}{c^{2}}}$, поэтому события больше не являются одновременными с точки зрения движущегося наблюдателя.

Замедление времени

находятся часы в состоянии покоя Предположим, что в F . Если временной интервал измеряется в одной и той же точке этого кадра, так что Δ x = 0 , то преобразования дают этот интервал в F ′ как Δ t ′ = γ Δ t . покоятся часы Обратно, предположим, что в F ′ . Если интервал измеряется в одной и той же точке этого кадра, так что Δ x ′ = 0 , то преобразования дают этот интервал в F по формуле Δ t = γ Δ t ′ . В любом случае, каждый наблюдатель измеряет временной интервал между тиканьями движущихся часов так, чтобы он был в γ раз длиннее , чем временной интервал между тиканьями его собственных часов.

Сокращение длины

находится стержень, Предположим, что в F выровненный вдоль оси x, длиной Δ x . В F ′ стержень движется со скоростью - v , поэтому его длину необходимо измерить, выполнив два одновременных ( Δ t ′ = 0 ) измерения на противоположных концах. В этих условиях обратное преобразование Лоренца показывает, что Δ x = γ Δ x ′ . В F поскольку стержень покоится в F. два измерения больше не происходят одновременно, но это не имеет значения , Таким образом, каждый наблюдатель измеряет расстояние между конечными точками движущегося стержня так, чтобы оно было в 1/ γ раз короче , чем конечные точки идентичного стержня, покоящегося в его собственной системе отсчета. Сокращение длины влияет на любую геометрическую величину, связанную с длиной, поэтому с точки зрения движущегося наблюдателя площади и объемы также будут уменьшаться в направлении движения.

Векторные преобразования

Дополнительная информация: Евклидов вектор и векторная проекция.

Наблюдатель в системе отсчета F наблюдает, что F ′ движется со скоростью v , а F ′ наблюдает, что F движется со скоростью − v . Координатные оси каждого кадра по-прежнему параллельны. и ортогональный. Вектор положения, измеренный в каждом кадре, разбивается на компоненты, параллельные и перпендикулярные вектору относительной скорости v .
Слева: Стандартная конфигурация. Справа: обратная конфигурация.

Использование векторов позволяет компактно выражать положения и скорости в произвольных направлениях. Одиночный импульс в любом направлении зависит от полного вектора относительной скорости v с величиной | в | = v , который не может быть равен или превышать c , так что 0 ≤ v < c .

Изменяются только время и координаты, параллельные направлению относительного движения, а координаты, перпендикулярные, — нет. Имея это в виду, разделите вектор пространственного положения r, измеренный в F , и r ′ , измеренный в F′ , каждый на компоненты, перпендикулярные (⊥) и параллельные (‖) v ,

$$\mathbf {r} =\mathbf {r} _{\perp }+\mathbf {r} _{\|}\,,\quad \mathbf {r} '=\mathbf {r} _{\perp }'+\mathbf {r} _{\|}'\,,$$

тогда преобразования

$${\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {\mathbf {r} _{\parallel }\cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}\right)\\\mathbf {r} _{\|}'&=\gamma (\mathbf {r} _{\|}-\mathbf {v} t)\\\mathbf {r} _{\perp }'&=\mathbf {r} _{\perp }\end{aligned}}$$

где · – скалярное произведение . Коэффициент Лоренца γ сохраняет свое определение для ускорения в любом направлении, поскольку он зависит только от величины относительной скорости. Определение β = v / c с величиной 0 ≤ β < 1 также используется некоторыми авторами.

Вводя единичный вектор n = v / v = β / β в направлении относительного движения, относительная скорость равна v = v n с величиной v и направлением n , а векторная проекция и отклонение дают соответственно

$$\mathbf {r} _{\parallel }=(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {r} _{\perp }=\mathbf {r} -(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n}$$

Накопление результатов дает полные преобразования,

Повышение Лоренца ( в направлении n с величиной v )

${\begin{aligned}t'&=\gamma \left(t-{\frac {v\mathbf {n} \cdot \mathbf {r} }{c^{2}}}\right)\,,\\\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} \,.\end{aligned}}$

Проекция и отклонение также применимы к r ′ . Для обратных преобразований поменяйте местами r и r ′ , чтобы переключить наблюдаемые координаты, и отмените относительную скорость v → − v (или просто единичный вектор n → − n, поскольку величина v всегда положительна), чтобы получить

Обратное усиление Лоренца ( в направлении n с величиной v )

${\begin{aligned}t&=\gamma \left(t'+{\frac {\mathbf {r} '\cdot v\mathbf {n} }{c^{2}}}\right)\,,\\\mathbf {r} &=\mathbf {r} '+(\gamma -1)(\mathbf {r} '\cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} +\gamma t'v\mathbf {n} \,,\end{aligned}}$

Единичный вектор имеет то преимущество, что упрощает уравнения для одного повышения, позволяет либо v, либо β, восстановить когда это удобно, а параметризация быстроты немедленно получается путем замены β и βγ . Для многократного буста это не удобно.

Векторное соотношение между относительной скоростью и быстротой:

$${\boldsymbol {\beta }}=\beta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh \zeta \,,$$

а «вектор быстроты» можно определить как

$${\boldsymbol {\zeta }}=\zeta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh ^{-1}\beta \,,$$

каждый из которых служит полезным сокращением в некоторых контекстах. Величина ζ — это абсолютное значение скаляра быстроты, ограниченное 0 ≤ ζ < ∞ , что соответствует диапазону 0 ≤ β < 1 .

Преобразование скоростей

Дополнительная информация: дифференциал функции и формула сложения скоростей.

Преобразование скоростей дает определение релятивистского сложения скоростей ⊕ , порядок векторов выбран так, чтобы отразить порядок сложения скоростей; сначала v (скорость F' относительно F), затем u ' (скорость X относительно F'), чтобы получить u = v ⊕ u ' (скорость X относительно F).

Определение координатных скоростей и фактора Лоренца по формуле

$\mathbf {u} ={\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\,,\quad \mathbf {u} '={\frac {d\mathbf {r} '}{dt'}}\,,\quad \gamma _{\mathbf {v} }={\frac {1}{\sqrt {1-{\dfrac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }{c^{2}}}}}}$

взятие дифференциалов по координатам и времени векторных преобразований, а затем деление уравнений приводит к

$\mathbf {u} '={\frac {1}{1-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}\left[{\frac {\mathbf {u} }{\gamma _{\mathbf {v} }}}-\mathbf {v} +{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\gamma _{\mathbf {v} }}{\gamma _{\mathbf {v} }+1}}\left(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} \right)\mathbf {v} \right]$

Скорости u и u ′ — это скорость некоторого массивного объекта. Они также могут быть для третьей инерциальной системы отсчета (скажем F »), и в этом случае они должны быть постоянными . Обозначим любой объект через X. Тогда X движется со скоростью u относительно F или, что то же самое, со скоростью u ' относительно F', в свою очередь F' движется со скоростью v относительно F. Обратные преобразования можно получить аналогичным образом: или, как и в случае с координатами положения, поменяйте местами u и u ′ и измените v на − v .

Преобразование скорости полезно в звездной аберрации , эксперименте Физо и релятивистском эффекте Доплера .

Преобразования ускорения Лоренца можно получить аналогичным образом, взяв дифференциалы векторов скорости и разделив их на дифференциал времени.

Преобразование других величин

В общем, для данных четырех величин A и Z = ( Z _x , Z _y , Z _z ) и их усиленных по Лоренцу аналогов A ′ и Z ′ = ( Z ′ _x , Z ′ _y , Z ′ _z ) соотношение форма

$$A^{2}-\mathbf {Z} \cdot \mathbf {Z} ={A'}^{2}-\mathbf {Z} '\cdot \mathbf {Z} '$$

подразумевает преобразование величин при преобразованиях Лоренца, аналогично преобразованию координат пространства-времени;

$${\begin{aligned}A'&=\gamma \left(A-{\frac {v\mathbf {n} \cdot \mathbf {Z} }{c}}\right)\,,\\\mathbf {Z} '&=\mathbf {Z} +(\gamma -1)(\mathbf {Z} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -{\frac {\gamma Av\mathbf {n} }{c}}\,.\end{aligned}}$$

Разложение Z (и Z ′ ) на компоненты, перпендикулярные и параллельные v , точно такое же, как и для вектора положения, как и процесс получения обратных преобразований (обмен ( A , Z ) и ( A ′, Z ′) переключить наблюдаемые величины и изменить направление относительного движения на противоположное путем замены n ↦ − n ).

Величины ( A , Z ) вместе составляют четырехвектор , где A — «времяподобный компонент», а Z — «пространственноподобный компонент». Примеры A и Z :

Четырехвекторный	А	С
Позиция четырехвекторная	Время (умноженное на с ), кт	Вектор положения , r
Четырехимпульсный	Энергия (деленная на c ), E / c	Импульс , п
Четырехволновой вектор	угловая частота (деленная на c ), ω / c	волновой вектор , к
Четырехспиновый	(Без имени), с т	Вращение , с
Четырехточечный	Плотность заряда (умноженная на c ), ρc	Плотность тока , Дж
Электромагнитный четырехпотенциальный	Электрический потенциал (деленный на c ), φ / c	Магнитный векторный потенциал , А

Для данного объекта (например, частицы, жидкости, поля, материала), если A или Z соответствуют свойствам, специфичным для объекта, таким как его плотность заряда , плотность массы , спин и т. д., его свойства могут быть зафиксированы в системе покоя этот объект. Тогда преобразования Лоренца придают соответствующие свойства в системе отсчета, движущейся относительно объекта с постоянной скоростью. Это нарушает некоторые представления, которые считаются само собой разумеющимися в нерелятивистской физике. Например, энергия E объекта является скаляром в нерелятивистской механике, но не в релятивистской механике, поскольку энергия изменяется при преобразованиях Лоренца; ее значение различно для различных инерциальных систем отсчета. В системе покоя объекта он имеет энергию покоя и нулевой импульс. В усиленном кадре его энергия другая, и кажется, что он имеет импульс. Точно так же в нерелятивистской квантовой механике спин частицы является постоянным вектором, но в релятивистской квантовой механике спин s зависит от относительного движения. В системе покоя частицы псевдовектор спина можно зафиксировать как ее обычный нерелятивистский спин с нулевой времениподобной величиной. st _. , однако усиленный наблюдатель увидит ненулевой времениподобный компонент и измененный спин

Не все величины инвариантны в форме, показанной выше, например, орбитальный момент L не имеет времениподобной величины, равно как и электрическое поле E , и магнитное поле B. угловой Определение углового момента таково: L = r × p , а в усиленной системе отсчета измененный угловой момент равен L ′ = r ′ × p ′ . Применение этого определения с использованием преобразований координат и импульса приводит к преобразованию углового момента. Оказывается L преобразуется с другой векторной величиной N = ( E / c ² ) r − t p, связанное с ускорением, см. в разделе «Релятивистский угловой момент» подробности . В случае полей E и B преобразования невозможно получить напрямую с помощью векторной алгебры. Сила Лоренца является определением этих полей, и в F это F = q ( E + v × B ) , а в F ′ это F ′ = q ( E ′ + v ′ × B ′) . Метод эффективного получения преобразований электромагнитного поля, который также иллюстрирует единицы измерения электромагнитного поля, использует тензорную алгебру, приведенную ниже .

формулировка

Основная статья: группа Лоренца

Дополнительная информация: Матрица (математика) , матричное произведение , линейная алгебра и формализмы вращения в трех измерениях.

Везде заглавные буквы, выделенные курсивом и нежирные, представляют собой матрицы 4×4, а буквы, выделенные не курсивом, — это матрицы 3×3.

Однородная группа Лоренца

Запись координат в вектор-столбцах и метрики Минковского η в виде квадратной матрицы

$$X'={\begin{bmatrix}c\,t'\\x'\\y'\\z'\end{bmatrix}}\,,\quad \eta ={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\,,\quad X={\begin{bmatrix}c\,t\\x\\y\\z\end{bmatrix}}$$

пространственно-временной интервал принимает вид (верхний индекс T обозначает транспонирование )

$$X\cdot X=X^{\mathrm {T} }\eta X={X'}^{\mathrm {T} }\eta {X'}$$

и инвариантен относительно преобразования Лоренца

$$X'=\Lambda X$$

где Λ — квадратная матрица, которая может зависеть от параметров.

Набор Лоренца всех преобразований $\Lambda$ в этой статье обозначено ${\mathcal {L}}$. Этот набор вместе с умножением матриц образует группу , в данном контексте известную как группа Лоренца . Кроме того, приведенное выше выражение X · X представляет собой квадратичную форму сигнатуры (3,1) в пространстве-времени, а группа преобразований, которая оставляет эту квадратичную форму инвариантной, представляет собой неопределенную ортогональную группу O(3,1), группу Ли . Другими словами, группа Лоренца равна O(3,1). Как представлено в этой статье, любые упомянутые группы Ли являются матричными группами Ли . В этом контексте операция композиции сводится к умножению матриц .

Из инвариантности пространственно-временного интервала следует

$$\eta =\Lambda ^{\mathrm {T} }\eta \Lambda$$

и это матричное уравнение содержит общие условия преобразования Лоренца, обеспечивающие инвариантность пространственно-временного интервала. Взяв определитель уравнения с помощью правила произведения дает немедленно

$$\left[\det(\Lambda )\right]^{2}=1\quad \Rightarrow \quad \det(\Lambda )=\pm 1$$

Записав метрику Минковского в виде блочной матрицы, а преобразование Лоренца в самом общем виде:

$$\eta ={\begin{bmatrix}-1&0\\0&\mathbf {I} \end{bmatrix}}\,,\quad \Lambda ={\begin{bmatrix}\Gamma &-\mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\\-\mathbf {b} &\mathbf {M} \end{bmatrix}}\,,$$

выполнение умножения блочной матрицы позволяет получить общие условия на Γ, a , b , M для обеспечения релятивистской инвариантности. Не так уж много информации можно извлечь напрямую из всех условий, однако один из результатов

$$\Gamma ^{2}=1+\mathbf {b} ^{\mathrm {T} }\mathbf {b}$$

полезен; б ^Т b ≥ 0 всегда, поэтому отсюда следует, что

$$\Gamma ^{2}\geq 1\quad \Rightarrow \quad \Gamma \leq -1\,,\quad \Gamma \geq 1$$

Отрицательное неравенство может быть неожиданным, поскольку Γ умножает временную координату, и это влияет на временную симметрию . Если выполнено положительное равенство, то Γ является фактором Лоренца.

Определитель и неравенство обеспечивают четыре способа классификации ( преобразований Лоренца ) здесь для краткости LT . Любая конкретная ЛП имеет только один знак определителя и только одно неравенство. Существует четыре набора, которые включают в себя все возможные пары, заданные пересечениями ( «n»-образный символ, означающий «и») этих классифицирующих наборов.

Пересечение, ∩	Антихронные (или неортохронные) LT ${\mathcal {L}}^{\downarrow }=\{\Lambda \,:\,\Gamma \leq -1\}$	Ортохронные LT ${\mathcal {L}}^{\uparrow }=\{\Lambda \,:\,\Gamma \geq 1\}$
Правильные LT ${\mathcal {L}}_{+}=\{\Lambda \,:\,\det(\Lambda )=+1\}$	Правильные антихронные LT ${\mathcal {L}}_{+}^{\downarrow }={\mathcal {L}}_{+}\cap {\mathcal {L}}^{\downarrow }$	Правильные ортохронные LT ${\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }={\mathcal {L}}_{+}\cap {\mathcal {L}}^{\uparrow }$
Неправильные LT ${\mathcal {L}}_{-}=\{\Lambda \,:\,\det(\Lambda )=-1\}$	Неправильные антихронные LT ${\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }={\mathcal {L}}_{-}\cap {\mathcal {L}}^{\downarrow }$	Неправильные ортохронные LT ${\mathcal {L}}_{-}^{\uparrow }={\mathcal {L}}_{-}\cap {\mathcal {L}}^{\uparrow }$

где «+» и «-» обозначают знак определителя, а «↑» для ≥ и «↓» для ≤ обозначают неравенства.

Полная группа Лоренца распадается на объединение («u»-образный символ, означающий «или») четырех непересекающихся множеств .

$${\mathcal {L}}={\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }\cup {\mathcal {L}}_{-}^{\uparrow }\cup {\mathcal {L}}_{+}^{\downarrow }\cup {\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }$$

Подгруппа замкнута группы должна быть той же операцией группы (здесь умножение матриц). Другими словами, для двух преобразований Лоренца Λ и L из определенной подгруппы составные преобразования Лоренца Λ L и L Λ должны находиться в той же подгруппе, что и Λ и L . Это не всегда так: композиция двух антихронных преобразований Лоренца ортохронна, а композиция двух несобственных преобразований Лоренца — собственная. Другими словами, пока множества ${\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }$, ${\mathcal {L}}_{+}$, ${\mathcal {L}}^{\uparrow }$, и ${\mathcal {L}}_{0}={\mathcal {L}}_{+}^{\uparrow }\cup {\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }$ все образуют подгруппы, множества, содержащие несобственные и/или антихронные преобразования без достаточного количества собственных ортохронных преобразований (например, ${\mathcal {L}}_{+}^{\downarrow }$, ${\mathcal {L}}_{-}^{\downarrow }$, ${\mathcal {L}}_{-}^{\uparrow }$) не образуют подгрупп.

Правильные преобразования

Если лоренц-ковариантный 4-вектор измерен в одной инерциальной системе отсчета с результатом $X$, и то же измерение, выполненное в другой инерциальной системе отсчета (с той же ориентацией и началом координат), дает результат $X'$, два результата будут связаны соотношением

$$X'=B(\mathbf {v} )X$$

где матрица повышения $B(\mathbf {v} )$ представляет собой преобразование Лоренца без вращения между незаштрихованными и заштрихованными кадрами и $\mathbf {v}$ - это скорость заштрихованной системы координат, если смотреть со стороны незаштрихованной системы координат. Матрица имеет вид

$$B(\mathbf {v} )={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma v_{x}/c&-\gamma v_{y}/c&-\gamma v_{z}/c\\-\gamma v_{x}/c&1+(\gamma -1){\dfrac {v_{x}^{2}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{x}v_{y}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{x}v_{z}}{v^{2}}}\\-\gamma v_{y}/c&(\gamma -1){\dfrac {v_{y}v_{x}}{v^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {v_{y}^{2}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{y}v_{z}}{v^{2}}}\\-\gamma v_{z}/c&(\gamma -1){\dfrac {v_{z}v_{x}}{v^{2}}}&(\gamma -1){\dfrac {v_{z}v_{y}}{v^{2}}}&1+(\gamma -1){\dfrac {v_{z}^{2}}{v^{2}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma {\vec {\beta }}^{T}\\-\gamma {\vec {\beta }}&I+(\gamma -1){\dfrac {{\vec {\beta }}{\vec {\beta }}^{T}}{\beta ^{2}}}\end{bmatrix}},$$

где ${\textstyle v={\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}}}}$ - величина скорости и ${\textstyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$ является фактором Лоренца. Эта формула представляет собой пассивное преобразование, поскольку описывает, как координаты измеряемой величины изменяются от незаштрихованной системы к штрихованной системе координат. Активное преобразование определяется выражением $B(-\mathbf {v} )$.

Если кадр F ' увеличивается со скоростью u относительно кадра F , а другой кадр F ' увеличивается со скоростью v относительно F ' , то отдельные повышения будут

$$X''=B(\mathbf {v} )X'\,,\quad X'=B(\mathbf {u} )X$$

и композиция двух бустов соединяет координаты в F " и F ,

$$X''=B(\mathbf {v} )B(\mathbf {u} )X\,.$$

Последовательные преобразования действуют слева. Если u и v коллинеарны ( параллельны или антипараллельны вдоль одной и той же линии относительного движения), матрицы повышения коммутируют : B ( v ) B ( u ) = B ( u ) B ( v ) . Это составное преобразование является еще одним усилением B ( w ) , где w коллинеарно u и v .

Если u и v не коллинеарны, а направлены в разные стороны, ситуация существенно усложняется. Повышение Лоренца в разных направлениях не коммутирует: B ( v ) B ( u ) и B ( u ) B ( v ) не равны. Хотя каждая из этих композиций не является единичным повышением, каждая композиция по-прежнему является преобразованием Лоренца, поскольку сохраняет пространственно-временной интервал. Оказывается, композиция любых двух усилений Лоренца эквивалентна усилению, за которым или которому предшествует вращение пространственных координат, в форме R ( ρ ) B ( w ) или B ( w ) R ( ρ ) . w переменные и w — составные скорости , а ρ и ρ — параметры вращения (например, оси-угла , углы Эйлера и т. д.). Вращение в форме блочной матрицы просто

$$\quad R({\boldsymbol {\rho }})={\begin{bmatrix}1&0\\0&\mathbf {R} ({\boldsymbol {\rho }})\end{bmatrix}}\,,$$

где R ( ρ ) — матрица трехмерного вращения , которая вращает любой трехмерный вектор в одном смысле (активное преобразование) или, что эквивалентно, систему координат в противоположном смысле (пассивное преобразование). Непросто и связать w и ρ (или и ρ ) с исходными параметрами повышения u w v . В составе бустов матрица R называется вращением Вигнера и порождает прецессию Томаса . В этих статьях приводятся явные формулы для составных матриц преобразования, включая выражения для w , ρ , w , ρ .

В этой статье представление оси-угла используется для ρ . Вращение происходит вокруг оси в направлении единичного вектора e на угол θ (положительный против часовой стрелки, отрицательный по часовой стрелке, согласно правилу правой руки ). «Вектор оси-угла»

$${\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {e}$$

будет служить полезным сокращением.

Сами по себе пространственные вращения также являются преобразованиями Лоренца, поскольку они оставляют пространственно-временной интервал неизменным. Как и ускорения, последовательные вращения вокруг разных осей не коммутируют. В отличие от усилений, комбинация любых двух вращений эквивалентна одному вращению. Некоторые другие сходства и различия между матрицами повышения и вращения включают в себя:

• inverses : B ( v ) ⁻¹ = B (− v ) (относительное движение в противоположном направлении) и R ( θ ) ⁻¹ = R (− θ ) (вращение в обратную сторону вокруг той же оси)
• тождественное преобразование для отсутствия относительного движения/вращения: B ( 0 ) = R ( 0 ) = I
• единицы определитель : det( B ) = det( R ) = +1 . Это свойство делает их правильными преобразованиями.
• симметрия матрицы : B симметричен (равен транспонированию ), а R несимметричен, но ортогонален (транспонирован равняется обратному , R ^Т = Р ⁻¹ ).

Наиболее общее правильное преобразование Лоренца Λ( v , θ ) включает в себя одновременно повышение и вращение и является несимметричной матрицей. В особых случаях Λ( 0 , θ ) = R ( θ ) и Λ ( v , 0 ) = B ( v ) . Явный вид общего преобразования Лоренца записывать громоздко и здесь приводиться не будет. Тем не менее, выражения в замкнутой форме для матриц преобразования будут приведены ниже с использованием теоретико-групповых аргументов. Будет проще использовать параметризацию быстроты для повышения, и в этом случае пишут Λ( ζ , θ ) и B ( ζ ) .

Группа Ли СО ⁺ (3,1)

Набор трансформаций

$$\{B({\boldsymbol {\zeta }}),R({\boldsymbol {\theta }}),\Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})\}$$

с умножением матриц, поскольку операция композиции образует группу, называемую «ограниченной группой Лоренца», и представляет собой специальную неопределенную ортогональную группу SO. ⁺ (3,1). (Знак плюс указывает, что сохраняется ориентация временного измерения).

Для простоты взгляните на бесконечно малое усиление Лоренца в направлении x (исследование повышения в любом другом направлении или вращения вокруг любой оси следует идентичной процедуре). Бесконечно малое повышение - это небольшое повышение, отличающееся от идентичности, полученное путем разложения Тейлора матрицы повышения до первого порядка относительно ζ = 0 ,

$$B_{x}=I+\zeta \left.{\frac {\partial B_{x}}{\partial \zeta }}\right|_{\zeta =0}+\cdots$$

где не показанные члены более высокого порядка пренебрежимо малы, поскольку ζ мало, а B _x — это просто матрица повышения в направлении x . Производная матрицы — это матрица производных (элементов по одной и той же переменной), и понятно, что производные сначала находятся, а затем оцениваются при ζ = 0 ,

$$\left.{\frac {\partial B_{x}}{\partial \zeta }}\right|_{\zeta =0}=-K_{x}\,.$$

На данный момент K _x определяется этим результатом (его значение будет объяснено позже). В пределе бесконечного числа бесконечно малых шагов конечное преобразование буста в виде матричной экспоненты. получается

$$B_{x}=\lim _{N\to \infty }\left(I-{\frac {\zeta }{N}}K_{x}\right)^{N}=e^{-\zeta K_{x}}$$

где предельное определение экспоненты использовалось (см. также характеристики экспоненциальной функции ). В более общем плане

$$B({\boldsymbol {\zeta }})=e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} }\,,\quad R({\boldsymbol {\theta }})=e^{{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} }\,.$$

Вектор оси-угла θ и вектор быстроты ζ представляют собой шесть непрерывных переменных, которые составляют параметры группы (в этом конкретном представлении), а генераторами группы являются K = ( K _x , K _y , K _z ) и J = ( J _x , J _y , J _z ) , каждые векторы матриц с явными формами

$${\begin{alignedat}{3}K_{x}&={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad &K_{y}&={\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad &K_{z}&={\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\end{bmatrix}}\\[10mu]J_{x}&={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\\\end{bmatrix}}\,,\quad &J_{y}&={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\end{bmatrix}}\,,\quad &J_{z}&={\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}\end{alignedat}}$$

Все они определяются аналогично K _x выше, хотя знаки минус в повышающих генераторах являются обычными. Физически генераторы группы Лоренца соответствуют важным симметриям в пространстве-времени: J — генераторы вращения , соответствующие угловому моменту , а K — буст-генераторы , соответствующие движению системы в пространстве-времени. Производная любой гладкой кривой C ( t ) с C (0) = I в группе, зависящей от некоторого параметра группы t относительно этого параметра группы, оцененного при t = 0 , служит определением соответствующего генератора группы G , и это отражает бесконечно малую трансформацию от идентичности. Гладкую кривую всегда можно рассматривать как экспоненту, поскольку экспонента всегда плавно отображает G обратно в группу через t → exp( tG ) для всех t ; эта кривая снова даст G при дифференцировании при t = 0 .

Разложение экспонент в ряд Тейлора дает

$$B({\boldsymbol {\zeta }})=I-\sinh \zeta (\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )+(\cosh \zeta -1)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )^{2}$$

$$R({\boldsymbol {\theta }})=I+\sin \theta (\mathbf {e} \cdot \mathbf {J} )+(1-\cos \theta )(\mathbf {e} \cdot \mathbf {J} )^{2}\,.$$

которые компактно воспроизводят матрицы повышения и вращения, как указано в предыдущем разделе.

Было заявлено, что общее собственное преобразование Лоренца является продуктом ускорения и вращения. На бесконечно малом уровне произведение

$${\begin{aligned}\Lambda &=(I-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +\cdots )(I+{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} +\cdots )\\&=(I+{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} +\cdots )(I-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +\cdots )\\&=I-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} +\cdots \end{aligned}}$$

является коммутативным, поскольку требуются только линейные члены (продукты типа ( θ · J )( ζ · K ) и ( ζ · K )( θ · J ) считаются членами более высокого порядка и ими можно пренебречь). Предельный переход, как и раньше, приводит к конечному преобразованию в виде экспоненты

$$\Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})=e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} }.$$

Обратное также верно, но разложение конечного общего преобразования Лоренца на такие множители нетривиально. В частности,

$$e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} }\neq e^{-{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} }e^{{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} },$$

потому что генераторы не коммутируют. Описание того, как найти факторы общего преобразования Лоренца через повышение и вращение в принципе (это обычно не дает вразумительного выражения в терминах генераторов J и K ), см. Вращение Вигнера . Если, с другой стороны, разложение дается по образующим и нужно найти произведение по образующим, то формула Бейкера – Кэмпбелла – Хаусдорфа применяется .

Алгебра Ли so(3,1)

Генераторы Лоренца можно складывать или умножать на действительные числа, чтобы получить больше генераторов Лоренца. Другими словами, совокупность всех генераторов Лоренца

$$V=\{{\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} \}$$

вместе с операциями обычного сложения матриц и умножения матрицы на число образует векторное пространство над действительными числами. Генераторы J _x , J _y , J _z , K _x , K _y , K _z образуют базисный набор V , а компоненты векторов оси-угла и быстроты θ _x , θ _y , θ _z , ζ _x , ζ _y , ζ _z , — координаты генератора Лоренца относительно этого базиса.

Три коммутационных соотношения генераторов Лоренца:

$$[J_{x},J_{y}]=J_{z}\,,\quad [K_{x},K_{y}]=-J_{z}\,,\quad [J_{x},K_{y}]=K_{z}\,,$$

где скобка [ A , B ] = AB − BA известна как коммутатор , а другие отношения могут быть найдены путем циклических перестановок компонентов x, y, z (т.е. замены x на y, y на z и z на х, повтор).

Эти коммутационные соотношения и векторное пространство образующих удовлетворяют определению алгебры Ли. ${\mathfrak {so}}(3,1)$. Таким образом, алгебра Ли определяется как векторное пространство V над полем чисел и с бинарной операцией [ , ] (в данном контексте называемой скобкой Ли ) над элементами векторного пространства, удовлетворяющей аксиомам билинейности , альтернация и тождество Якоби . Здесь операция [, ] — это коммутатор, который удовлетворяет всем этим аксиомам, векторное пространство — это набор генераторов Лоренца V, как указано ранее, а поле — это набор действительных чисел.

Связь терминологии, используемой в математике и физике: Генератор группы — это любой элемент алгебры Ли. Групповой параметр — это компонента координатного вектора, представляющая произвольный элемент алгебры Ли относительно некоторого базиса. Таким образом, базис — это набор образующих, являющийся базисом алгебры Ли в обычном смысле векторного пространства.

Экспоненциальное отображение алгебры Ли в группу Ли,

$$\exp \,:\,{\mathfrak {so}}(3,1)\to \mathrm {SO} (3,1),$$

обеспечивает взаимно однозначное соответствие между достаточно малыми окрестностями начала алгебры Ли и окрестностями единичного элемента группы Ли. В случае группы Лоренца экспоненциальное отображение — это просто матричная экспонента . В глобальном масштабе экспоненциальное отображение не является взаимно однозначным, но в случае группы Лоренца оно сюръективно (онто). Следовательно, любой групповой элемент в компоненте связности тождества может быть выражен как экспонента элемента алгебры Ли.

Неправильные преобразования

Преобразования Лоренца также включают инверсию четности.

$$P={\begin{bmatrix}1&0\\0&-\mathbf {I} \end{bmatrix}}$$

что сводит на нет только все пространственные координаты и обращение времени

$$T={\begin{bmatrix}-1&0\\0&\mathbf {I} \end{bmatrix}}$$

что отменяет только временную координату, поскольку эти преобразования оставляют пространственно-временной интервал неизменным. Здесь I — трехмерная единичная матрица . Оба они симметричны, являются своими обратными (см. инволюцию (математика) ), и каждый имеет определитель -1. Это последнее свойство делает их неправильными преобразованиями.

Если Λ — собственное ортохронное преобразование Лоренца, то T Λ — несобственное антихронное, P Λ — несобственное ортохронное и TP Λ = PT Λ — собственное антихронное.

Неоднородная группа Лоренца

Две другие пространственно-временные симметрии не были учтены. Чтобы пространственно-временной интервал был инвариантным, его можно показать что необходимо и достаточно, чтобы преобразование координат имело вид

$$X'=\Lambda X+C$$

где C — постоянный столбец, содержащий переводы во времени и пространстве. Если C ≠ 0, это неоднородное преобразование Лоренца или преобразование Пуанкаре . Если C = 0, это однородное преобразование Лоренца . Преобразования Пуанкаре в этой статье далее не рассматриваются.

Тензорная

Основная статья: Теория представлений группы Лоренца

Используемые обозначения см. в исчислении Риччи .

Контравариантные векторы

Записав общее матричное преобразование координат в виде матричного уравнения

$${\begin{bmatrix}{x'}^{0}\\{x'}^{1}\\{x'}^{2}\\{x'}^{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\Lambda ^{0}}_{0}&{\Lambda ^{0}}_{1}&{\Lambda ^{0}}_{2}&{\Lambda ^{0}}_{3}\\{\Lambda ^{1}}_{0}&{\Lambda ^{1}}_{1}&{\Lambda ^{1}}_{2}&{\Lambda ^{1}}_{3}\\{\Lambda ^{2}}_{0}&{\Lambda ^{2}}_{1}&{\Lambda ^{2}}_{2}&{\Lambda ^{2}}_{3}\\{\Lambda ^{3}}_{0}&{\Lambda ^{3}}_{1}&{\Lambda ^{3}}_{2}&{\Lambda ^{3}}_{3}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x^{0}\\x^{1}\\x^{2}\\x^{3}\end{bmatrix}}$$

позволяет преобразовывать другие физические величины, которые невозможно выразить в виде четырехвекторов; например, тензоры или спиноры любого порядка в 4-мерном пространстве-времени, которые необходимо определить. В соответствующих обозначениях тензорного индекса приведенное выше матричное выражение имеет вид

$${x'}^{\nu }={\Lambda ^{\nu }}_{\mu }x^{\mu },$$

где нижние и верхние индексы обозначают ковариантные и контравариантные компоненты соответственно, и соглашение о суммировании применяется . Стандартным соглашением является использование греческих индексов, которые принимают значение 0 для компонентов времени и 1, 2, 3 для компонентов пространства, тогда как латинские индексы просто принимают значения 1, 2, 3 для пространственных компонентов (противоположное для Ландау и Лифшиц). Обратите внимание, что первый индекс (читается слева направо) соответствует в матричной записи индексу строки . Второй индекс соответствует индексу столбца.

Матрица преобразования универсальна для всех четырехвекторов , а не только для четырехмерных координат пространства-времени. Если A — любой четырехвектор, то в тензорных индексных обозначениях

$${A'}^{\nu }={\Lambda ^{\nu }}_{\mu }A^{\mu }\,.$$

Альтернативно, пишут

$$A^{\nu '}={\Lambda ^{\nu '}}_{\mu }A^{\mu }\,.$$

в котором индексы со штрихом обозначают индексы A в штрихованном кадре. Для общего n -компонентного объекта можно написать

$${X'}^{\alpha }={\Pi (\Lambda )^{\alpha }}_{\beta }X^{\beta }\,,$$

где Π — подходящее представление группы Лоренца , матрица размера n × n для каждого Λ . В этом случае индексы не следует рассматривать как индексы пространства-времени (иногда называемые индексами Лоренца), и они имеют значения от 1 до n . Например, если X — биспинор , то индексы называются индексами Дирака .

Ковариантные векторы

Существуют также векторные величины с ковариантными индексами. Они обычно получаются из соответствующих им объектов с контравариантными индексами посредством операции понижения индекса ; например,

$$x_{\nu }=\eta _{\mu \nu }x^{\mu },$$

где η — метрический тензор . (Связанная статья также предоставляет дополнительную информацию о том, что на самом деле представляет собой операция повышения и понижения индексов с математической точки зрения.) Обратное это преобразование определяется выражением

$$x^{\mu }=\eta ^{\mu \nu }x_{\nu },$$

где, если рассматривать его в виде матрицы, η ^{примечание} является обратным к η _µν . Дело в том, что η ^{примечание} знак равно η _μν . Это называется повышением индекса . Чтобы преобразовать ковариантный вектор A _µ , сначала повысьте его индекс, затем преобразуйте его по тому же правилу, что и для контравариантных 4 -векторов, затем, наконец, понизьте индекс;

$${A'}_{\nu }=\eta _{\rho \nu }{\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }\eta ^{\mu \sigma }A_{\mu }.$$

Но

$$\eta _{\rho \nu }{\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }\eta ^{\mu \sigma }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu },$$

То есть это ( μ , ν ) -компонента обратного преобразования Лоренца. Определяют (в виде обозначений),

$${\Lambda _{\nu }}^{\mu }\equiv {\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu },$$

и можно в этой записи написать

$${A'}_{\nu }={\Lambda _{\nu }}^{\mu }A_{\mu }.$$

Теперь о тонкости. Подразумеваемое суммирование в правой части

$${A'}_{\nu }={\Lambda _{\nu }}^{\mu }A_{\mu }={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu }A_{\mu }$$

пробегает индекс строки матрицы, представляющей Λ ⁻¹ . Таким образом, с точки зрения матриц это преобразование следует рассматривать как обратную транспозицию Λ , действующую на вектор-столбец A _µ . То есть в чисто матричной записи

$$A'=\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mathrm {T} }A.$$

Это означает, что ковариантные векторы (считающиеся матрицами-столбцами) преобразуются в соответствии с двойственным представлением стандартного представления группы Лоренца. Это понятие обобщается на общие представления, просто замените Λ на Π(Λ) .

Тензоры

Если A и B — линейные операторы в векторных пространствах и V , то линейный оператор A ⊗ B может быть определен на тензорном произведении U U и V , обозначенном U ⊗ V согласно

$(A\otimes B)(u\otimes v)=Au\otimes Bv,\qquad u\in U,v\in V,u\otimes v\in U\otimes V.$               (Т1)

Отсюда сразу ясно, что если u и v — четырехвекторы в V , то u ⊗ v ∈ T ₂ V ≡ V ⊗ V преобразуется как

$u\otimes v\rightarrow \Lambda u\otimes \Lambda v={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }u^{\nu }\otimes {\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }v^{\sigma }={\Lambda ^{\mu }}_{\nu }{\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }u^{\nu }\otimes v^{\sigma }\equiv {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }{\Lambda ^{\rho }}_{\sigma }w^{\nu \sigma }.$               (Т2)

На втором этапе используется билинейность тензорного произведения, а на последнем шаге определяется 2-тензор на компонентной форме, или, скорее, он просто переименовывает тензор u ⊗ v .

Эти наблюдения очевидным образом обобщаются на большее количество факторов, и, используя тот факт, что общий тензор в векторном пространстве V можно записать как сумму коэффициентов (компонент!), умноженных на тензорные произведения базисных векторов и базисных ковекторов, можно прийти к закон преобразования для любой тензорной величины T . Это дано

$T_{\theta '\iota '\cdots \kappa '}^{\alpha '\beta '\cdots \zeta '}={\Lambda ^{\alpha '}}_{\mu }{\Lambda ^{\beta '}}_{\nu }\cdots {\Lambda ^{\zeta '}}_{\rho }{\Lambda _{\theta '}}^{\sigma }{\Lambda _{\iota '}}^{\upsilon }\cdots {\Lambda _{\kappa '}}^{\zeta }T_{\sigma \upsilon \cdots \zeta }^{\mu \nu \cdots \rho },$               (Т3)

где Λ _x′ ^п определено выше. Эту форму обычно можно свести к форме для общих n -компонентных объектов, приведенной выше, с одной матрицей ( Π(Λ) ), работающей с векторами-столбцами. Эта последняя форма иногда предпочтительнее; например, для тензора электромагнитного поля.

Трансформация электромагнитного поля

Лоренцево усиление электрического заряда, заряд покоится то в одной, то в другой системе отсчета.

Основная статья: Электромагнитный тензор

Дополнительная информация: классический электромагнетизм и специальная теория относительности.

Преобразования Лоренца также можно использовать, чтобы проиллюстрировать, что магнитное поле B и электрическое поле E являются просто разными аспектами одной и той же силы — электромагнитной силы , как следствие относительного движения между электрическими зарядами и наблюдателями. Тот факт, что электромагнитное поле проявляет релятивистские эффекты, становится очевидным, если провести простой мысленный эксперимент.

• Наблюдатель измеряет заряд в состоянии покоя в системе отсчета F. Наблюдатель обнаружит статическое электрическое поле. Поскольку заряд в этой системе координат неподвижен, электрический ток отсутствует, поэтому наблюдатель не наблюдает никакого магнитного поля.
• Другой наблюдатель в системе F 'движется со скоростью v относительно F и заряда. Этот наблюдатель видит другое электрическое поле, потому что заряд движется со скоростью − v в системе покоя. Движение заряда соответствует электрическому току , поэтому наблюдатель в системе F' также видит магнитное поле.

Электрические и магнитные поля трансформируются иначе, чем пространство и время, но точно так же, как релятивистский угловой момент и вектор ускорения.

Тензор напряженности электромагнитного поля имеет вид

$$F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&-{\frac {1}{c}}E_{x}&-{\frac {1}{c}}E_{y}&-{\frac {1}{c}}E_{z}\\{\frac {1}{c}}E_{x}&0&-B_{z}&B_{y}\\{\frac {1}{c}}E_{y}&B_{z}&0&-B_{x}\\{\frac {1}{c}}E_{z}&-B_{y}&B_{x}&0\end{bmatrix}}{\text{(SI units, signature }}(+,-,-,-){\text{)}}.$$

в единицах СИ . В теории относительности гауссова система единиц часто предпочтительнее единиц СИ, даже в текстах, в которых основным выбором единиц являются единицы СИ, поскольку в ней электрическое поле E и магнитная индукция B имеют одни и те же единицы, создавая видимость электромагнитного поля. тензор более естественный. Рассмотрим усиление Лоренца в направлении x . Это дано

$${\Lambda ^{\mu }}_{\nu }={\begin{bmatrix}\gamma &-\gamma \beta &0&0\\-\gamma \beta &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{bmatrix}},\qquad F^{\mu \nu }={\begin{bmatrix}0&E_{x}&E_{y}&E_{z}\\-E_{x}&0&B_{z}&-B_{y}\\-E_{y}&-B_{z}&0&B_{x}\\-E_{z}&B_{y}&-B_{x}&0\end{bmatrix}}{\text{(Gaussian units, signature }}(-,+,+,+){\text{)}},$$

где тензор поля отображается рядом для упрощения использования в манипуляциях ниже.

Общий закон преобразования (Т3) принимает вид

$$F^{\mu '\nu '}={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }{\Lambda ^{\nu '}}_{\nu }F^{\mu \nu }.$$

Для магнитного поля получаем

$${\begin{aligned}B_{x'}&=F^{2'3'}={\Lambda ^{2}}_{\mu }{\Lambda ^{3}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{2}}_{2}{\Lambda ^{3}}_{3}F^{23}=1\times 1\times B_{x}\\&=B_{x},\\B_{y'}&=F^{3'1'}={\Lambda ^{3}}_{\mu }{\Lambda ^{1}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{3}}_{3}{\Lambda ^{1}}_{\nu }F^{3\nu }={\Lambda ^{3}}_{3}{\Lambda ^{1}}_{0}F^{30}+{\Lambda ^{3}}_{3}{\Lambda ^{1}}_{1}F^{31}\\&=1\times (-\beta \gamma )(-E_{z})+1\times \gamma B_{y}=\gamma B_{y}+\beta \gamma E_{z}\\&=\gamma \left(\mathbf {B} -{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} \right)_{y}\\B_{z'}&=F^{1'2'}={\Lambda ^{1}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{1}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{2}F^{\mu 2}={\Lambda ^{1}}_{0}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{02}+{\Lambda ^{1}}_{1}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{12}\\&=(-\gamma \beta )\times 1\times E_{y}+\gamma \times 1\times B_{z}=\gamma B_{z}-\beta \gamma E_{y}\\&=\gamma \left(\mathbf {B} -{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} \right)_{z}\end{aligned}}$$

Результаты по электрическому полю

$${\begin{aligned}E_{x'}&=F^{0'1'}={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{1}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{0}}_{1}{\Lambda ^{1}}_{0}F^{10}+{\Lambda ^{0}}_{0}{\Lambda ^{1}}_{1}F^{01}\\&=(-\gamma \beta )(-\gamma \beta )(-E_{x})+\gamma \gamma E_{x}=-\gamma ^{2}\beta ^{2}(E_{x})+\gamma ^{2}E_{x}=E_{x}(1-\beta ^{2})\gamma ^{2}\\&=E_{x},\\E_{y'}&=F^{0'2'}={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{2}}_{2}F^{\mu 2}={\Lambda ^{0}}_{0}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{02}+{\Lambda ^{0}}_{1}{\Lambda ^{2}}_{2}F^{12}\\&=\gamma \times 1\times E_{y}+(-\beta \gamma )\times 1\times B_{z}=\gamma E_{y}-\beta \gamma B_{z}\\&=\gamma \left(\mathbf {E} +{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} \right)_{y}\\E_{z'}&=F^{0'3'}={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{3}}_{\nu }F^{\mu \nu }={\Lambda ^{0}}_{\mu }{\Lambda ^{3}}_{3}F^{\mu 3}={\Lambda ^{0}}_{0}{\Lambda ^{3}}_{3}F^{03}+{\Lambda ^{0}}_{1}{\Lambda ^{3}}_{3}F^{13}\\&=\gamma \times 1\times E_{z}-\beta \gamma \times 1\times (-B_{y})=\gamma E_{z}+\beta \gamma B_{y}\\&=\gamma \left(\mathbf {E} +{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} \right)_{z}.\end{aligned}}$$

Здесь β = ( β , 0, 0) используется . Эти результаты можно обобщить

$${\begin{aligned}\mathbf {E} _{\parallel '}&=\mathbf {E} _{\parallel }\\\mathbf {B} _{\parallel '}&=\mathbf {B} _{\parallel }\\\mathbf {E} _{\bot '}&=\gamma \left(\mathbf {E} _{\bot }+{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} _{\bot }\right)=\gamma \left(\mathbf {E} +{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {B} \right)_{\bot },\\\mathbf {B} _{\bot '}&=\gamma \left(\mathbf {B} _{\bot }-{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} _{\bot }\right)=\gamma \left(\mathbf {B} -{\boldsymbol {\beta }}\times \mathbf {E} \right)_{\bot },\end{aligned}}$$

и не зависят от сигнатуры метрики. Для единиц СИ замените E → Е ⁄ с . Миснер, Торн и Уилер (1973) называют эту последнюю форму представлением 3 + 1 , в отличие от геометрического представления, представленного тензорным выражением.

$$F^{\mu '\nu '}={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }{\Lambda ^{\nu '}}_{\nu }F^{\mu \nu },$$

и подчеркните легкость, с которой 3 + 1 можно получить и понять результаты, которых трудно достичь с помощью представления . Только объекты, которые имеют четко определенные свойства преобразования Лоренца (фактически при любом плавном преобразовании координат), являются геометрическими объектами. С геометрической точки зрения электромагнитное поле представляет собой шестимерный геометрический объект в пространстве-времени в отличие от двух взаимозависимых, но отдельных трехвекторных полей в пространстве и времени . Поля E (только) и B (только) не имеют четко определенных свойств преобразования Лоренца. Математической основой являются уравнения (T1) и (T2), которые немедленно приводят к (T3) . Следует отметить, что штрихованные и нештрихованные тензоры относятся к одному и тому же событию в пространстве-времени . Таким образом, полное уравнение с зависимостью от пространства-времени имеет вид

$$F^{\mu '\nu '}\left(x'\right)={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }{\Lambda ^{\nu '}}_{\nu }F^{\mu \nu }\left(\Lambda ^{-1}x'\right)={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }{\Lambda ^{\nu '}}_{\nu }F^{\mu \nu }(x).$$

Сокращение длины влияет на плотность заряда ρ и плотность тока J , а замедление времени влияет на скорость потока заряда (тока), поэтому распределения заряда и тока должны соответствующим образом трансформироваться при повышении напряжения. Оказывается, они трансформируются точно так же, как четыре вектора пространства-времени и энергии-импульса:

$${\begin{aligned}\mathbf {j} '&=\mathbf {j} -\gamma \rho v\mathbf {n} +\left(\gamma -1\right)(\mathbf {j} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \\\rho '&=\gamma \left(\rho -\mathbf {j} \cdot {\frac {v\mathbf {n} }{c^{2}}}\right),\end{aligned}}$$

или, в более простом геометрическом представлении,

$$j^{\mu '}={\Lambda ^{\mu '}}_{\mu }j^{\mu }.$$

Плотность заряда преобразуется как временная составляющая четырехвектора. Это вращательный скаляр. Плотность тока является 3-векторной.

Уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца.

Спиноры

Уравнение (T1) остается неизменным для любого представления группы Лоренца, включая биспинорное представление. В (T2) просто заменяются все вхождения Λ биспинорным представлением Π(Λ) ,

${\begin{aligned}u\otimes v\rightarrow \Pi (\Lambda )u\otimes \Pi (\Lambda )v&={\Pi (\Lambda )^{\alpha }}_{\beta }u^{\beta }\otimes {\Pi (\Lambda )^{\rho }}_{\sigma }v^{\sigma }\\&={\Pi (\Lambda )^{\alpha }}_{\beta }{\Pi (\Lambda )^{\rho }}_{\sigma }u^{\beta }\otimes v^{\sigma }\\&\equiv {\Pi (\Lambda )^{\alpha }}_{\beta }{\Pi (\Lambda )^{\rho }}_{\sigma }w^{\beta \sigma }\end{aligned}}$               (Т4)

Приведенное выше уравнение могло бы, например, представлять собой преобразование состояния в пространстве Фока, описывающее два свободных электрона.

Трансформация общих полей

Общее невзаимодействующее многочастичное состояние (состояние пространства Фока) в квантовой теории поля преобразуется по правилу

$${\begin{aligned}&U(\Lambda ,a)\Psi _{p_{1}\sigma _{1}n_{1};p_{2}\sigma _{2}n_{2};\cdots }\\={}&e^{-ia_{\mu }\left[(\Lambda p_{1})^{\mu }+(\Lambda p_{2})^{\mu }+\cdots \right]}{\sqrt {\frac {(\Lambda p_{1})^{0}(\Lambda p_{2})^{0}\cdots }{p_{1}^{0}p_{2}^{0}\cdots }}}\left(\sum _{\sigma _{1}'\sigma _{2}'\cdots }D_{\sigma _{1}'\sigma _{1}}^{(j_{1})}\left[W(\Lambda ,p_{1})\right]D_{\sigma _{2}'\sigma _{2}}^{(j_{2})}\left[W(\Lambda ,p_{2})\right]\cdots \right)\Psi _{\Lambda p_{1}\sigma _{1}'n_{1};\Lambda p_{2}\sigma _{2}'n_{2};\cdots },\end{aligned}}$$

( 1 )

где W (Λ, p ) — вигнеровское вращение , а D ^{( Дж )} является (2 j + 1) -мерным представлением SO(3) .

См. также

• Фигурное исчисление
• Электромагнитное поле
• преобразование Галилея
• Гиперболическое вращение
• группа Лоренца
• Теория представлений группы Лоренца
• Принцип относительности
• Формула сложения скоростей
• Алгебра физического пространства
• Релятивистская аберрация
• Преобразование Прандтля – Глауэрта
• Сплит-комплексное число
• Гировекторное пространство

Ссылки

Веб-сайты

• О'Коннор, Джон Дж.; Робертсон, Эдмунд Ф. (1996), История специальной теории относительности
• Браун, Харви Р. (2003), Майкельсон, Фитцджеральд и Лоренц: новый взгляд на истоки теории относительности

Документы

• Кушинг, Дж. Т. (1967). «Векторные преобразования Лоренца» . Американский журнал физики . 35 (9): 858–862. Бибкод : 1967AmJPh..35..858C . дои : 10.1119/1.1974267 .
• Макфарлейн, Эй Джей (1962). «Об ограниченной группе Лоренца и гомоморфно связанных с ней группах». Журнал математической физики . 3 (6): 1116–1129. Бибкод : 1962JMP.....3.1116M . дои : 10.1063/1.1703854 . hdl : 2027/mdp.39015095220474 .
• Ротман, Тони (2006), «Затерянные в тени Эйнштейна» (PDF) , American Scientist , 94 (2): 112f
• Дарригол, Оливье (2005), «Происхождение теории относительности» (PDF) , Séminaire Poincaré , 1 : 1–22, Бибкод : 2006eins.book....1D , doi : 10.1007/3-7643-7436- 5_1 , ISBN  978-3-7643-7435-8
• Макроссан, Майкл Н. (1986), «Заметки об относительности до Эйнштейна» , Бр. Дж. Филос. наук. , 37 (2): 232–34, CiteSeerX   10.1.1.679.5898 , doi : 10.1093/bjps/37.2.232 , заархивировано из оригинала 29 октября 2013 г. , получено 2 апреля 2007 г.
• Пуанкаре, Анри (1905), «О динамике электрона» , Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l'Académie des Sciences , 140 : 1504–1508.
• Эйнштейн, Альберт (1905), «К электродинамике движущихся тел» (PDF) , Annals of Physics , 322 (10): 891–921, Бибкод : 1905AnP...322..891E , doi : 10.1002/andp.19053221004 . См. также: английский перевод .
• Лоренц, Хендрик Антон (1904). «Электромагнитные явления в системе, движущейся со скоростью, меньшей скорости света» . Труды Королевской Нидерландской академии искусств и наук . 6 : 809–831.
• Эйнштейн, А. (1916). Теория относительности: специальная и общая теория . Проверено 23 января 2012 г. Эйнштейн, А. (1916). Теория относительности: специальная и общая теория . Нью-Йорк: Three Rivers Press (опубликовано в 1995 г.). ISBN  978-0-517-88441-6 – через Справочный архив Альберта Эйнштейна.
• Унгар, А.А. (1988). «Вращение Томаса и параметризация группы преобразований Лоренца». Основы физики письма . 1 (1): 55–89. Бибкод : 1988FoPhL...1...57U . дои : 10.1007/BF00661317 . ISSN   0894-9875 . S2CID   121240925 . уравнение (55).
• Унгар, А.А. (1989). «Парадокс релятивистского скоростного состава и вращение Томаса». Основы физики . 19 (11): 1385–1396. Бибкод : 1989FoPh...19.1385U . дои : 10.1007/BF00732759 . S2CID   55561589 .
• Унгар, А.А. (2000). «Релятивистский принцип взаимности составных скоростей». Основы физики . 30 (2): 331–342. CiteSeerX   10.1.1.35.1131 . дои : 10.1023/А:1003653302643 . S2CID   118634052 .
• Мокану, CI (1986). «Некоторые трудности в рамках релятивистской электродинамики». Архив электротехники . 69 (2): 97–110. дои : 10.1007/bf01574845 . S2CID   123543303 .
• Мокану, CI (1992). «О парадоксе релятивистского скоростного состава и вращении Томаса». Основы физики . 5 (5): 443–456. Бибкод : 1992FoPhL...5..443M . дои : 10.1007/bf00690425 . S2CID   122472788 .
• Вайнберг, С. (2002). Квантовая теория полей, том I. Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-55001-7 .

Книги

• Барут, Асим Орхан (1964). Электродинамика и классическая теория полей и частиц . Макмиллан. ISBN  978-0-486-64038-9 .
• Деннери, Филипп; Кшивицкий, Андре (2012). Математика для физиков . Курьерская корпорация. ISBN  978-0-486-15712-2 .
• Коттингем, Западная Нью-Йорк; Гринвуд, Д.А. (2007). Введение в стандартную модель физики элементарных частиц (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-1-139-46221-1 .
• Янг, HD; Фридман, РА (2008). Университетская физика - с современной физикой (12-е изд.). Пирсон Аддисон-Уэсли. ISBN  978-0-321-50130-1 .
• Халперн, А. (1988). 3000 решенных задач по физике . Серия Шаум. Мак Грау Хилл. п. 688. ИСБН  978-0-07-025734-4 .
• Форшоу, младший; Смит, АГ (2009). Динамика и относительность . Манчестерская серия по физике. John Wiley & Sons Ltd., стр. 124–126. ISBN  978-0-470-01460-8 .
• Уилер, Дж.А. ; Тейлор, Э. Ф. (1971). Физика пространства-времени . Фриман. ISBN  978-0-7167-0336-5 .
• Уилер, Дж.А. ; Торн, Канзас ; Миснер, CW (1973). Гравитация . Фриман. ISBN  978-0-7167-0344-0 .
• Кэрролл, С.М. (2004). Пространство-время и геометрия: введение в общую теорию относительности (иллюстрированное издание). Эддисон Уэсли. п. 22. ISBN  978-0-8053-8732-2 .
• Грант, И.С.; Филлипс, WR (2008). «14». Электромагнетизм . Манчестерская физика (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN  978-0-471-92712-9 .
• Гриффитс, диджей (2007). Введение в электродинамику (3-е изд.). Pearson Education, Дорлинг Киндерсли. ISBN  978-81-7758-293-2 .
• Холл, Брайан С. (2003). Группы Ли, алгебры Ли и представления. Элементарное введение . Спрингер . ISBN  978-0-387-40122-5 .
• Вайнберг, Стивен (1972). Гравитация и космология: принципы и приложения общей теории относительности . Уайли. ISBN  978-0-471-92567-5 .
• Вайнберг, С. (2008), Космология , Wiley, ISBN  978-0-19-852682-7
• Вайнберг, С. (2005), Квантовая теория полей (3 тома) , том. 1, Издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-67053-1
• Олссон, Т. (2011), Релятивистская квантовая физика , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-76726-2
• Гольдштейн, Х. (1980) [1950]. Классическая механика (2-е изд.). Ридинг MA: Аддисон-Уэсли . ISBN  978-0-201-02918-5 .
• Джексон, JD (1975) [1962]. «Глава 11» . Классическая электродинамика (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья . стр. 542–545 . ISBN  978-0-471-43132-9 .
• Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (2002) [1939]. Классическая теория полей . Курс теоретической физики . Том. 2 (4-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . стр. 9–12. ISBN  0-7506-2768-9 .
• Фейнман, Р.П .; Лейтон, РБ ; Сэндс, М. (1977) [1963]. «15». Фейнмановские лекции по физике . Том. 1. Эддисон Уэсли. ISBN  978-0-201-02117-2 .
• Фейнман, Р.П .; Лейтон, РБ ; Сэндс, М. (1977) [1964]. «13». Фейнмановские лекции по физике . Том. 2. Эддисон Уэсли. ISBN  978-0-201-02117-2 .
• Миснер, Чарльз В .; Торн, Кип С .; Уилер, Джон Арчибальд (1973). Гравитация . Сан-Франциско: WH Freeman . ISBN  978-0-7167-0344-0 .
• Риндлер, В. (2006) [2001]. «Глава 9». Специальная, общая и космологическая теория относительности (2-е изд.). Даллас: Издательство Оксфордского университета . ISBN  978-0-19-856732-5 .
• Райдер, Л.Х. (1996) [1985]. Квантовая теория поля (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0521478144 .
• Сард, Р.Д. (1970). Релятивистская механика - Специальная теория относительности и классическая динамика частиц . Нью-Йорк: WA Бенджамин. ISBN  978-0805384918 .
• Сексл, RU; Урбантке, Гонконг (2001) [1992]. Теория относительности, Группы частиц. Специальная теория относительности и релятивистская симметрия в физике поля и элементарных частиц . Спрингер. ISBN  978-3211834435 .
• Гургульон, Эрик (2013). Специальная теория относительности в общих рамках: от частиц к астрофизике . Спрингер. п. 213. ИСБН  978-3-642-37276-6 .
• Чайчян, Масуд; Хагедорн, Рольф (1997). Симметрия в квантовой механике: От момента импульса к суперсимметрии . ИоП. п. 239. ИСБН  978-0-7503-0408-5 .
• Ландау, LD ; Лифшиц, Э.М. (2002) [1939]. Классическая теория полей . Курс теоретической физики. Том. 2 (4-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . ISBN  0-7506-2768-9 .

Дальнейшее чтение

• Эрнст, А.; Сюй, Ж.-П. (2001), «Первое предложение Фойгта 1887 года об универсальной скорости света» (PDF) , Китайский журнал физики , 39 (3): 211–230, Бибкод : 2001ChJPh..39..211E , заархивировано из оригинала ( PDF) от 16 июля 2011 г.
• Торнтон, Стивен Т.; Мэрион, Джерри Б. (2004), Классическая динамика частиц и систем (5-е изд.), Бельмонт, [Калифорния]: Brooks/Cole, стр. 546–579, ISBN  978-0-534-40896-1
• Фойгт, Вольдемар (1887), «О принципе Доплера», Новости Королевского научного общества в Геттингене , 2 : 41–51.

Внешние ссылки

• Вывод преобразований Лоренца . Эта веб-страница содержит более подробный вывод преобразования Лоренца с особым акцентом на групповые свойства.
• Парадокс специальной теории относительности . Эта веб-страница представляет проблему, решением которой является преобразование Лоренца, графически представленное на следующей странице.
• Относительность. Архивировано 29 августа 2011 г. в Wayback Machine - глава из онлайн-учебника.
• Деформационный симулятор специальной теории относительности . Компьютерная программа, демонстрирующая преобразования Лоренца на предметах повседневного пользования.
• Анимационный клип на YouTube, визуализирующий преобразование Лоренца.
• Видео MinutePhysics на YouTube, объясняющее и визуализирующее преобразование Лоренца с помощью механической диаграммы Минковского.
• Интерактивный график на Desmos (график), показывающий преобразования Лоренца с виртуальной диаграммой Минковского
• Интерактивный график на Desmos, показывающий преобразования Лоренца с точками и гиперболами.
• Кадры Лоренца, анимация Джона де Пиллиса. Онлайн Flash-анимации систем Галилея и Лоренца, различных парадоксов, явлений ЭМ-волн и т. д .