Правильное ускорение

Карта и вид путешественника на правильное ускорение 1g от состояния покоя в течение одного года.

Путешественник в пространстве-времени для путешествия туда и обратно с постоянным ускорением.

В относительности теории собственное ускорение — это физическое ускорение (т. е. измеримое ускорение с помощью акселерометра ), испытываемое объектом. Таким образом, это ускорение относительно свободно падающего или инерционного наблюдателя, который на мгновение находится в состоянии покоя относительно измеряемого объекта. Следовательно, гравитация не вызывает собственного ускорения, поскольку одна и та же сила тяжести одинаково действует на инерциального наблюдателя. Как следствие, все инерциальные наблюдатели всегда имеют собственное ускорение, равное нулю.

Собственное ускорение контрастирует с координатным ускорением , которое зависит от выбора систем координат и, следовательно, от выбора наблюдателей (см. Трехускорение в специальной теории относительности ).

В стандартных инерциальных координатах специальной теории относительности для однонаправленного движения собственное ускорение — это скорость изменения собственной скорости по отношению к координатному времени .

объекта В инерциальной системе отсчета, в которой объект на мгновение находится в состоянии покоя, 3-вектор собственного ускорения в сочетании с нулевым временным компонентом дает четырехкратное ускорение , что делает величину собственного ускорения лоренц-инвариантной . Таким образом, концепция полезна: (i) с ускоренными системами координат , (ii) на релятивистских скоростях и (iii) в искривленном пространстве-времени .

В ускоряющейся ракете после запуска или даже в ракете, стоящей на стартовой площадке, правильное ускорение — это ускорение, ощущаемое пассажирами, и которое описывается как сила перегрузки (которая является не силой, а скорее ускорением; см. статью для дальнейшего обсуждения) доставляется только автомобилем. «Ускорение силы тяжести» (включенное в «силу гравитации») никогда и ни при каких обстоятельствах не способствует правильному ускорению, и, таким образом, правильное ускорение, ощущаемое наблюдателями, стоящими на земле, обусловлено механической силой со стороны земли , а не действием силы тяжести. «сила» или «ускорение» гравитации. Если земля удалена и наблюдателю разрешено свободное падение, наблюдатель испытает координатное ускорение, но не будет собственного ускорения и, следовательно, не будет перегрузки. Как правило, объекты, находящиеся в состоянии инерционного движения, также называемого свободным падением или баллистическим путем (включая объекты на орбите), не испытывают должного ускорения (не считая небольших приливных ускорений для инерционных путей в гравитационных полях). Это состояние также известно как « невесомость» (« нулевая гравитация ») или «свободное падение», и оно вызывает ощущение невесомости .

Собственное ускорение сводится к координатному ускорению в инерциальной системе координат в плоском пространстве-времени (т.е. при отсутствии гравитации) при условии величины собственной скорости объекта. (импульс единицы массы) намного меньше скорости света c . Только в таких ситуациях координатное ускорение полностью ощущается как перегрузка (т.е. собственное ускорение, также определяемое как такое, которое создает измеримый вес).

В ситуациях, когда гравитация отсутствует, но выбранная система координат не инерциальна, а ускоряется вместе с наблюдателем (например, ускоренная система отсчета ускоряющейся ракеты или система координат, закрепленная на объектах в центрифуге), тогда перегрузки и соответствующие собственные ускорения, ощущаемые наблюдателями в этих системах координат, вызваны механическими силами, которые сопротивляются их весу в таких системах. Этот вес, в свою очередь, создается фиктивными силами , или «силами инерции», которые появляются во всех таких ускоренных системах координат, подобно весу, создаваемому «силой гравитации» в системах, где объекты неподвижны в пространстве относительно к гравитирующему телу (как на поверхности Земли).

Полная (механическая) сила, которая рассчитывается для того, чтобы вызвать собственное ускорение массы, покоящейся в системе координат, имеющей собственное ускорение, согласно закону Ньютона F = m a , называется собственной силой . Как видно выше, собственная сила равна противодействующей силе реакции, которая измеряется как «рабочий вес» объекта (т.е. его вес, измеренный устройством, подобным пружинным весам, в вакууме, в системе координат объекта). Таким образом, собственная сила, действующая на объект, всегда равна и противоположна его измеренному весу.

Примеры

Держась за карусель, которая вращается с постоянной угловой скоростью, наблюдатель испытывает собственное ускорение радиально внутрь ( центростремительное ) из-за взаимодействия между поручнем и рукой наблюдателя. Это отменяет радиально направленное наружу геометрическое ускорение , связанное с их вращающейся системой координат . Это внешнее ускорение (с точки зрения вращающейся рамки) станет координатным ускорением, когда они отпустят его, заставив их улететь по траектории с нулевым собственным ускорением ( геодезической ). Неускоренные наблюдатели, конечно, в своей системе координат просто видят, что их равные собственные и координатные ускорения исчезают, когда они отпускают.

показывать Анимация: потерял контроль над каруселью
Map and spin frame perspectives of proper (red) and geometric (blue) accelerations for an object released from a carousel. From the map frame perspective, what's dangerous is their tangential velocity. From the spin frame perspective, the danger instead may lie with that geometric acceleration.

Точно так же, стоя на невращающейся планете (и на Земле для практических целей), наблюдатели испытывают собственное ускорение вверх из-за нормальной силы , действующей на подошву их обуви со стороны Земли. При этом отменяется геометрическое ускорение вниз за счет выбора системы координат (так называемая оболочка-рамка). ). Это нисходящее ускорение становится координатным, если они случайно сойдут со скалы на траекторию с нулевым собственным ускорением (геодезическую или дождевую).

показывать Анимация: мяч, который скатывается со скалы.

Rain and shell frame perspectives of proper (red) and geometric (blue) accelerations for an object that rolls off a cliff. Note: The rain frame perspective, rather than being that of a raindrop, is more like that of a trampoline jumper whose trajectory tops out just as the ball reaches the edge of the cliff. The shell frame perspective may be familiar to planet dwellers who rely minute by minute on upward physical accelerations from their environment, to protect them from that geometric acceleration due to curved spacetime. No wonder micro-gravity environments may seem scary to them at first.

Геометрические ускорения (из-за члена связи системы координат в ковариантной производной ниже) действуют на каждый грамм нашего существа , тогда как собственные ускорения обычно вызываются внешней силой. Вводные курсы физики часто рассматривают нисходящее (геометрическое) ускорение силы тяжести как силу, пропорциональную массе . Это, наряду со старательным избеганием неускоренных кадров, позволяет им относиться к правильному и координированному ускорению как к одному и тому же.

Даже в этом случае, если объект сохраняет постоянное собственное ускорение от состояния покоя в течение длительного периода в плоском пространстве-времени, наблюдатели в системе покоя увидят, что координатное ускорение объекта уменьшается по мере того, как его координатная скорость приближается к скорости света. Тем не менее, скорость увеличения собственной скорости объекта остается постоянной.

показывать Анимация: поездка на высокой скорости вверх, затем вниз.

Map-frame perspective of proper (red) and coordinate (green) accelerations/decelerations in the vertical direction. Here our object first accelerates upward for a time period of 2*c/α on traveler clocks, where c is lightspeed and α is the (red) proper acceleration's magnitude. This first leg takes about 2 years if the acceleration's magnitude is about 1-gee. It then accelerates downward (first slowing and then speeding up) over twice that period, followed by a 2*c/α upward deceleration to return to the original height. The coordinate acceleration (green) is significant only during the low-speed segments of this voyage.

Таким образом, различие между собственным ускорением и координатным ускорением позволяет отслеживать опыт ускоренных путешественников с различных неньютоновских точек зрения. Эти перспективы включают в себя перспективы ускоренных систем координат (например, карусели), высоких скоростей (где собственное и координатное время различаются) и искривленного пространства-времени (например, связанного с гравитацией на Земле).

Классические приложения

На малых скоростях в инерциальных системах координат ньютоновской физики собственное ускорение просто равно координатному ускорению a = d. ² х /д т ² . Однако, как говорилось выше, оно отличается от координатного ускорения, если кто-то решает (вопреки совету Ньютона) описывать мир с точки зрения ускоренной системы координат, например, автомобиля, ускоряющегося из состояния покоя, или камня, вращающегося в рогатке. Если кто-то решит признать, что гравитация вызвана искривлением пространства-времени (см. ниже), собственное ускорение будет отличаться от координатного ускорения в гравитационном поле .

Например, объект, подвергнутый физическому или собственному ускорению a _o, будет виден наблюдателями в системе координат, подвергающейся постоянному ускорению a _кадра , чтобы иметь координатное ускорение:

$${\vec {a}}_{\text{acc}}={\vec {a}}_{\text{o}}-{\vec {a}}_{\text{frame}}.$$

Таким образом, если объект ускоряется вместе с рамкой, наблюдатели, прикрепленные к рамке, вообще не увидят ускорения.

показывать Анимация: проезд от квартала к кварталу
Map and car frame perspectives of physical (red) and geometric (blue) accelerations for a car driving from one stop sign to the next. In this illustration the car accelerates after a stop sign until midway up the block, at which point the driver is immediately off the accelerator and onto the brake so as to make the next stop.

Аналогично, объект, подвергающийся физическому или собственному ускорению a _o, будет виден наблюдателям в системе отсчета, вращающейся с угловой скоростью ω и имеющей координатное ускорение:

$${\vec {a}}_{\text{rot}}={\vec {a}}_{\text{o}}-{\vec {\omega }}\times ({\vec {\omega }}\times {\vec {r}})-2{\vec {\omega }}\times {\vec {v}}_{\text{rot}}-{\frac {d{\vec {\omega }}}{dt}}\times {\vec {r}}.$$

В приведенном выше уравнении в правой части есть три члена геометрического ускорения. Первый член «центробежного ускорения» зависит только от радиального положения r , а не от скорости нашего объекта, второй член «ускорения Кориолиса» зависит только от скорости объекта во вращающейся системе отсчета v _rot , но не от его положения, а третий Член «ускорения Эйлера» зависит только от положения и скорости изменения угловой скорости системы отсчета.

показывать Ньютоновский пример: рогатка с постоянной скоростью.

Map and spin frame perspectives of accelerations and forces associated with a stone released after being spun around on a massless rope. Forces on the stone include the inward centripetal (red) force seen in both frames, as well as the geometric (blue) force seen in the spin frame. Before the stone is released, the blue geometric force is purely centrifugal (pointing radially outward), while after release the geometric force is a sum of centrifugal and Coriolis components. Note that after release in the spin frame that the centrifugal component (light blue) is always radial, while the Coriolis component (green) is always perpendicular to spin frame velocity. Also seen in both frames is the force on the rope's anchor point (magenta) caused by Newton's 3rd Law action-reaction to the centripetal force on the stone. Before projectile launch The following alternate analyses of motion before the stone is released consider only forces acting in the radial direction. Both analyses predict that string tension T = mv2/r. For example, if the radius of the sling is r = 1 metre, the velocity of the stone in the map frame is v = 25 metres per second, and the stone's mass m = 0.2 kilogram, then the tension in the string will be 125 newtons. Map frame story before launch $$-T_{\text{centripetal}}=\sum F_{\text{radial}}=ma_{\text{radial}}=-m{\frac {v^{2}}{r}}.$$ Here the stone is seen to be continually accelerated inward so as to follow a circular path of radius r. The inward radial acceleration of aradial = v2/r is caused by a single unbalanced centripetal force T. The fact that the tension force is unbalanced means that, in this frame, the centrifugal (radially-outward) force on the stone is zero. Spin frame story before launch $$m{\frac {v^{2}}{r}}-T_{\text{centripetal}}=\sum F_{\text{rot}}=ma_{\text{rot}}=0.$$ From the spin frame perspective the stone may be said to experience balanced inward centripetal (T) and outward centrifugal (mv2/r) forces, which result in no acceleration at all from the perspective of that frame. Unlike the centripetal force, the frame-dependent centrifugal force acts on every bit of the circling stone much as gravity acts on every gram of you. Moreover, the centrifugal force magnitude is proportional to the stone's mass so that, if allowed to cause acceleration, the acceleration would be mass-independent. After projectile launch After the stone is released, in the spin frame both centripetal and Coriolis forces act in a delocalized way on all parts of the stone with accelerations that are independent of the stone's mass. By comparison in the map frame, after release no forces are acting on the projectile at all.

В каждом из этих случаев физическое или собственное ускорение отличается от координатного ускорения, поскольку на последнее может влиять выбор системы координат, а также физические силы, действующие на объект. Те компоненты координатного ускорения, которые не вызваны физическими силами (такими как прямой контакт или электростатическое притяжение), часто относят (как в приведенном выше примере Ньютона) к силам, которые: (i) действуют на каждый грамм объекта, (ii) вызывают массирование. независимые ускорения и (iii) не существуют со всех точек зрения. К таким геометрическим (или несобственным) силам относятся силы Кориолиса , силы Эйлера , силы перегрузки , центробежные силы и (как мы увидим ниже) силы тяжести .

Вид с плоского среза пространства-времени

Основная статья: правильная система отсчета (плоское пространство-время)

Динамика собственной системы отсчета в (1+1)D пространстве-времени.

Далее следуют отношения правильного ускорения для координации ускорения в заданном срезе плоского пространства-времени. из метрического уравнения Минковского в плоском пространстве ( c d τ ) ² знак равно ( c d т ) ² - (д х ) ² . Здесь единая система отсчета мерок и синхронизированных часов определяет положение на карте x и время t на карте соответственно, часы движущегося объекта определяют собственное время τ , а буква «d», предшествующая координате, означает бесконечно малое изменение. Эти отношения позволяют решать различные проблемы «любой скорости проектирования», хотя и только с точки зрения наблюдателя, чья расширенная рамка карты определяет одновременность.

Ускорение в (1+1)D

Этот график показывает, как космический корабль, способный развивать скорость 1 g (10 м/с) ² или около 1,0 светового года на год в квадрате) ускорение в течение 100 лет может обеспечить путешествие практически в любую точку видимой Вселенной и обратно за всю жизнь.

В однонаправленном случае, т. е. когда ускорение объекта параллельно или антипараллельно его скорости в пространственно-временном срезе наблюдателя, собственное ускорение α и координатное ускорение a связаны между собой. через фактор Лоренца γ по α = γ ³ а . Следовательно, изменение собственной скорости w=dx/dτ является интегралом собственного ускорения по времени отображения t, т.е. Δ w = α Δ t для постоянного α . На низких скоростях это сводится к хорошо известному соотношению между координатной скоростью и координатным ускорением, умноженным на время отображения, т.е. Δ v = a Δ t .

Для постоянного однонаправленного собственного ускорения аналогичные зависимости существуют между быстротой η и затраченным собственным временем Δ τ , а также между фактором Лоренца γ и пройденным расстоянием Δ x . Чтобы быть конкретным:

$$\alpha ={\frac {\Delta w}{\Delta t}}=c{\frac {\Delta \eta }{\Delta \tau }}=c^{2}{\frac {\Delta \gamma }{\Delta x}},$$

где различные параметры скорости связаны соотношением

$$\eta =\sinh ^{-1}\left({\frac {w}{c}}\right)=\tanh ^{-1}\left({\frac {v}{c}}\right)=\pm \cosh ^{-1}\left(\gamma \right).$$

Эти уравнения описывают некоторые последствия ускоренного движения на высокой скорости. Например, представьте себе космический корабль, который может ускорять своих пассажиров до скорости «1 g» (10 м/с). ² или около 1,0 светового года на год в квадрате) на полпути к месту назначения, а затем замедлить их на скорости «1 g» на оставшуюся половину, чтобы обеспечить земную искусственную гравитацию из точки A в точку B в течение как можно более короткого времени. Для расстояния по карте Δ x _AB первое уравнение, приведенное выше, предсказывает коэффициент Лоренца в средней точке (вверх от ее единичного значения покоя) γ _Mid = 1 + α (Δ x _AB /2)/c ² . Следовательно, время прохождения туда и обратно на путевых часах будет Δ τ = 4( c / α ) ch ⁻¹ ( γ _Mid ) , в течение которого время, прошедшее на часах карты, будет Δ t = 4( c / α ) sinh[cosh ⁻¹ ( γ _{середина} )] .

Этот воображаемый космический корабль мог бы совершать полеты к Проксиме Центавра туда и обратно продолжительностью около 7,1 лет (около 12 лет по земным часам), путешествия туда и обратно к Млечного Пути центральной черной дыре продолжительностью около 40 лет (прошло около 54 000 лет по земным часам) и Путешествие туда и обратно к Галактике Андромеды продолжительностью около 57 лет (более 5 миллионов лет по земным часам). К сожалению, поддерживать ускорение в 1 g в течение многих лет легче сказать, чем сделать, о чем свидетельствует максимальное соотношение полезной нагрузки к стартовой массе, показанное на рисунке справа.

показывать Анимация: путешествие туда и обратно к звезде, находящейся на расстоянии 6,9 светового года.

Map and traveler perspectives of a roundtrip at constant 1 gee proper-acceleration (red arrow in the traveler frame) between the sun (yellow) and a hypothetical star (cyan) 6.9 lightyears away. Proxima Centauri (orange) 4 lightyears from the sun is shown in orange toward the upper left. From each perspective a year should elapse about every two seconds or every 100/17.4 frames. After each round trip ship-pilots on this shuttle-run will have aged only half as much as colleagues stationed on earth. This is time dilation in action. Other differences include the distance changes between co-moving stars, seen in the traveler frame. This is length contraction in action. Coordinate acceleration (green) seen in the map frame is only significant in the year before and after each launch, while the proper-acceleration (red) felt by the traveler is significant throughout the voyage. Note also the trace of a light signal initiated from each launch point, but 0.886 map years after launch. This pulse reaches the traveler at the voyage midpoint to remind them to begin deceleration. In the map frame Proxima Centauri sees the turnaround pulse before the destination star does, but the converse is true in the traveler frame. This is relative simultaneity in action. Nonetheless, both observers agree on the sequence of events along any time-like world line.

В искривленном пространстве-времени

На языке общей теории относительности компоненты четырехвектора ускорения объекта A (величина которого является собственным ускорением) связаны с элементами четырехскорости через ковариантную производную D по собственному времени τ :

$$A^{\lambda }:={\frac {DU^{\lambda }}{d\tau }}={\frac {dU^{\lambda }}{d\tau }}+\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }$$

Здесь U объекта — четырехскоростная скорость , а Γ представляет 64 коэффициента связи системы координат или символы Кристоффеля . Обратите внимание, что греческие индексы принимают четыре возможных значения, а именно 0 для оси времени и 1–3 для осей пространственных координат, и что повторяющиеся индексы используются для обозначения суммирования по всем значениям этого индекса. Траектории с нулевым собственным ускорением называются геодезическими .

Левая часть этого набора из четырех уравнений (по одному для времяподобных и трех пространственноподобных значений индекса λ) представляет собой 3-вектор собственного ускорения объекта в сочетании с нулевой временной составляющей, как видно с точки зрения ссылки. или бухгалтерская система координат, в которой объект покоится. Первый член в правой части указывает скорость, с которой изменяются времяподобные (энергия/ mc ) и пространственные (импульс/ m объекта ) компоненты четырехскоростной U в единицу времени τ на путевых часах.

Давайте найдем первый член справа, поскольку на низких скоростях его пространственноподобные компоненты представляют координатное ускорение. В более общем смысле, когда этот первый член обращается в ноль, координатное ускорение объекта обращается в ноль. Это дает

$${\frac {dU^{\lambda }}{d\tau }}=A^{\lambda }-\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }.$$

Таким образом, как показано на примере первых двух анимаций выше, координатное ускорение обращается в ноль всякий раз, когда правильное ускорение точно отменяется термином соединения (или геометрическим ускорением ) в крайнем правом углу. Внимание: этот член может представлять собой сумму до шестнадцати отдельных членов, зависящих от скорости и положения, поскольку повторяющиеся индексы μ и ν по соглашению суммируются по всем парам их четырех разрешенных значений.

и

Вышеприведенное уравнение также предлагает некоторый взгляд на силы и принцип эквивалентности . Учитывайте координаты местного бухгалтера для метрики (например, локальной тетрады Лоренца подобно тому, о котором системы глобального позиционирования предоставляют информацию) для описания времени в секундах и пространства в единицах расстояния вдоль перпендикулярных осей. Если мы умножим приведенное выше уравнение на массу покоя движущегося объекта m и разделим на коэффициент Лоренца γ = d t /d τ , пространственноподобные компоненты выражают скорость изменения импульса этого объекта с точки зрения координат, используемых для описания метрики. .

Это, в свою очередь, можно разбить на части благодаря собственным и геометрическим компонентам ускорения и силы. Если мы дополнительно умножим времяподобную составляющую на скорость света c и определим координатную скорость как v = d x /d t , мы также получим выражение для скорости изменения энергии:

${\frac {dE}{dt}}={\vec {v}}\cdot {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}$ (временное) и ${\frac {d{\vec {p}}}{dt}}=\sum {\vec {f_{o}}}+\sum {\vec {f_{g}}}=m({\vec {a_{o}}}+{\vec {a_{g}}})$ (космический).

Здесь a _o — ускорение, вызванное собственными силами, а a _g — по умолчанию геометрическое ускорение, которое мы видим приложенным к объекту из-за выбора нашей системы координат. На низких скоростях эти ускорения объединяются, создавая координатное ускорение вида a = d. ² х /д т ² , в то время как для однонаправленного движения на любой скорости величина a _o равна собственному ускорению α, как в разделе выше, где α = γ. ³ a, равно нулю _{когда ag} . В целом выражение этих ускорений и сил может быть сложным.

Тем не менее, если мы используем эту разбивку для описания термина коэффициента связи (Γ), приведенного выше, в терминах геометрических сил, то движение объектов с точки зрения любой системы координат (по крайней мере, на низких скоростях) можно рассматривать как локально ньютоновское. . Это уже обычная практика, например, в случае центробежной силы и гравитации. Таким образом, принцип эквивалентности расширяет локальную полезность законов Ньютона на ускоренные системы координат и за их пределы.

Обитатели поверхности планеты

находящихся на фиксированном радиусе от центра сферической планеты или звезды, координатное ускорение оболочки _{Для наблюдателей с низкой скоростью ,} приблизительно связано с собственным ускорением a _o следующим образом:

$${\vec {a}}_{\text{shell}}={\vec {a}}_{\text{o}}-{\sqrt {\frac {r}{r-r_{s}}}}{\frac {GM}{r^{2}}}{\hat {r}}$$

планеты или звезды где радиус Шварцшильда r _s = 2 GM / c ² . Когда радиус наблюдателя нашей оболочки приближается к радиусу Шварцшильда, правильное ускорение a _o , необходимое для предотвращения падения, становится невыносимым.

С другой стороны, при r ≫ r _s собственная направленная вверх сила равна всего лишь GMm / r. ² необходим для предотвращения ускорения вниз. На поверхности Земли это будет:

$${\vec {a}}_{\text{shell}}={\vec {a}}_{o}-g{\hat {r}}$$

где g — скорость вниз 9,8 м/с. ² ускорение свободного падения и ${\hat {r}}$— единичный вектор, направленный радиально наружу от центра гравитирующего тела. Таким образом, здесь необходима внешняя собственная сила в мг, чтобы удержать человека от ускорения вниз.

Четырехвекторные производные

Уравнения пространства-времени этого раздела позволяют учесть все отклонения между собственным и координатным ускорением за один расчет. Например, давайте посчитаем символы Кристоффеля :

$$\left({\begin{array}{llll}\left\{\Gamma _{tt}^{t},\Gamma _{tr}^{t},\Gamma _{t\theta }^{t},\Gamma _{t\phi }^{t}\right\}&\left\{\Gamma _{rt}^{t},\Gamma _{rr}^{t},\Gamma _{r\theta }^{t},\Gamma _{r\phi }^{t}\right\}&\left\{\Gamma _{\theta t}^{t},\Gamma _{\theta r}^{t},\Gamma _{\theta \theta }^{t},\Gamma _{\theta \phi }^{t}\right\}&\left\{\Gamma _{\phi t}^{t},\Gamma _{\phi r}^{t},\Gamma _{\phi \theta }^{t},\Gamma _{\phi \phi }^{t}\right\}\\\left\{\Gamma _{tt}^{r},\Gamma _{tr}^{r},\Gamma _{t\theta }^{r},\Gamma _{t\phi }^{r}\right\}&\left\{\Gamma _{rt}^{r},\Gamma _{rr}^{r},\Gamma _{r\theta }^{r},\Gamma _{r\phi }^{r}\right\}&\left\{\Gamma _{\theta t}^{r},\Gamma _{\theta r}^{r},\Gamma _{\theta \theta }^{r},\Gamma _{\theta \phi }^{r}\right\}&\left\{\Gamma _{\phi t}^{r},\Gamma _{\phi r}^{r},\Gamma _{\phi \theta }^{r},\Gamma _{\phi \phi }^{r}\right\}\\\left\{\Gamma _{tt}^{\theta },\Gamma _{tr}^{\theta },\Gamma _{t\theta }^{\theta },\Gamma _{t\phi }^{\theta }\right\}&\left\{\Gamma _{rt}^{\theta },\Gamma _{rr}^{\theta },\Gamma _{r\theta }^{\theta },\Gamma _{r\phi }^{\theta }\right\}&\left\{\Gamma _{\theta t}^{\theta },\Gamma _{\theta r}^{\theta },\Gamma _{\theta \theta }^{\theta },\Gamma _{\theta \phi }^{\theta }\right\}&\left\{\Gamma _{\phi t}^{\theta },\Gamma _{\phi r}^{\theta },\Gamma _{\phi \theta }^{\theta },\Gamma _{\phi \phi }^{\theta }\right\}\\\left\{\Gamma _{tt}^{\phi },\Gamma _{tr}^{\phi },\Gamma _{t\theta }^{\phi },\Gamma _{t\phi }^{\phi }\right\}&\left\{\Gamma _{rt}^{\phi },\Gamma _{rr}^{\phi },\Gamma _{r\theta }^{\phi },\Gamma _{r\phi }^{\phi }\right\}&\left\{\Gamma _{\theta t}^{\phi },\Gamma _{\theta r}^{\phi },\Gamma _{\theta \theta }^{\phi },\Gamma _{\theta \phi }^{\phi }\right\}&\left\{\Gamma _{\phi t}^{\phi },\Gamma _{\phi r}^{\phi },\Gamma _{\phi \theta }^{\phi },\Gamma _{\phi \phi }^{\phi }\right\}\end{array}}\right)$$

дальней координаты для метрики Шварцшильда ( c d τ ) ² знак равно (1− р _s / р )( c d т ) ² − (1/(1− р _s / r ))d r ² − р ² d θ ² - ( р грех θ ) ² д φ ² , где r _s – радиус Шварцшильда 2 GM / c ² . Результирующий массив коэффициентов принимает вид:

$$\left({\begin{array}{llll}\left\{0,{\frac {r_{s}}{2r(r-r_{s})}},0,0\right\}&\left\{{\frac {r_{s}}{2r(r-r_{s})}},0,0,0\right\}&\{0,0,0,0\}&\{0,0,0,0\}\\\left\{{\frac {r_{s}c^{2}(r-r_{s})}{2r^{3}}},0,0,0\right\}&\left\{0,{\frac {r_{s}}{2r(r_{s}-r)}},0,0\right\}&\{0,0,r_{s}-r,0\}&\left\{0,0,0,(r_{s}-r)\sin ^{2}\theta \right\}\\\{0,0,0,0\}&\left\{0,0,{\frac {1}{r}},0\right\}&\left\{0,{\frac {1}{r}},0,0\right\}&\{0,0,0,-\cos \theta \sin \theta \}\\\{0,0,0,0\}&\left\{0,0,0,{\frac {1}{r}}\right\}&\{0,0,0,\cot(\theta )\}&\left\{0,{\frac {1}{r}},\cot \theta ,0\right\}\end{array}}\right).$$

Отсюда вы можете получить правильное ускорение каркаса оболочки, установив координатное ускорение равным нулю и, таким образом, потребовав, чтобы правильное ускорение компенсировало геометрическое ускорение неподвижного объекта, т.е. $A^{\lambda }=\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }=\{0,GM/r^{2},0,0\}$. Это еще не решает проблему, поскольку координаты Шварцшильда в искривленном пространстве-времени являются координатами бухгалтера. но не мнение местного наблюдателя. Величина указанного выше собственного ускорения 4-вектора, а именно ${\textstyle \alpha ={\sqrt {1/(1-r_{s}/r)}}GM/r^{2}}$Однако это именно то, что нам нужно, т.е. собственное ускорение, инвариантное к восходящей системе отсчета, необходимое для противодействия нисходящему геометрическому ускорению, ощущаемому обитателями поверхности планеты.

Особым случаем приведенного выше набора символов Кристоффеля является набор сферических координат плоского пространства , полученный путем установки r _s или M выше нуля:

$$\left({\begin{array}{llll}\left\{0,0,0,0\right\}&\left\{0,0,0,0\right\}&\{0,0,0,0\}&\{0,0,0,0\}\\\left\{0,0,0,0\right\}&\left\{0,0,0,0\right\}&\{0,0,-r,0\}&\left\{0,0,0,-r\sin ^{2}\theta \right\}\\\{0,0,0,0\}&\left\{0,0,{\frac {1}{r}},0\right\}&\left\{0,{\frac {1}{r}},0,0\right\}&\{0,0,0,-\cos \theta \sin \theta \}\\\{0,0,0,0\}&\left\{0,0,0,{\frac {1}{r}}\right\}&\{0,0,0,\cot \theta \}&\left\{0,{\frac {1}{r}},\cot \theta ,0\right\}\end{array}}\right).$$

Отсюда мы можем получить, например, собственное ускорение центри лепестка , необходимое для компенсации центробежного геометрического ускорения объекта, движущегося с постоянной угловой скоростью ω = d φ /d τ на экваторе, где θ = π /2 . Формирование той же 4-векторной суммы, что и выше, для случая d θ /d τ и d r /d τ нуля, не дает ничего, кроме классического ускорения для вращательного движения, приведенного выше, т.е. $A^{\lambda }=\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }U^{\mu }U^{\nu }=\{0,-r(d\phi /d\tau )^{2},0,0\}$ так что a _o = ω ² р . Эффекты Кориолиса также заключаются в этих коэффициентах связи и аналогичным образом возникают только из геометрии системы координат.

См. также

• Ускорение : изменение скорости
• Собственная скорость : импульс на массу в специальной теории относительности; составленный из пространственноподобных компонент 4-скоростного
• Собственная система отсчета (плоское пространство-время) : ускоренная система отсчета в специальной теории относительности (пространство Минковского).
• Фиктивная сила : одно название для массы, умноженной на геометрическое ускорение.
• Четырехвекторность : явная связь между пространством и временем.
• Кинематика : для изучения способов изменения положения со временем.
• Равномерное ускорение : фиксированное ускорение координат.

Внешние ссылки

• Выдержки из первого издания « Физики пространства-времени» и других ресурсов, опубликованных Эдвином Ф. Тейлором.
• Страница книги Джеймса Хартла о гравитации, включающая программы Mathematica для расчета символов Кристоффеля.
• Эндрю Гамильтона Заметки и программы для работы с местными тетрадами в Университете Колорадо, Боулдер.