Квадратурные домены

В разделе математики , называемом теорией потенциала , квадратурная область в двумерном реальном евклидовом пространстве представляет собой область D ( открытое связное множество ) вместе сконечное подмножество { z ₁ , …, z _k } в D такое, что для каждой функции u, гармонической и интегрируемой по D относительно меры площади, интеграл от u относительно этой меры задается «квадратурной формулой»; то есть,

$\iint _{D}u\,dxdy=\sum _{j=1}^{k}c_{j}u(z_{j}),$

где c _j — ненулевые комплексные константы, независимые от u .

Самый очевидный пример — когда D — круглый диск: здесь k = 1, z ₁ — центр круга, а c ₁ — площадь D. Эта квадратурная формула выражает свойство среднего значения гармонических функций по отношению к дискам. .

Известно, что квадратурные области существуют для всех значений k . Существует аналогичное определение квадратурных областей в евклидовом пространстве размерности d больше 2. Существует также альтернативная, электростатическая интерпретация квадратурных областей: область D является квадратурной областью, если равномерное распределение электрического заряда на D создает такую ​​же электростатическую поле вне D, как и k -кортеж точечных зарядов в точках z ₁ , …, z _k .

Квадратурные области и их многочисленные обобщения (например, замена меры площади мерой длины на границе D) в последние годы встречались в различных связях, таких как обратные задачи ньютоновской гравитации , течения Хеле-Шоу вязких жидкостей и чисто математическая изопериметрия. проблемы, и интерес к ним, похоже, неуклонно растет. Они были предметом международной конференции в Калифорнийском университете в Санта-Барбаре в 2003 году, и состояние дел на тот момент можно увидеть в материалах этой конференции, опубликованных Birkhäuser Verlag.

Ссылки

• Эбенфельт, Питер (2005). Квадратурные области и их приложения: юбилейный том Гарольда С. Шапиро . Биркхойзер. ISBN  3-7643-7145-5 . Проверено 11 апреля 2007 г.
• Ааронов, Дов; Шапиро, Гарольд С. (1976). «Области, в которых аналитические функции удовлетворяют квадратурным тождествам». Журнал Математического Анализа . 30 :39–73. дои : 10.1007/BF02786704 . S2CID   121520007 .