Логполярные координаты

В математике логарифмические координаты (или логарифмические полярные координаты ) представляют собой систему координат в двух измерениях, где точка идентифицируется двумя числами: одно для логарифма расстояния до определенной точки, а другое для угла . Лог-полярные координаты тесно связаны с полярными координатами , которые обычно используются для описания областей на плоскости с некоторой вращательной симметрией . В таких областях, как гармонический и комплексный анализ , логарифмические координаты более каноничны, чем полярные координаты.

Определение и преобразования координат

Лог-полярные координаты на плоскости состоят из пары действительных чисел (ρ, θ), где ρ — логарифм расстояния между данной точкой и началом координат , а θ — угол между линией отсчета ( x ось ) и линия, проходящая через начало координат и точку. Угловая координата такая же, как и для полярных координат, а радиальная координата преобразуется по правилу

r=e^{\rho }

.

где $r$ это расстояние до начала координат. Формулы преобразования декартовых координат в лог-полярные координаты имеют вид

{\begin{cases}\rho =\ln \left({\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right),\\\theta =\operatorname {atan2} (y,\,x).\end{cases}}

а формулы преобразования логарифмических координат в декартовы:

{\begin{cases}x=e^{\rho }\cos \theta ,\\y=e^{\rho }\sin \theta .\end{cases}}

Используя комплексные числа ( x , y ) = x + iy , последнее преобразование можно записать как

x+iy=e^{\rho +i\theta }

т.е. комплексная показательная функция. Отсюда следует, что основные уравнения в гармоническом и комплексном анализе будут иметь такой же простой вид, как и в декартовых координатах. В полярных координатах это не так.

Некоторые важные уравнения в лог-полярных координатах

Уравнение Лапласа

Уравнение Лапласа в двух измерениях имеет вид

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}=0

в декартовых координатах. Запись того же уравнения в полярных координатах дает более сложное уравнение

r{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}=0

или эквивалентно

\left(r{\frac {\partial }{\partial r}}\right)^{2}u+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}=0

Однако из отношения $r=e^{\rho }$ отсюда следует, что $r{\frac {\partial }{\partial r}}={\frac {\partial }{\partial \rho }}$ поэтому уравнение Лапласа в лог-полярных координатах:

{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \rho ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \theta ^{2}}}=0

имеет такое же простое выражение, как и в декартовых координатах. Это верно для всех систем координат, где преобразование в декартовы координаты задается конформным отображением . Таким образом, при рассмотрении уравнения Лапласа для части плоскости с вращательной симметрией, например, кругового диска, лог-полярные координаты являются естественным выбором.

Уравнения Коши – Римана.

Аналогичная ситуация возникает при рассмотрении аналитических функций . Аналитическая функция $f(x,y)=u(x,y)+iv(x,y)$ записанная в декартовых координатах, удовлетворяет уравнениям Коши – Римана:

{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}},\ \ \ \ \ \ {\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}

Если вместо этого функция выражается в полярной форме $f(re^{i\theta })=Re^{i\Phi }$ уравнения Коши–Римана принимают более сложный вид

r{\frac {\partial \log R}{\partial r}}={\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }},\ \ \ \ \ \ {\frac {\partial \log R}{\partial \theta }}=-r{\frac {\partial \Phi }{\partial r}},

Как и в случае с уравнением Лапласа, простая форма декартовых координат восстанавливается заменой полярных координат на лог-полярные (пусть $P=\log R$ ):

{\frac {\partial P}{\partial \rho }}={\frac {\partial \Phi }{\partial \theta }},\ \ \ \ \ \ {\frac {\partial P}{\partial \theta }}=-{\frac {\partial \Phi }{\partial \rho }}

Уравнения Коши – Римана также можно записать в одном уравнении как

\left({\frac {\partial }{\partial x}}+i{\frac {\partial }{\partial y}}\right)f(x+iy)=0

Выразив ${\frac {\partial }{\partial x}}$ и ${\frac {\partial }{\partial y}}$ с точки зрения ${\frac {\partial }{\partial \rho }}$ и ${\frac {\partial }{\partial \theta }}$ это уравнение можно записать в эквивалентной форме

\left({\frac {\partial }{\partial \rho }}+i{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)f(e^{\rho +i\theta })=0

Уравнение Эйлера

Когда кто-то хочет решить задачу Дирихле в области с вращательной симметрией, обычно нужно использовать метод разделения переменных для уравнений в частных производных для уравнения Лапласа в полярной форме. Это значит, что вы пишете $u(r,\theta )=R(r)\Theta (\theta )$ . Уравнение Лапласа затем разделяется на два обыкновенных дифференциальных уравнения.

{\begin{cases}\Theta ''(\theta )+\nu ^{2}\Theta (\theta )=0\\r^{2}R''(r)+rR'(r)-\nu ^{2}R(r)=0\end{cases}}

где $\nu$ является константой. Первая из них имеет постоянные коэффициенты и легко решается. Второе представляет собой частный случай уравнения Эйлера.

r^{2}R''(r)+crR'(r)+dR(r)=0

где $c,d$ являются константами. Это уравнение обычно решается с помощью анзаца $R(r)=r^{\lambda }$ , но с помощью логарифмического полярного радиуса его можно преобразовать в уравнение с постоянными коэффициентами:

P''(\rho )+(c-1)P'(\rho )+dP(\rho )=0

Рассматривая уравнение Лапласа, $c=1$ и $d=-\nu ^{2}$ поэтому уравнение для $r$ принимает простую форму

P''(\rho )-\nu ^{2}P(\rho )=0

При решении задачи Дирихле в декартовых координатах это именно уравнения для $x$ и $y$ . Таким образом, снова естественным выбором области с вращательной симметрией являются не полярные, а логполярные координаты.

Дискретная геометрия

Дискретная система координат в круговом диске, заданная логарифмическими координатами ( n = 25)

Дискретная система координат в круговом диске, которую легко выразить в логарифмических координатах ( n = 25)

Часть фрактала Мандельброта, демонстрирующая спиральное поведение.

Для численного решения УЧП в некоторой области необходимо ввести в этой области дискретную систему координат. Если область имеет вращательную симметрию и вам нужна сетка, состоящая из прямоугольников, полярные координаты — плохой выбор, поскольку в центре круга возникают треугольники, а не прямоугольники. Однако это можно исправить, введя логполярные координаты следующим образом. Разделите плоскость на сетку квадратов со стороной 2. $\pi$ / n , где n — положительное целое число. Используйте сложную экспоненциальную функцию, чтобы создать логарифмическую сетку на плоскости. Затем левая полуплоскость отображается на единичный круг с числом радиусов, равным n . Может быть даже более выгодно вместо этого отобразить диагонали в этих квадратах, что дает дискретную систему координат в единичном круге, состоящем из спиралей, см. рисунок справа.

Оператор Дирихле-Неймана

Последняя система координат подходит, например, для решения задач Дирихле и Неймана. Если дискретную систему координат интерпретировать как неориентированный граф на единичном круге, ее можно рассматривать как модель электрической сети. Каждому сегменту линии на графике соответствует проводимость, определяемая функцией $\gamma$ . Электрическая сеть тогда будет служить дискретной моделью задачи Дирихле в единичном круге, где уравнение Лапласа принимает форму закона Кирхгофа. В узлах на границе круга определяется электрический потенциал (данные Дирихле), который индуцирует электрический ток (данные Неймана) через граничные узлы. Линейный оператор $\Lambda _{\gamma }$ из данных Дирихле в данные Неймана называется оператором Дирихле-Неймана и зависит от топологии и проводимости сети.

В случае сплошного диска отсюда следует, что если проводимость однородна, скажем $\gamma =1$ всюду, то оператор Дирихле-Неймана удовлетворяет следующему уравнению

\Lambda _{\gamma }^{2}+{\frac {\partial ^{2}\ }{\partial \theta ^{2}}}=0

Анализ изображений

Уже в конце 1970-х годов были даны приложения дискретной спиральной системы координат в анализе изображений ( регистрации изображений ). Представление изображения в этой системе координат, а не в декартовых координатах, дает вычислительные преимущества при повороте или масштабировании изображения. Кроме того, фоторецепторы сетчатки человеческого глаза распределены таким образом, что имеет большое сходство со спиральной системой координат. ^[1] Его также можно найти во фрактале Мандельброта (см. рисунок справа).

Логполярные координаты также можно использовать для построения быстрых методов преобразования Радона и его обратного преобразования. ^[2]

См. также

Ссылки

^ Вейман, Чайкин, Логарифмические спиральные сетки для обработки и отображения изображений , Компьютерная графика и обработка изображений 11, 197–226 (1979).
^ Андерссон, Фредрик, Быстрое обращение преобразования Радона с использованием логарифмических координат и частичных обратных проекций , SIAM J. Appl. Математика. 65, 818–837 (2005).

Внешние ссылки

Сайт неньютоновского исчисления

[1] Вейман, Чайкин, Логарифмические спиральные сетки для обработки и отображения изображений , Компьютерная графика и обработка изображений 11, 197–226 (1979).

[2] Андерссон, Фредрик, Быстрое обращение преобразования Радона с использованием логарифмических координат и частичных обратных проекций , SIAM J. Appl. Математика. 65, 818–837 (2005).

[1]

[2]