Уравнение Лапласа

Чтобы узнать о приливных уравнениях Лапласа, см. Теорию приливов § Приливные уравнения Лапласа .

В математике и физике уравнение Лапласа второго порядка представляет собой уравнение в частных производных , названное в честь Пьера-Симона Лапласа , который первым изучил его свойства. Часто это пишут как $$\nabla ^{2}\!f=0$$ или $$\Delta f=0,$$ где $\Delta =\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}$ – оператор Лапласа , $\nabla \cdot$ — оператор дивергенции (также обозначается как «div»), $\nabla$ — оператор градиента (также обозначаемый «град»), и $f(x,y,z)$ — дважды дифференцируемая действительная функция. Таким образом, оператор Лапласа отображает скалярную функцию в другую скалярную функцию.

Если правая часть указана как заданная функция, $h(x,y,z)$, у нас есть $$\Delta f=h.$$

Это называется уравнением Пуассона и является обобщением уравнения Лапласа. Уравнение Лапласа и уравнение Пуассона являются простейшими примерами эллиптических уравнений в частных производных . Уравнение Лапласа также является частным случаем уравнения Гельмгольца .

Общая теория решений уравнения Лапласа известна как теория потенциала . Дважды непрерывно дифференцируемые решения уравнения Лапласа представляют собой гармонические функции , которые важны во многих разделах физики, особенно в электростатике, гравитации и гидродинамике . При изучении теплопроводности уравнение Лапласа представляет собой уравнение установившейся теплопроводности . В общем, уравнение Лапласа описывает ситуации равновесия или ситуации, которые явно не зависят от времени.

Формы в разных системах координат

В прямоугольных координатах $$\nabla ^{2}f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=0.$$

В цилиндрических координатах $$\nabla ^{2}f={\frac {1}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \phi ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}=0.$$

В сферических координатах , используя $(r,\theta ,\varphi )$ соглашение, $$\nabla ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=0.$$

В более общем смысле, в произвольных криволинейных координатах (ξ ^я ) , $$\nabla ^{2}f={\frac {\partial }{\partial \xi ^{j}}}\left({\frac {\partial f}{\partial \xi ^{k}}}g^{kj}\right)+{\frac {\partial f}{\partial \xi ^{j}}}g^{jm}\Gamma _{mn}^{n}=0,$$ или $$\nabla ^{2}f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial }{\partial \xi ^{i}}}\!\left({\sqrt {|g|}}g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial \xi ^{j}}}\right)=0,\qquad (g=\det\{g_{ij}\})$$ где gij _— евклидов метрический тензор относительно новых координат, а Γ обозначает его символы Кристоффеля .

Граничные условия

Уравнение Лапласа на кольце (внутренний радиус r = 2 и внешний радиус R = 4 ) с граничными условиями Дирихле u ( r =2) = 0 и u ( R =4) = 4 sin(5 θ )

См. Также: Краевая задача.

Задача Дирихле для уравнения Лапласа состоит в нахождении решения φ в некоторой области D такого, что φ на границе D равна некоторой заданной функции. появляется оператор Лапласа Поскольку в уравнении теплопроводности , одна из физических интерпретаций этой задачи состоит в следующем: зафиксировать температуру на границе области согласно заданному заданию граничного условия. Позвольте теплу течь до тех пор, пока не будет достигнуто стационарное состояние, в котором температура в каждой точке области больше не меняется. Распределение температуры внутри будет тогда задано решением соответствующей задачи Дирихле.

Граничные условия Неймана для уравнения Лапласа задают не саму функцию φ на границе D , а ее нормальную производную . Физически это соответствует построению потенциала векторного поля, действие которого известно на границе D. только На примере уравнения теплопроводности это сводится к заданию теплового потока через границу. В частности, на адиабатической границе нормальная производная φ равна нулю.

Решения уравнения Лапласа называются гармоническими функциями ; все они аналитичны в области, в которой выполняется уравнение. Если любые две функции являются решениями уравнения Лапласа (или любого линейного однородного дифференциального уравнения), их сумма (или любая линейная комбинация) также является решением. Это свойство, называемое принципом суперпозиции , очень полезно. Например, решения сложных задач можно построить путем суммирования простых решений.

В двух измерениях

Уравнение Лапласа с двумя независимыми переменными в прямоугольных координатах имеет вид $${\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}\equiv \psi _{xx}+\psi _{yy}=0.$$

Аналитические функции

Действительная и мнимая части комплексной аналитической функции удовлетворяют уравнению Лапласа. То есть, если z = x + iy и если $$f(z)=u(x,y)+iv(x,y),$$ тогда необходимым условием f ( z ) аналитичности u и v является дифференцируемость уравнений Коши – Римана и выполнение : $$u_{x}=v_{y},\quad v_{x}=-u_{y}.$$ где u _x — первая частная производная u по x . Отсюда следует, что $$u_{yy}=(-v_{x})_{y}=-(v_{y})_{x}=-(u_{x})_{x}.$$ Следовательно, u удовлетворяет уравнению Лапласа. Аналогичный расчет показывает, что v также удовлетворяет уравнению Лапласа. И наоборот, если речь идет о гармонической функции, это действительная часть аналитической функции f ( z ) (по крайней мере, локально). Если пробная форма $$f(z)=\varphi (x,y)+i\psi (x,y),$$ то уравнения Коши–Римана будут выполняться, если положить $$\psi _{x}=-\varphi _{y},\quad \psi _{y}=\varphi _{x}.$$ Это соотношение не определяет ψ , а только его приращения: $$d\psi =-\varphi _{y}\,dx+\varphi _{x}\,dy.$$ Из уравнения Лапласа для φ следует, что условие интегрируемости для ψ выполнено: $$\psi _{xy}=\psi _{yx},$$ и, таким образом, ψ может быть определен линейным интегралом. Условие интегрируемости и теорема Стокса подразумевают, что значение линейного интеграла, соединяющего две точки, не зависит от пути. Полученная пара решений уравнения Лапласа называется сопряженными гармоническими функциями . Эта конструкция действительна только локально или при условии, что путь не огибает сингулярность. Например, если r и θ — полярные координаты и $$\varphi =\log r,$$ то соответствующая аналитическая функция есть $$f(z)=\log z=\log r+i\theta .$$

Однако угол θ однозначен только в области, не ограничивающей начало координат.

Тесная связь между уравнением Лапласа и аналитическими функциями означает, что любое решение уравнения Лапласа имеет производные всех порядков и может быть разложено в степенной ряд , по крайней мере, внутри круга, не заключающего в себе особенности. Это резко контрастирует с решениями волнового уравнения , которые обычно имеют меньшую регулярность. .

Существует тесная связь между степенным рядом и рядом Фурье . Если разложить функцию f в степенной ряд внутри круга радиуса R , это означает, что $$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}z^{n},$$ с соответствующим образом определенными коэффициентами, действительная и мнимая части которых определяются выражением $$c_{n}=a_{n}+ib_{n}.$$ Поэтому $$f(z)=\sum _{n=0}^{\infty }\left[a_{n}r^{n}\cos n\theta -b_{n}r^{n}\sin n\theta \right]+i\sum _{n=1}^{\infty }\left[a_{n}r^{n}\sin n\theta +b_{n}r^{n}\cos n\theta \right],$$ который является рядом Фурье для f . Эти тригонометрические функции сами по себе можно расширить, используя формулы нескольких углов .

Поток жидкости

Основная статья: уравнение Лапласа для безвихревого течения

Пусть величины u и v — горизонтальная и вертикальная составляющие поля скорости стационарного несжимаемого безвихревого течения в двух измерениях. Условие непрерывности несжимаемого течения состоит в том, что $$u_{x}+v_{y}=0,$$ а условие безвихревости потока состоит в том, что $$\nabla \times \mathbf {V} =v_{x}-u_{y}=0.$$ Если мы определим дифференциал функции ψ как $$d\psi =v\,dx-u\,dy,$$ тогда условие непрерывности является условием интегрируемости этого дифференциала: результирующая функция называется функцией тока, поскольку она постоянна вдоль линий тока . Первые производные ψ имеют вид $$\psi _{x}=v,\quad \psi _{y}=-u,$$ а из условия безвихревости следует, что ψ удовлетворяет уравнению Лапласа. Гармоническая функция φ , сопряженная с ψ, называется потенциалом скорости . Из уравнений Коши–Римана следует, что $$\varphi _{x}=-u,\quad \varphi _{y}=-v.$$ Таким образом, каждая аналитическая функция соответствует устойчивому течению несжимаемой, безвихревой, невязкой жидкости в плоскости. Действительная часть — это потенциал скорости, а мнимая часть — функция тока.

Электростатика

Согласно уравнениям Максвелла , электрическое поле ( u , v ) в двух измерениях пространства, независимое от времени, удовлетворяет условию $$\nabla \times (u,v,0)=(v_{x}-u_{y}){\hat {\mathbf {k} }}=\mathbf {0} ,$$ и $$\nabla \cdot (u,v)=\rho ,$$ где ρ — плотность заряда. Первое уравнение Максвелла представляет собой условие интегрируемости дифференциала $$d\varphi =-u\,dx-v\,dy,$$ поэтому электрический потенциал φ может быть построен так, чтобы удовлетворять $$\varphi _{x}=-u,\quad \varphi _{y}=-v.$$ Тогда из второго уравнения Максвелла следует, что $$\varphi _{xx}+\varphi _{yy}=-\rho ,$$ что представляет собой уравнение Пуассона . Уравнение Лапласа можно использовать в трехмерных задачах электростатики и течения жидкости так же, как и в двухмерных.

В трех измерениях

Фундаментальное решение

уравнения Фундаментальное решение Лапласа удовлетворяет условию $$\Delta u=u_{xx}+u_{yy}+u_{zz}=-\delta (x-x',y-y',z-z'),$$ где дельта-функция Дирака δ обозначает единичный источник, сосредоточенный в точке ( x ′, y ′, z ′) . Ни одна функция не обладает этим свойством: на самом деле это распределение , а не функция; но его можно рассматривать как предел функций, интегралы которых по пространству равны единице и чья опора (область, где функция не равна нулю) сжимается до точки (см. слабое решение ). Для этого уравнения обычно принимают другое соглашение о знаках, чем обычно при определении фундаментальных решений. С таким выбором знака часто удобно работать, поскольку −Δ — положительный оператор . Таким образом, определение фундаментального решения подразумевает, что если лапласиан u интегрируется по любому объему, охватывающему исходную точку, то $$\iiint _{V}\nabla \cdot \nabla u\,dV=-1.$$

Уравнение Лапласа не меняется при вращении координат, и, следовательно, мы можем ожидать, что фундаментальное решение может быть получено среди решений, которые зависят только от расстояния r от исходной точки. Если мы выберем объем в виде шара радиуса a вокруг точки источника, то из теоремы о расходимости Гаусса следует, что $$-1=\iiint _{V}\nabla \cdot \nabla u\,dV=\iint _{S}{\frac {du}{dr}}\,dS=\left.4\pi a^{2}{\frac {du}{dr}}\right|_{r=a}.$$

Отсюда следует, что $${\frac {du}{dr}}=-{\frac {1}{4\pi r^{2}}},$$ на сфере радиуса r с центром в исходной точке и, следовательно, $$u={\frac {1}{4\pi r}}.$$

Обратите внимание, что с соглашением о противоположных знаках (используемым в физике ) это потенциал , генерируемый точечной частицей , для силы закона обратных квадратов , возникающей при решении уравнения Пуассона . Аналогичный аргумент показывает, что в двух измерениях $$u=-{\frac {\log(r)}{2\pi }}.$$ где log( r ) обозначает натуральный логарифм . Обратите внимание, что с противоположным соглашением знаков это потенциал, создаваемый точечным стоком (см. точечная частица ), который является решением уравнений Эйлера в двумерном несжимаемом потоке .

функция Грина

Функция Грина которое также удовлетворяет подходящему условию на границе S объема V. — это фундаментальное решение , Например, $$G(x,y,z;x',y',z')$$ может удовлетворить $$\nabla \cdot \nabla G=-\delta (x-x',y-y',z-z')\qquad {\text{in }}V,$$ $$G=0\quad {\text{if}}\quad (x,y,z)\qquad {\text{on }}S.$$

Теперь, если u — любое решение уравнения Пуассона в V : $$\nabla \cdot \nabla u=-f,$$

и u принимает граничные значения g на S , то мы можем применить тождество Грина (следствие теоремы о дивергенции), которое гласит, что

$$\iiint _{V}\left[G\,\nabla \cdot \nabla u-u\,\nabla \cdot \nabla G\right]\,dV=\iiint _{V}\nabla \cdot \left[G\nabla u-u\nabla G\right]\,dV=\iint _{S}\left[Gu_{n}-uG_{n}\right]\,dS.\,$$

Обозначения u _n и G _n обозначают нормальные производные на S . Ввиду условий, которым удовлетворяют u и G , этот результат упрощается до

$$u(x',y',z')=\iiint _{V}Gf\,dV+\iint _{S}G_{n}g\,dS.\,$$

Таким образом, функция Грина описывает влияние на ( x ', y ', z ') данных f и g . Для случая внутренней части сферы радиуса а функция Грина может быть получена посредством отражения ( Зоммерфельд, 1949 ): точка источника Р, находящаяся на расстоянии р от центра сферы, отражается вдоль своей радиальной линии к а. точка P', которая находится на расстоянии

$$\rho '={\frac {a^{2}}{\rho }}.\,$$

Обратите внимание: если P находится внутри сферы, то P′ будет вне сферы. Функция Грина тогда определяется выражением $${\frac {1}{4\pi R}}-{\frac {a}{4\pi \rho R'}},\,$$ где R обозначает расстояние до точки источника P , а R ′ обозначает расстояние до отраженной точки P ′. Следствием этого выражения для функции Грина является интегральная формула Пуассона . Пусть ρ , θ и φ — сферические координаты исходной P. точки Здесь θ обозначает угол с вертикальной осью, что противоречит обычным американским математическим обозначениям, но соответствует стандартной европейской и физической практике. Тогда решение уравнения Лапласа с граничными значениями Дирихле g внутри сферы определяется формулой ( Zachmanoglou & Thoe 1986 , стр. 228) $$u(P)={\frac {1}{4\pi }}a^{3}\left(1-{\frac {\rho ^{2}}{a^{2}}}\right)\int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\pi }{\frac {g(\theta ',\varphi ')\sin \theta '}{(a^{2}+\rho ^{2}-2a\rho \cos \Theta )^{\frac {3}{2}}}}d\theta '\,d\varphi '$$ где $$\cos \Theta =\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\varphi -\varphi ')$$ косинус угла между ( θ , φ ) и ( θ ′, φ ′) . Простое следствие этой формулы состоит в том, что если u — гармоническая функция, то значение u в центре сферы является средним значением ее значений на сфере. Это свойство среднего значения немедленно подразумевает, что непостоянная гармоническая функция не может принять свое максимальное значение во внутренней точке.

Сферические гармоники Лапласа

Основная статья: Сферические гармоники § Сферические гармоники Лапласа

Действительные (лапласовские) сферические гармоники Y _ℓ ^м для ℓ = 0,..., 4 (сверху вниз) и m = 0,..., ℓ (слева направо). Зональные, секторальные и тессеральные гармоники изображены вдоль крайнего левого столбца, главной диагонали и в других местах соответственно. (Гармоники отрицательного порядка $Y_{\ell }^{-m}$ будет показано повернутым вокруг оси z на $90^{\circ }/m$ по отношению к положительному порядку.)

Уравнение Лапласа в сферических координатах :

$$\nabla ^{2}f={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial f}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial f}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial \varphi ^{2}}}=0.$$

Рассмотрим задачу поиска решений вида f ( р , θ , φ ) знак равно р ( р ) Y ( θ , φ ) . В результате разделения переменных в результате применения уравнения Лапласа получаются два дифференциальных уравнения:

$${\frac {1}{R}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)=\lambda ,\qquad {\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial Y}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{Y}}{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}Y}{\partial \varphi ^{2}}}=-\lambda .$$

Второе уравнение можно упростить, если предположить, что Y имеет вид Y ( θ , φ ) = Θ( θ ) Φ( φ ) . Повторное применение разделения переменных ко второму уравнению уступает место паре дифференциальных уравнений.

$${\frac {1}{\Phi }}{\frac {d^{2}\Phi }{d\varphi ^{2}}}=-m^{2}$$ $$\lambda \sin ^{2}\theta +{\frac {\sin \theta }{\Theta }}{\frac {d}{d\theta }}\left(\sin \theta {\frac {d\Theta }{d\theta }}\right)=m^{2}$$

для некоторого числа m . Априори m является комплексной константой, но поскольку Φ должна быть периодической функцией , период которой делит 2 π нацело , m обязательно является целым числом, а Φ является линейной комбинацией комплексных экспонент e ^{± imφ} . Функция решения Y ( θ , φ ) регулярна в полюсах сферы, где θ = 0, π . Наложение этой закономерности на решение Θ второго уравнения в граничных точках области представляет собой задачу Штурма–Лиувилля , которая заставляет параметр λ иметь вид λ = ℓ ( ℓ + 1) для некоторого неотрицательного целого числа с ℓ ≥ | м | ; это также объясняется ниже с точки зрения орбитального углового момента . Кроме того, замена переменных t = cos θ преобразует это уравнение в уравнение Лежандра , решение которого кратно соответствующему полиному Лежандра P _ℓ ^м (потому что θ ) . Наконец, уравнение для R имеет решения вида R ( r ) = A r ^ℓ + Б р ^{- ℓ - 1} ; требуя, чтобы решение было регулярным во всем R ³ силы B = 0 .

Здесь предполагалось, что решение имеет специальный вид Y ( θ , φ ) = Θ( θ ) Φ( φ ) . Для данного значения ℓ существует 2 ℓ + 1 независимых решений этого вида, по одному для каждого целого числа m с − ℓ ≤ m ≤ ℓ . Эти угловые решения являются произведением тригонометрических функций , представленных здесь в виде комплексной экспоненты , и связанных с ними полиномов Лежандра: $$Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=Ne^{im\varphi }P_{\ell }^{m}(\cos {\theta })$$ которые выполняют $$r^{2}\nabla ^{2}Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi )=-\ell (\ell +1)Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ).$$

Здесь Y _ℓ ^м называется сферической гармонической функцией степени ℓ и порядка m , P _ℓ ^м — связанный полином Лежандра , N — константа нормализации, а θ и φ представляют широту и долготу соответственно. В частности, широта θ , или полярный угол, колеблется от 0 на Северном полюсе до π /2 на экваторе, до π на Южном полюсе, а долгота φ или азимут может принимать все значения с 0 ≤ φ. < 2 π . Для фиксированного целого числа ℓ каждое решение Y ( θ , φ ) проблемы собственных значений $$r^{2}\nabla ^{2}Y=-\ell (\ell +1)Y$$ является линейной комбинацией Y _ℓ ^м . Фактически, для любого такого решения r ^ℓ Y ( θ , φ ) — это выражение в сферических координатах однородного полинома гармонического (см. ниже ), поэтому подсчёт размерностей показывает, что существует 2 ℓ + 1 линейно независимых таких полиномов.

Общее решение уравнения Лапласа в шаре с центром в начале координат представляет собой линейную комбинацию сферических гармонических функций, умноженных на соответствующий масштабный коэффициент r. ^ℓ , $$f(r,\theta ,\varphi )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\sum _{m=-\ell }^{\ell }f_{\ell }^{m}r^{\ell }Y_{\ell }^{m}(\theta ,\varphi ),$$ где f _ℓ ^м являются константами, а факторы r ^ℓ Ю _ℓ ^м называются твердыми гармониками . Такое разложение справедливо в шаре $$r<R={\frac {1}{\limsup _{\ell \to \infty }|f_{\ell }^{m}|^{{1}/{\ell }}}}.$$

Для $r>R$, сплошные гармоники с отрицательными степенями $r$ вместо этого выбираются. В этом случае необходимо расширить решение известных областей в ряд Лорана (около $r=\infty$), вместо ряда Тейлора (о $r=0$), чтобы сопоставить условия и найти $f_{\ell }^{m}$.

Электростатика

Позволять $\mathbf {E}$ быть электрическим полем, $\rho$ быть плотностью электрического заряда, а $\varepsilon _{0}$ быть диэлектрическая проницаемость свободного пространства. Тогда закон Гаусса для электричества (первое уравнение Максвелла) в дифференциальной форме гласит: $$\nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.$$

Теперь электрическое поле можно выразить как отрицательный градиент электрического потенциала. $V$, $$\mathbf {E} =-\nabla V,$$ если поле безвихревое, $\nabla \times \mathbf {E} =\mathbf {0}$. Безвихревость $\mathbf {E}$ также известно как электростатическое состояние.

$$\nabla \cdot \mathbf {E} =\nabla \cdot (-\nabla V)=-\nabla ^{2}V$$ $$\nabla ^{2}V=-\nabla \cdot \mathbf {E}$$

Подставляя это соотношение в закон Гаусса, мы получаем уравнение Пуассона для электричества: $$\nabla ^{2}V=-{\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}}.$$

В частном случае области без источников $\rho =0$ а уравнение Пуассона сводится к уравнению Лапласа для электрического потенциала.

Если электростатический потенциал $V$ указывается на границе региона ${\mathcal {R}}$, то оно определено однозначно. Если ${\mathcal {R}}$ окружен проводящим материалом с заданной плотностью заряда $\rho$, и если общий заряд $Q$ известно, то $V$ также уникален.

Потенциал, который не удовлетворяет уравнению Лапласа вместе с граничным условием, является недействительным электростатическим потенциалом.

Гравитация

Позволять $\mathbf {g}$ быть гравитационным полем, $\rho$ плотность массы и $G$ гравитационная постоянная. Тогда закон Гаусса для гравитации в дифференциальной форме имеет вид $$\nabla \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho .$$

Гравитационное поле консервативно и поэтому может быть выражено как отрицательный градиент гравитационного потенциала: $${\begin{aligned}\mathbf {g} &=-\nabla V,\\\nabla \cdot \mathbf {g} &=\nabla \cdot (-\nabla V)=-\nabla ^{2}V,\\\implies \nabla ^{2}V&=-\nabla \cdot \mathbf {g} .\end{aligned}}$$

Используя дифференциальную форму закона гравитации Гаусса, мы имеем $$\nabla ^{2}V=4\pi G\rho ,$$ которое представляет собой уравнение Пуассона для гравитационных полей.

В пустом пространстве, $\rho =0$ и у нас есть $$\nabla ^{2}V=0,$$ которое представляет собой уравнение Лапласа для гравитационных полей.

В метрике Шварцшильда

С. Персидес решил уравнение Лапласа в пространстве-времени Шварцшильда на гиперповерхностях постоянного t . Используя канонические переменные r , θ , φ, решение имеет вид $$\Psi (r,\theta ,\varphi )=R(r)Y_{l}(\theta ,\varphi ),$$ где Y _l ( θ , φ ) — сферическая гармоническая функция , и $$R(r)=(-1)^{l}{\frac {(l!)^{2}r_{s}^{l}}{(2l)!}}P_{l}\left(1-{\frac {2r}{r_{s}}}\right)+(-1)^{l+1}{\frac {2(2l+1)!}{(l)!^{2}r_{s}^{l+1}}}Q_{l}\left(1-{\frac {2r}{r_{s}}}\right).$$

Здесь P _l и Q _l — функции Лежандра первого и второго рода соответственно, а r _s — радиус Шварцшильда . Параметр l — произвольное неотрицательное целое число.

См. также

• 6-сферные координаты — система координат, при которой уравнение Лапласа становится R -разделимым.
• Уравнение Гельмгольца , общий случай уравнения Лапласа.
• Сферическая гармоника
• Квадратурные домены
• Потенциальная теория
• Потенциальный поток
• Преобразование Бейтмана
• Теорема Эрншоу использует уравнение Лапласа, чтобы показать, что стабильная статическая ферромагнитная подвеска невозможна.
• Вектор Лапласа
• Фундаментальное решение

Источники

• Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1962), Методы математической физики, Том I , Wiley-Interscience .
• Зоммерфельд, А. (1949). Уравнения в частных производных в физике . Нью-Йорк: Академическая пресса.
• Захманоглу, ЕС; То, Дейл В. (1986). Введение в уравнения в частных производных с приложениями . Нью-Йорк: Дувр. ISBN  9780486652511 .

Дальнейшее чтение

• Эванс, LC (1998). Уравнения в частных производных . Провиденс: Американское математическое общество. ISBN  978-0-8218-0772-9 .
• Петровский, ИГ (1967). Уравнения в частных производных . Филадельфия: У. Б. Сондерс.
• Полянин А.Д. (2002). Справочник по линейным уравнениям в частных производных для инженеров и ученых . Бока-Ратон: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN  978-1-58488-299-2 .

Внешние ссылки

• «Уравнение Лапласа» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Уравнение Лапласа (частные решения и краевые задачи) в EqWorld: Мир математических уравнений.
• Примеры начально-краевых задач с использованием уравнения Лапласа с сайта exampleproblems.com.
• Вайсштейн, Эрик В. «Уравнение Лапласа» . Математический мир .
• Узнайте, как краевые задачи, определяемые уравнением Лапласа, можно решить численно методом граничных элементов.