Поток Хеле-Шоу

Поток Хеле-Шоу определяется как поток, происходящий между двумя параллельными плоскими пластинами, разделенными узким зазором, удовлетворяющим определенным условиям, названным в честь Генри Селби Хеле-Шоу , который изучал эту проблему в 1898 году. Различные задачи механики жидкости можно аппроксимировать течениями Хеле-Шоу, поэтому исследование этих течений имеет важное значение. Приближение к потоку Хеле-Шоу особенно важно для микропотоков. Это связано с технологией производства, которая создает неглубокие плоские конфигурации, и обычно низкими числами Рейнольдса микропотоков.

Условия, которые необходимо удовлетворить, таковы:

${\frac {h}{l}}\ll 1,\qquad {\frac {Uh}{\nu }}{\frac {h}{l}}\ll 1$

где $h$ - ширина зазора между пластинами, $U$ – характерный масштаб скорости, $l$ – характерный масштаб длины в направлениях, параллельных пластине, а $\nu$ – кинематическая вязкость. В частности, число Рейнольдса $Re=Uh/\nu$ не всегда должен быть малым, но может быть порядка единицы или больше, если он удовлетворяет условию $Re(h/l)\ll 1.$ По числу Рейнольдса $Re_{l}=Ul/\nu$ на основе $l$, условие становится $Re_{l}(h/l)^{2}\ll 1.$

Основное уравнение течений Хеле-Шоу идентично уравнению невязкого потенциального течения и течению жидкости через пористую среду ( закон Дарси ). Таким образом, это позволяет визуализировать этот вид потока в двух измерениях.

Математическая формулировка потоков Хеле-Шоу.

Схематическое описание конфигурации Хеле-Шоу.

Позволять $x$, $y$ - направления, параллельные плоским пластинам, а $z$ перпендикулярное направление, при этом $h$ представляет собой зазор между пластинами (при $z=0,h$) и $l$ быть соответствующим характерным масштабом длины в $xy$-направления. В указанных выше пределах уравнения Навье–Стокса для несжимаемой жидкости в первом приближении принимают вид

${\begin{aligned}{\frac {\partial p}{\partial x}}=\mu {\frac {\partial ^{2}v_{x}}{\partial z^{2}}},\quad {\frac {\partial p}{\partial y}}&=\mu {\frac {\partial ^{2}v_{y}}{\partial z^{2}}},\quad {\frac {\partial p}{\partial z}}=0,\\{\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}+{\frac {\partial v_{z}}{\partial z}}&=0,\\\end{aligned}}$

где $\mu$ это вязкость . Эти уравнения аналогичны уравнениям пограничного слоя , за исключением того, что в них отсутствуют нелинейные члены. Тогда в первом приближении после наложения граничных условий нескользкости при $z=0,h$,

${\begin{aligned}p&=p(x,y),\\v_{x}&=-{\frac {1}{2\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}z(h-z),\\v_{y}&=-{\frac {1}{2\mu }}{\frac {\partial p}{\partial y}}z(h-z)\end{aligned}}$

Уравнение для $p$ получается из уравнения неразрывности. Интегрируя уравнение неразрывности поперек канала и накладывая граничные условия непроникновения на стенках, имеем

$\int _{0}^{h}\left({\frac {\partial v_{x}}{\partial x}}+{\frac {\partial v_{y}}{\partial y}}\right)dz=0,$

что приводит к уравнению Лапласа :

${\frac {\partial ^{2}p}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}p}{\partial y^{2}}}=0.$

Это уравнение дополняется соответствующими граничными условиями. Например, граничные условия непроникновения на боковых стенках будут следующими: ${\mathbf {\nabla } }p\cdot \mathbf {n} =0,$, где $\mathbf {n}$ — единичный вектор, перпендикулярный боковой стенке (заметим, что на боковых стенках нельзя накладывать граничные условия нескользкости). Границами также могут быть области, подверженные постоянному давлению, и в этом случае граничное условие Дирихле для $p$ подходит. Аналогичным образом можно использовать периодические граничные условия. Можно также отметить, что вертикальная составляющая скорости в первом приближении равна

$v_{z}=0$

что следует из уравнения неразрывности. В то время как величина скорости ${\sqrt {v_{x}^{2}+v_{y}^{2}}}$ варьируется в $z$ направление, направление вектора скорости $\tan ^{-1}(v_{y}/v_{x})$ не зависит от $z$ направление, то есть модели оптимизации на каждом уровне аналогичны. Вектор завихренности ${\boldsymbol {\omega }}$ имеет компоненты

$\omega _{x}={\frac {1}{2\mu }}{\frac {\partial p}{\partial y}}(h-2z),\quad \omega _{y}=-{\frac {1}{2\mu }}{\frac {\partial p}{\partial x}}(h-2z),\quad \omega _{z}=0.$

С $\omega _{z}=0$, модели обтекания в $xy$Таким образом, -плоскость соответствует потенциальному потоку (безвихревому потоку). В отличие от потенциального потока , здесь циркуляция $\Gamma$ вокруг любого замкнутого контура $C$ (параллельно $xy$-плоскость), независимо от того, охватывает ли она твердый объект или нет, равна нулю,

$\Gamma =\oint _{C}v_{x}dx+v_{y}dy=-{\frac {1}{2\mu }}z(h-z)\oint _{C}\left({\frac {\partial p}{\partial x}}dx+{\frac {\partial p}{\partial y}}dy\right)=0$

где последний интеграл равен нулю, поскольку $p$ является однозначной функцией и интегрирование производится по замкнутому контуру.

Усредненная по глубине форма

В канале Хеле-Шоу можно определить усредненную по глубине версию любой физической величины, скажем $\varphi$ к

$\langle \varphi \rangle \equiv {\frac {1}{h}}\int _{0}^{h}\varphi dz.$

Тогда двумерный вектор скорости, осредненный по глубине $\mathbf {u} \equiv \langle \mathbf {v} _{xy}\rangle$, где $\mathbf {v} _{xy}=(v_{x},v_{y})$, удовлетворяет закону Дарси ,

$-{\frac {12\mu }{h^{2}}}\mathbf {u} =\nabla p\quad {\text{with}}\quad \nabla \cdot \mathbf {u} =0.$

Дальше, $\langle {\boldsymbol {\omega }}\rangle =0.$

Ячейка Whole-Shaw

Термин «ячейка Хеле-Шоу» обычно используется в случаях, когда жидкость впрыскивается в неглубокую геометрию сверху или снизу геометрии, а также когда жидкость ограничена другой жидкостью или газом. Для таких течений граничные условия определяются давлениями и поверхностными натяжениями.

См. также

• Агрегация, ограниченная диффузией
• Теория смазки
• Уравнение тонкой пленки
• клатч Хеле-Шоу