Сферическая система координат

В математике сферическая система координат — это система координат трехмерного пространства , где положение данной точки в пространстве задается тремя числами ( r , θ , φ ): радиальное расстояние радиальной линии r, соединяющей точку. к фиксированной точке начала координат (которая расположена на фиксированной полярной оси, оси зенитного направления или оси z ); полярный угол θ радиальной линии r ; и азимутальный угол φ радиальной линии r .

Полярный угол θ измеряется между осью z линией и радиальной r . Азимутальный угол φ измеряется между ортогональной проекцией радиальной линии r на опорную плоскость xy , которая ортогональна оси z и проходит через фиксированную исходную точку, и либо фиксированной осью x, либо фиксированной осью y . оси, обе из которых ортогональны оси z и друг другу. (См. рисунок, посвященный «физическому соглашению».)

Как только радиус фиксирован, три координаты (r, θ, φ), известные как тройка , образуют систему координат на сфере , обычно называемую сферическими полярными координатами . Примечание: в этой статье соблюдаются правила физики; (См. графики «по физике» и по «математическому соглашению») .

Радиальное расстояние от фиксированной точки начала координат также называют радиусом , или радиальной линией , или радиальной координатой . Полярный угол можно назвать углом наклона , зенитным углом , нормальным углом или широтой . Пользователь может игнорировать угол наклона и вместо этого использовать угол возвышения , который измеряется вверх между базовой плоскостью и радиальной линией, т. е. от базовой плоскости вверх (в направлении положительной оси z) к радиальной линии. Угол склонения является отрицательным по отношению к углу возвышения. (См. рисунок, посвященный «физическому соглашению», а не «математическому соглашению».)

Как использование символов, так и порядок именования координат кортежа различаются в разных источниках и дисциплинах. В этой статье будет использоваться соглашение ISO. ^[1] часто встречается в физике , где кортеж именования задает следующий порядок: радиальное расстояние, полярный угол, азимутальный угол или $(r,\theta ,\varphi )$ . (См. рисунок, посвященный «физическому соглашению».) Напротив, соглашения во многих книгах и текстах по математике определяют порядок именования по-разному: радиальное расстояние, «азимутальный угол», «полярный угол» и $(\rho ,\theta ,\varphi )$ или $(r,\theta ,\varphi )$ - который меняет использование и значение символов θ и φ . Могут также использоваться другие соглашения, например, r для радиуса от оси z , который не исходит от начальной точки. Особое внимание необходимо уделить проверке значения символов .

Согласно соглашениям о географических системах координат , положения измеряются широтой, долготой и высотой (высотой). Существует ряд небесных систем координат , основанных на разных фундаментальных плоскостях и с разными терминами для разных координат. В сферических системах координат, используемых в математике, обычно используются радианы , а не градусы ; (обратите внимание, что 90 градусов равны π _/2 радиан). И эти системы математического соглашения могут измерять азимутальный угол против часовой стрелки (т. е. от южного направления $оси X$ , или 180°, к восточному направлению $оси Y$ , или +90°), а не измерять по часовой стрелке (т. е. от направление оси X на север, или 0°, по отношению к оси Y, направление на восток, или +90°), как это делается в горизонтальной системе координат . ^[2] (См. рисунок «Математическое соглашение».)

Сферическую систему координат физического соглашения можно рассматривать как обобщение полярной системы координат в трехмерном пространстве . Ее можно далее распространить на пространства более высокой размерности, и тогда ее называют гиперсферической системой координат .

Определение

Чтобы определить сферическую систему координат, необходимо обозначить исходную точку в пространстве $O$ и два ортогональных направления: опорное направление зенита и опорное направление азимута . Эти варианты выбора определяют опорную плоскость, которая обычно определяется как содержащая исходную точку и оси x и y , каждая из которых может быть обозначена как опорное направление азимута . Базовая плоскость перпендикулярна (ортогональна) направлению зенита и обычно обозначается «горизонтально» по отношению к «вертикали» зенитного направления. Тогда сферические координаты точки $P$ определяются следующим образом:

Радиус O или радиальное расстояние — это евклидово расстояние начала $координат$ до $P.$ от
Наклонение ) (или полярный угол — это угол со знаком от опорного направления зенита до отрезка $OP$ . ( Высота может использоваться как полярный угол вместо наклона ; см. ниже.)
Азимут азимутальный (или угол ) — это угол со знаком, измеренный от опорного направления азимута до ортогональной проекции радиального отрезка $OP$ на опорную плоскость.

Знак азимута определяется путем обозначения вращения, которое представляет собой положительный смысл поворота вокруг зенита. Этот выбор произволен и является частью определения системы координат. (Если наклон равен нулю или 180 градусам (= $π$ радиан), азимут произволен. Если радиус равен нулю, то и азимут, и наклонение произвольны.)

Высота — это угол со знаком от базовой плоскости xy до сегмента радиальной линии $OP$ , где положительные углы обозначены как направленные вверх, по направлению к зениту. Высота составляет 90 градусов (= ⁠ $π$ / 2 ⁠ радиан) минус наклонение . Таким образом, если наклон составляет 60 градусов (= ⁠ $π$ / 3 ⁠ радиан), тогда угол места равен 30 градусам (= ⁠ $π$ / 6 ⁠ радиан).

В линейной алгебре вектор до от начала координат $O$ точки $P$ часто называют положения точки P. вектором

Конвенции

Существует несколько различных соглашений для представления сферических координат и предписания порядка именования их символов. Набор чисел из трех кортежей $(r,\theta ,\varphi )$ обозначает радиальное расстояние, полярный угол — «наклон» или, альтернативно, «возвышение» — и азимутальный угол. Это обычная практика в рамках физического соглашения, как указано в ISO стандарте 80000-2:2019 и ранее в ISO 31-11 (1992).

Как указано выше, в этой статье описывается «физическое соглашение» ISO, если не указано иное.

Однако некоторые авторы (включая математиков) используют символ ρ (rho) для обозначения радиуса или радиального расстояния, φ для обозначения наклона (или высоты) и θ для азимута, в то время как другие продолжают использовать r для радиуса; все это «обеспечивает логическое расширение обычных обозначений полярных координат». ^[3] Что касается порядка, некоторые авторы указывают азимут перед углом наклона (или угла места). Некоторые комбинации этих вариантов приводят к левой системе координат. Стандартный набор из трех кортежей «физической конвенции». $(r,\theta ,\varphi )$ конфликтует с обычными обозначениями двумерных полярных координат и трехмерных цилиндрических координат , где $θ$ часто используется для обозначения азимута. ^[3]

Углы обычно измеряются в градусах (°) или радианах (рад), где 360° = 2 $π$ рад. Использование градусов наиболее распространено в географии, астрономии и технике, где радианы обычно используются в математике и теоретической физике. Единица радиального расстояния обычно определяется контекстом, как это происходит в приложениях «единичной сферы», см. Приложения .

Когда система используется для обозначения физического трехпространства, принято присваивать положительные углы азимута, измеренные против часовой стрелки от исходного направления на опорной плоскости, если смотреть с «зенитной» стороны плоскости. Это соглашение используется, в частности, для географических координат, где направление «зенита» — север , а положительные углы азимута (долготы) отсчитываются на восток от некоторого нулевого меридиана .

Основные конвенции
порядок установки координат	соответствующие местные географические направления $(Я, Икс, Y)$	правша/левша
$(r, θ inc, φ az,right)$	$(ИСПОЛЬЗОВАТЬ ) $	верно
$(r, φ az,right, θ el)$	$(У, Е, Н)$	верно
$(r, θ el, φ az,right)$	$(У, Н, Е)$	левый

Примечание: восточное направление ( $E$ ), северное направление ( $N$ ) , восходящее направление ( $U$ ). В случае $(U, S, E)$ местный азимутальный угол будет измеряться против часовой от $S$ до $E.$ стрелки

Уникальные координаты

Любой сферический тройник координат (или кортеж) $(r,\theta ,\varphi )$ определяет одну точку трехмерного пространства. С другой стороны, любая отдельная точка имеет бесконечное множество эквивалентных сферических координат. То есть пользователь может прибавлять или вычитать любое количество полных оборотов к угловым мерам, не изменяя сами углы, а значит, и точку. Во многих случаях удобно использовать отрицательные радиальные расстояния. $(-r,-\theta ,\varphi )$ , что эквивалентно $(r,\theta ,\varphi )$ для любых $r$ , $θ$ и $φ$ . Более того, $(r,-\theta ,\varphi )$ эквивалентно $(r,\theta ,\varphi {+}180^{\circ })$ .

Когда необходимо определить уникальный набор сферических координат для каждой точки, пользователь должен ограничить диапазон, или интервал , каждой координаты. Обычный выбор:

радиальное расстояние: $r \geq 0,$
полярный угол: $0° \leq θ \leq 180°$ или $0 рад \leq θ \leq π рад$ ,
азимут: $0° \leq φ < 360°$ или $0 рад \leq φ < 2 π рад$ .

Но вместо интервала $[0°, 360°)$ азимут $φ$ обычно ограничивается полуоткрытым интервалом $(-180°, +180°]$ или $(- π, + π]$ радиан, что является стандартным соглашением. для географической долготы.

Для полярного угла $θ$ диапазон (интервал) наклона составляет $[0°, 180°]$ , что эквивалентно диапазону возвышений (интервалу) $[-90°, +90°]$ . В географии широта – это высота.

Даже с учетом этих ограничений, если полярный угол (наклонение) равен 0 ° или 180 °, а высота равна -90 ° или +90 °, то азимутальный угол является произвольным; а если $r$ равно нулю, то азимут и полярные углы произвольны. Чтобы определить координаты как уникальные, пользователь может установить соглашение, согласно которому (в этих случаях) произвольные координаты устанавливаются в ноль.

Построение графика

Чтобы построить любую точку по ее сферическим координатам $(r, θ, φ)$ , где $θ$ — наклон, пользователь должен: переместить $r$ единиц от начала координат в опорном направлении зенита (ось z); затем повернуть на величину азимутального угла ( $φ$ ) вокруг начала координат от назначенного опорного направления азимута (т. е. по оси x или y, см. определение выше); а затем повернуть от оси Z на $угол θ$ .

Приложения

Точно так же, как двумерная декартова система координат полезна (имеет широкий спектр применений) на плоской поверхности, двумерная сферическая система координат полезна на поверхности сферы. Например, одна сфера, описываемая в декартовых координатах уравнением $x 2 + и 2 + я 2 = с 2$ может быть описан в сферических координатах простым уравнением $r = c$ . (В этой системе, показанной здесь в математическом соглашении , сфера адаптирована как единичная сфера , где радиус установлен равным единице, а затем его обычно можно игнорировать, см. рисунок.)

Это упрощение (единичная сфера) также полезно при работе с такими объектами, как матрицы вращения . Сферические координаты также полезны при анализе систем, которые имеют некоторую степень симметрии относительно точки, в том числе: интегралы объема внутри сферы; поле потенциальной энергии, окружающее концентрированную массу или заряд; или глобальное моделирование погоды в атмосфере планеты.

Трехмерное моделирование выходных характеристик громкоговорителей можно использовать для прогнозирования их характеристик. Требуется ряд полярных графиков, снятых при широком выборе частот, поскольку картина сильно меняется с частотой. Полярные графики помогают показать, что многие громкоговорители имеют тенденцию к всенаправленности на более низких частотах.

Важным применением сферических координат является разделение переменных в двух уравнениях в частных производных — Лапласа и уравнениях Гельмгольца , — возникающих во многих физических задачах. Угловые части решений таких уравнений принимают форму сферических гармоник . Другое применение — эргономичный дизайн , где $r$ — длина руки неподвижного человека, а углы описывают направление вытянутой руки. Сферическая система координат также часто используется при разработке 3D-игр для вращения камеры вокруг положения игрока. ^[4]

В географии

Вместо наклона в географической системе координат используется угол возвышения (или широта ) в диапазоне (также известный как область ) $-90° \leq φ \leq 90°$ и повернутый на север от плоскости экватора . Широта (т. е. угол широты) может быть либо геоцентрической широтой , измеренной (повернутой) от центра Земли и обозначаемой по-разному $ψ, q, φ', φ c, φ g$ , либо геодезической широтой , измеренной (повернутой) от центра Земли. наблюдателя локальная вертикаль и обычно обозначается $φ$ .Полярный угол (наклонение), составляющий 90° минус широта и колеблющийся от 0 до 180°, называется широтой в географии .

Угол азимута (или долгота ) данной позиции на Земле, обычно обозначаемый $λ$ , измеряется в градусах к востоку или западу от некоторого обычного эталонного меридиана (чаще всего эталонного меридиана IERS ); таким образом, его область действия (или диапазон) составляет $-180 ° \leq λ \leq 180 °$ , и данное значение обычно обозначается «Восток» или «Запад». Для положений на Земле или другом твердом небесном теле за отсчетную плоскость обычно принимают плоскость, перпендикулярную оси вращения .

Вместо радиального расстояния $r$ географы обычно используют высоту над или под некоторой местной базовой поверхностью ( вертикальной базой ), которой, например, может быть средний уровень моря . При необходимости радиальное расстояние можно вычислить по высоте, добавив радиус Земли , который составляет примерно 6360 ± 11 км (3952 ± 7 миль).

Однако современные географические системы координат довольно сложны, и координаты, определяемые этими простыми формулами, могут быть неточными на несколько километров. Точные стандартные значения широты, долготы и высоты в настоящее время определяются Всемирной геодезической системой (WGS) и учитывают сплющивание Земли на полюсах (около 21 км или 13 миль) и многие другие детали.

В планетарных системах координат используются формулировки, аналогичные географической системе координат.

В астрономии

Ряд астрономических систем координат используется для измерения угла места в нескольких фундаментальных плоскостях . Эти опорные плоскости включают в себя: наблюдателя горизонт , галактический экватор (определяемый вращением Млечного Пути ), небесный экватор (определяемый вращением Земли), плоскость эклиптики ( определяемая орбитой Земли вокруг Солнца ) и плоскость земного терминатора (нормально к мгновенному направлению на Солнце ).

Преобразования системы координат

Поскольку сферическая система координат является лишь одной из многих трехмерных систем координат, существуют уравнения для преобразования координат между сферической системой координат и другими.

Декартовы координаты

Сферические координаты точки в соглашении ISO (т.е. для физики: радиус $r$ , наклонение $θ$ , азимут $φ$ ) можно получить из ее декартовых координат $(x, y, z)$ по формулам

${\begin{aligned}r&={\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=\arccos {\frac {z}{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}}=\arccos {\frac {z}{r}}={\begin{cases}\arctan {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}&{\text{if }}z>0\\\pi +\arctan {\frac {\sqrt {x^{2}+y^{2}}}{z}}&{\text{if }}z<0\\+{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}z=0{\text{ and }}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\neq 0\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=y=z=0\\\end{cases}}\\\varphi &=\operatorname {sgn}(y)\arccos {\frac {x}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}={\begin{cases}\arctan({\frac {y}{x}})&{\text{if }}x>0,\\\arctan({\frac {y}{x}})+\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y\geq 0,\\\arctan({\frac {y}{x}})-\pi &{\text{if }}x<0{\text{ and }}y<0,\\+{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y>0,\\-{\frac {\pi }{2}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y<0,\\{\text{undefined}}&{\text{if }}x=0{\text{ and }}y=0.\end{cases}}\end{aligned}}$

Обратный тангенс, обозначенный через $φ = arctan ⁠ y / x ⁠$ должно быть соответствующим образом определено с учетом правильного квадранта $(x, y)$ , как это сделано в приведенных выше уравнениях. См. статью на atan2 .

Альтернативно, преобразование можно рассматривать как два последовательных прямоугольных преобразования в полярные : первое в декартовой $xy$ плоскости $из (x, y)$ в $(R, φ)$ , где $R$ — проекция $r$ на $плоскость xy$ , и второй в декартовой $плоскости zR$ от $(z, R)$ до $(r, θ)$ . Правильные квадранты для $φ$ и $θ$ подразумеваются правильностью преобразования плоских прямоугольных в полярные.

Эти формулы предполагают, что две системы имеют одно и то же происхождение, что сферическая плоскость отсчета является декартовой $плоскостью xy$ , что $θ$ представляет собой наклон от $направления z$ и что азимутальные углы отсчитываются от декартовой $оси x$ (так что $y$ ось имеет $φ = +90°$ ). Если θ измеряет высоту от базовой плоскости, а не наклон от зенита, то arccos выше становится arcsin, а $cos θ$ и $sin θ$ ниже меняются местами.

И наоборот, декартовы координаты могут быть получены из сферических координат ( радиус $r$ , наклонение $θ$ , азимут $φ$ ), где $r \in [0, \infty)$ , $θ \in [0, π]$ , $φ \in [0, 2 π)$ , по формуле ${\begin{aligned}x&=r\sin \theta \,\cos \varphi ,\\y&=r\sin \theta \,\sin \varphi ,\\z&=r\cos \theta .\end{aligned}}$

Цилиндрические координаты

Цилиндрические координаты ( осевой радиус ρ , азимут φ , высота z ) можно преобразовать в сферические координаты ( центральный радиус r , наклонение θ , азимут φ ) по формулам

${\begin{aligned}r&={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}},\\\theta &=\arctan {\frac {\rho }{z}}=\arccos {\frac {z}{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}},\\\varphi &=\varphi .\end{aligned}}$

И наоборот, сферические координаты можно преобразовать в цилиндрические по формулам

${\begin{aligned}\rho &=r\sin \theta ,\\\varphi &=\varphi ,\\z&=r\cos \theta .\end{aligned}}$

Эти формулы предполагают, что две системы имеют одно и то же начало координат и одну и ту же плоскость отсчета, измеряют угол азимута $φ$ в одинаковых направлениях от одной и той же оси и что сферический угол $θ$ представляет собой наклон от цилиндрической $оси z$ .

Обобщение

Также можно иметь дело с эллипсоидами в декартовых координатах, используя модифицированную версию сферических координат.

Пусть P — эллипсоид, заданный множеством уровня

$ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=d.$

Модифицированные сферические координаты точки в P в соглашении ISO (т.е. для физики: радиус $r$ , наклонение $θ$ , азимут $φ$ ) можно получить из ее декартовых координат $(x, y, z)$ по формулам

${\begin{aligned}x&={\frac {1}{\sqrt {a}}}r\sin \theta \,\cos \varphi ,\\y&={\frac {1}{\sqrt {b}}}r\sin \theta \,\sin \varphi ,\\z&={\frac {1}{\sqrt {c}}}r\cos \theta ,\\r^{2}&=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}.\end{aligned}}$

Бесконечно малый элемент объема определяется выражением

$\mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,dr\,d\theta \,d\varphi ={\frac {1}{\sqrt {abc}}}r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ={\frac {1}{\sqrt {abc}}}r^{2}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \Omega .$

Коэффициент квадратного корня происходит из свойства определителя , который позволяет извлечь константу из столбца:

${\begin{vmatrix}ka&b&c\\kd&e&f\\kg&h&i\end{vmatrix}}=k{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}.$

Интегрирование и дифференцирование в сферических координатах

Единичные векторы в сферических координатах

Следующие уравнения (Iyanaga 1977) предполагают, что широта $θ$ представляет собой наклон от положительной $оси z$ , как в обсуждаемом физическом соглашении .

Линейный элемент для бесконечно малого перемещения от $(r, θ, φ)$ до $(r + d r, θ + d θ, φ + d φ)$ равен $\mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} r\,{\hat {\mathbf {r} }}+r\,\mathrm {d} \theta \,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r\sin {\theta }\,\mathrm {d} \varphi \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} ,$ где ${\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&=\sin \theta \cos \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\sin \theta \sin \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}+\cos \theta \,{\hat {\mathbf {z} }},\\{\hat {\boldsymbol {\theta }}}&=\cos \theta \cos \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\cos \theta \sin \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}-\sin \theta \,{\hat {\mathbf {z} }},\\{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}&=-\sin \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\cos \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}\end{aligned}}$ — локальные ортогональные единичные векторы в направлениях возрастания $r$ , $θ$ и $φ$ соответственно,а $x̂$ , $ŷ$ и $ẑ$ — единичные векторы в декартовых координатах. Линейное преобразование к этой правой тройке координат представляет собой матрицу вращения , $R={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\sin \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}\cos \theta \\\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &-\sin \theta \\-\sin \varphi &\cos \varphi &{\hphantom {-}}0\end{pmatrix}}.$

Это дает преобразование из сферического в декартовое, обратное - обратное.Примечание: матрица является ортогональной матрицей , то есть ее инверсия — это просто ее транспонирование .

Таким образом, декартовы единичные векторы связаны со сферическими единичными векторами следующим образом: ${\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\cos \theta \cos \varphi &-\sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}\cos \varphi \\\cos \theta &-\sin \theta &{\hphantom {-}}0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\end{bmatrix}}$

Общая форма формулы для доказательства элемента дифференциальной линии: ^[5] $\mathrm {d} \mathbf {r} =\sum _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\,\mathrm {d} x_{i}=\sum _{i}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|{\frac {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}{\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|}}\,\mathrm {d} x_{i}=\sum _{i}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|\,\mathrm {d} x_{i}\,{\hat {\boldsymbol {x}}}_{i},$ то есть изменение в $\mathbf {r}$ разлагается на отдельные изменения, соответствующие изменениям отдельных координат.

Чтобы применить это к настоящему случаю, нужно вычислить, как $\mathbf {r}$ меняется с каждой из координат. В используемых соглашениях $\mathbf {r} ={\begin{bmatrix}r\sin \theta \,\cos \varphi \\r\sin \theta \,\sin \varphi \\r\cos \theta \end{bmatrix}}.$

Таким образом, ${\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi \\\cos \theta \end{bmatrix}}=\mathbf {\hat {r}} ,\quad {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}={\begin{bmatrix}r\cos \theta \,\cos \varphi \\r\cos \theta \,\sin \varphi \\-r\sin \theta \end{bmatrix}}=r\,{\hat {\boldsymbol {\theta }}},\quad {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}={\begin{bmatrix}-r\sin \theta \,\sin \varphi \\{\hphantom {-}}r\sin \theta \,\cos \varphi \\0\end{bmatrix}}=r\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} .$

Искомые коэффициенты — это величины этих векторов: ^[5] $\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}\right|=1,\quad \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right|=r,\quad \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}\right|=r\sin \theta .$

Элемент поверхности, простирающийся от $θ$ до $θ + d θ$ и $от φ$ до $φ + d φ$ на сферической поверхности с (постоянным) радиусом $r$ , тогда равен $\mathrm {d} S_{r}=\left\|{\frac {\partial {\mathbf {r} }}{\partial \theta }}\times {\frac {\partial {\mathbf {r} }}{\partial \varphi }}\right\|\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =\left|r{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\times r\sin \theta {\boldsymbol {\hat {\varphi }}}\right|\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ~.$

Таким образом, дифференциальный телесный угол равен $\mathrm {d} \Omega ={\frac {\mathrm {d} S_{r}}{r^{2}}}=\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .$

Элемент поверхности на поверхности с постоянным полярным углом $θ$ (конус с вершиной в начале координат) равен $\mathrm {d} S_{\theta }=r\sin \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} r.$

Элемент поверхности на поверхности постоянного азимута $φ$ (вертикальная полуплоскость) равен $\mathrm {d} S_{\varphi }=r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta .$

Элемент объема, простирающийся от $r$ до $r + d r$ , $от θ$ до $θ + d θ$ и $от φ$ до $φ + d φ$ , определяется определителем матрицы Якоби частных производных , $J={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &{\hphantom {-}}r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &{\hphantom {-}}0\end{pmatrix}},$ а именно $\mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \Omega ~.$

Так, например, функцию $f (r, θ, φ)$ можно проинтегрировать по каждой точке в $R 3$ тройным интегралом $\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }\int \limits _{0}^{\infty }f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ~.$

Оператор del в этой системе приводит к следующим выражениям для градиента и лапласиана для скалярных полей: ${\begin{aligned}\nabla f&={\partial f \over \partial r}{\hat {\mathbf {r} }}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\\[8pt]\nabla ^{2}f&={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}\\[8pt]&=\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)f+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)f+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}f~,\\[8pt]\end{aligned}}$ И это приводит к следующим выражениям для дивергенции и ротора векторных полей :

$\nabla \cdot \mathbf {A} ={\frac {1}{r^{2}}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}A_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta A_{\theta }\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi },$ ${\begin{aligned}\nabla \times \mathbf {A} ={}&{\frac {1}{r\sin \theta }}\left[{\partial \over \partial \theta }\left(A_{\varphi }\sin \theta \right)-{\partial A_{\theta } \over \partial \varphi }\right]{\hat {\mathbf {r} }}\\[4pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left[{1 \over \sin \theta }{\partial A_{r} \over \partial \varphi }-{\partial \over \partial r}\left(rA_{\varphi }\right)\right]{\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\[4pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left[{\partial \over \partial r}\left(rA_{\theta }\right)-{\partial A_{r} \over \partial \theta }\right]{\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\end{aligned}}$

Далее, обратный якобиан в декартовых координатах равен $J^{-1}={\begin{pmatrix}{\dfrac {x}{r}}&{\dfrac {y}{r}}&{\dfrac {z}{r}}\\\\{\dfrac {xz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\dfrac {yz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\dfrac {-\left(x^{2}+y^{2}\right)}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\\\{\dfrac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\dfrac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{pmatrix}}.$ Метрический тензор в сферической системе координат имеет вид $g=J^{T}J$ .

Расстояние в сферических координатах

В сферических координатах даны две точки, где $φ$ является азимутальной координатой. ${\begin{aligned}{\mathbf {r} }&=(r,\theta ,\varphi ),\\{\mathbf {r} '}&=(r',\theta ',\varphi ')\end{aligned}}$ Расстояние между двумя точками можно выразить как ^[6] ${\begin{aligned}{\mathbf {D} }&={\sqrt {r^{2}+r'^{2}-2rr'(\sin {\theta }\sin {\theta '}\cos {(\varphi -\varphi ')}+\cos {\theta }\cos {\theta '})}}\end{aligned}}$

Кинематика

В сферических координатах положение точки или частицы (хотя лучше записать в виде тройки $(r,\theta ,\varphi )$ ) можно записать как ^[7] $\mathbf {r} =r\mathbf {\hat {r}} .$ Тогда его скорость ^[7] $\mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}={\dot {r}}\mathbf {\hat {r}} +r\,{\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r\,{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}}$ и его ускорение равно ^[7] ${\begin{aligned}\mathbf {a} ={}&{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}\\[1ex]={}&{\hphantom {+}}\;\left({\ddot {r}}-r\,{\dot {\theta }}^{2}-r\,{\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta \right)\mathbf {\hat {r}} \\&{}+\left(r\,{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}\,{\dot {\theta }}-r\,{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\&{}+\left(r{\ddot {\varphi }}\,\sin \theta +2{\dot {r}}\,{\dot {\varphi }}\,\sin \theta +2r\,{\dot {\theta }}\,{\dot {\varphi }}\,\cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\end{aligned}}$

Угловой момент $\mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} =\mathbf {r} \times m\mathbf {v} =mr^{2}\left(-{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\theta }}} +{\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\right)$ Где $m$ является массовым. В случае постоянной $φ$ или иначе $θ = ⁠ π / 2 ⁠$ , это сводится к векторному исчислению в полярных координатах .

Соответствующий оператор углового момента следует из приведенной выше переформулировки в фазовом пространстве: $\mathbf {L} =-i\hbar ~\mathbf {r} \times \nabla =i\hbar \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\theta }}}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}-{\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right).$

Крутящий момент задается как ^[7] $\mathbf {\tau } ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {L} }{\mathrm {d} t}}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =-m\left(2r{\dot {r}}{\dot {\varphi }}\sin \theta +r^{2}{\ddot {\varphi }}\sin {\theta }+2r^{2}{\dot {\theta }}{\dot {\varphi }}\cos {\theta }\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}+m\left(r^{2}{\ddot {\theta }}+2r{\dot {r}}{\dot {\theta }}-r^{2}{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}$

Кинетическая энергия определяется как ^[7] $E_{k}={\frac {1}{2}}m\left[\left({\dot {r}}\right)^{2}+\left(r{\dot {\theta }}\right)^{2}+\left(r{\dot {\varphi }}\sin \theta \right)^{2}\right]$

См. также

Небесная система координат – система указания положения небесных объектов.
Система координат – метод указания положения точек.
Del в цилиндрических и сферических координатах — математический оператор градиента в некоторых системах координат.
Метод двойной сферы Фурье
Высота (баллистика) - Угол в баллистике.
Углы Эйлера - Описание ориентации твердого тела.
Блокировка карданного подвеса - потеря одной степени свободы в трехмерном трехкарданном механизме.
Гиперсфера – обобщенная сфера измерения n (математика).
Матрица и определитель Якобиана - матрица всех частных производных первого порядка вектор-функции.
Список канонических преобразований координат
Сфера - набор точек, равноудаленных от центра.
Сферическая гармоника — специальные математические функции, определенные на поверхности сферы.
Теодолит - Оптический геодезический прибор.
Векторные поля в цилиндрических и сферических координатах . Представление векторных полей в трехмерных криволинейных системах координат.
Рыскание, тангаж и крен - основные направления в авиации.

Примечания

^ «ISO 80000-2:2019 Величины и единицы. Часть 2: Математика» . ИСО . 19 мая 2020 г. стр. 20–21. Артикул №. 2-17.3 . Проверено 12 августа 2020 г.
^ Даффетт-Смит, П. и Цварт, Дж., стр. 34.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Эрик В. Вайсштейн (26 октября 2005 г.). «Сферические координаты» . Математический мир . Проверено 15 января 2010 г.
^ «Математика видеоигр: полярная и сферическая система обозначений» . Академия интерактивных развлечений (АИЕ) . Проверено 16 февраля 2022 г.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б «Линейный элемент (dl) в выводе/схеме сферических координат» . Обмен стеками . 21 октября 2011 г.
^ https://math.stackexchange.com/questions/833002/distance-between-two-points-in-Sphereical-coordinates
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Рид, Брюс Кэмерон (2019). Кеплеровы эллипсы: физика гравитационной задачи двух тел . Издательство Morgan & Claypool, Институт физики. Сан-Рафаэль [Калифорния] (40 Oak Drive, Сан-Рафаэль, Калифорния, 94903, США). ISBN 978-1-64327-470-6 . OCLC 1104053368 . {{cite book}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка ) CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

Библиография

Иянага, Сёкити; Кавада, Юкиёси (1977). Энциклопедический словарь математики . МТИ Пресс. ISBN 978-0262090162 .
Морс П.М. , Фешбах Х. (1953). Методы теоретической физики . Часть I. Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. п. 658. ИСБН 0-07-043316-Х . LCCN 52011515 .
Маргенау Х. , Мерфи Г.М. (1956). Математика физики и химии . Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. стр. 177–178 . LCCN 55010911 .
Корн Г.А., Корн ТМ (1961). Математический справочник для ученых и инженеров . Нью-Йорк: МакГроу-Хилл. стр. 174–175. LCCN 59014456 . АСИН B0000CKZX7.
Зауэр Р., Сабо I (1967). Математический инструментарий инженера . Нью-Йорк: Springer Verlag. стр. 95–96. LCCN67025285 .
Мун П., Спенсер Д.Э. (1988). «Сферические координаты (r, θ, ψ)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е изд., 3-е печатное изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 24–27 (табл. 1.05). ISBN 978-0-387-18430-2 .
Даффетт-Смит П., Цварт Дж. (2011). Практическая астрономия с помощью калькулятора или электронной таблицы, 4-е издание . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 34. ISBN 978-0521146548 .

Внешние ссылки

[1] «ISO 80000-2:2019 Величины и единицы. Часть 2: Математика» . ИСО . 19 мая 2020 г. стр. 20–21. Артикул №. 2-17.3 . Проверено 12 августа 2020 г.

[2] Даффетт-Смит, П. и Цварт, Дж., стр. 34.

[http://mathworld.wolfram.com/SphericalCoordinates.html-3] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Эрик В. Вайсштейн (26 октября 2005 г.). «Сферические координаты» . Математический мир . Проверено 15 января 2010 г.

[4] «Математика видеоигр: полярная и сферическая система обозначений» . Академия интерактивных развлечений (АИЕ) . Проверено 16 февраля 2022 г.

[q74503-5] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б «Линейный элемент (dl) в выводе/схеме сферических координат» . Обмен стеками . 21 октября 2011 г.

[6] ttps://math.stackexchange.com/questions/833002/distance-between-two-points-in-Sphereical-coordinates

[Cameron2019-7] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б ^с ^д ^и Рид, Брюс Кэмерон (2019). Кеплеровы эллипсы: физика гравитационной задачи двух тел . Издательство Morgan & Claypool, Институт физики. Сан-Рафаэль [Калифорния] (40 Oak Drive, Сан-Рафаэль, Калифорния, 94903, США). ISBN 978-1-64327-470-6 . OCLC 1104053368 . {{cite book}}: CS1 maint: местоположение ( ссылка ) CS1 maint: отсутствует местоположение издателя ( ссылка )

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]