Уравнение тонкой пленки

В механике жидкости уравнение тонкой пленки представляет собой уравнение в частных производных , которое приблизительно предсказывает временную эволюцию толщины h жидкой пленки , лежащей на поверхности. Уравнение выведено с помощью теории смазки , которая основана на предположении, что масштабы длин в направлениях поверхности значительно больше, чем в направлении, нормальном к поверхности. В безразмерной форме уравнения Навье-Стокса требование состоит в том, чтобы члены порядка ε ² и ε ² Re пренебрежимо малы, где ε ≪ ​​1 — соотношение сторон, а Re — число Рейнольдса . Это существенно упрощает основные уравнения. Однако теория смазки, как следует из названия, обычно основывается на потоке между двумя твердыми поверхностями, следовательно, жидкость образует смазочный слой. Уравнение тонкой пленки справедливо, когда имеется одна свободная поверхность . При наличии двух свободных поверхностей течение следует рассматривать как вязкий лист.

Определение

Основная форма двумерного уравнения тонкой пленки:

${\frac {\partial h}{\partial t}}=-\nabla \cdot \mathbf {Q}$

где поток жидкости $\mathbf {Q}$ является

$\mathbf {Q} ={\frac {h^{3}}{3\mu }}\left[\nabla \right(\gamma \nabla ^{2}h+\rho \mathbf {g} \cdot \mathbf {{\hat {e}}_{n}} )+\rho \mathbf {g} \cdot \mathbf {{\hat {e}}_{i}} ]+{\frac {h^{2}}{2\mu }}\mathbf {A}$ ,

µ γ — вязкость вязкость) жидкости, h ( x , y , t ) — толщина пленки, (или динамическая — межфазное натяжение между жидкостью и газовой фазой над ней, $\rho$ жидкости плотность и $\mathbf {A}$ поверхностный сдвиг. Поверхностный сдвиг может быть вызван потоком вышележащего газа или градиентами поверхностного натяжения. Векторы $\mathbf {{\hat {e}}_{i}}$ представляют собой единичный вектор в направлениях координат поверхности, скалярное произведение служит для идентификации компонента силы тяжести в каждом направлении. Вектор $\mathbf {{\hat {e}}_{n}}$ – единичный вектор, перпендикулярный поверхности.

Обобщенное уравнение тонкой пленки обсуждается в

${\frac {\partial h}{\partial t}}=-{\frac {1}{3\mu }}\nabla \cdot \left(h^{n}\,\nabla \left(\gamma \,\nabla ^{2}h\right)\right)$ .

Когда $n<3$ это может представлять собой течение со скольжением по всей твердой поверхности $n=1$ описывает толщину тонкой перемычки между двумя массами жидкости в ячейке Хеле-Шоу . Значение $n=3$ представляет собой поток, вызванный поверхностным натяжением.

Форма, часто исследуемая в отношении разрыва тонких пленок жидкости, включает добавление расклинивающего давления Π( h ) в уравнение: как в

${\frac {\partial h}{\partial t}}=-{\frac {1}{3\mu }}\nabla \cdot \left(h^{3}\nabla \left(\gamma \,\nabla ^{2}h-\Pi (h)\right)\right)$

где функция Π( h ) обычно имеет очень малое значение при умеренно-большой толщине пленки h и очень быстро растет, когда h приближается к нулю.

Свойства

В статье рассмотрены физические приложения, свойства и поведение решения уравнения тонкой пленки. С учетом фазового перехода на подложке получена форма уравнения тонкой пленки для произвольной поверхности. Подробное исследование стационарного течения тонкой пленки вблизи движущейся линии контакта приведено в работе. Для предела текучести исследовано течение жидкости под действием силы тяжести и поверхностного натяжения.

Для потока, вызванного чисто поверхностным натяжением, легко увидеть, что одним статическим (независящим от времени) решением является параболоид вращения.

$h(x,y)=A-B(x^{2}+y^{2})\,$

и это согласуется с экспериментально наблюдаемой сферической формой шляпки статической сидячей капли , поскольку «плоская» сферическая крышка, имеющая небольшую высоту, может быть точно аппроксимирована во втором порядке параболоидом. Однако это неправильно обрабатывает окружность капли, где значение функции h ( x , y ) падает до нуля и ниже, поскольку реальная физическая пленка жидкости не может иметь отрицательную толщину. Это одна из причин, почему член расклинивающего давления Π( h ) важен в теории.

Одна из возможных реалистических форм члена расклинивающего давления:

$\Pi (h)=B\left[\left({\frac {h_{*}}{h}}\right)^{n}-\left({\frac {h_{*}}{h}}\right)^{m}\right]$

где B , h _* , m и n — некоторые параметры. Эти константы и поверхностное натяжение $\gamma$ может быть приблизительно связано с равновесным углом контакта жидкость-твердое тело $\theta _{e}$ через уравнение

$B\approx {\frac {(m-1)(n-1)}{h_{*}(n-m)}}\gamma (1-\cos \theta _{e})$.

Уравнение тонкой пленки можно использовать для моделирования некоторых поведений жидкостей, таких как пальцевая нестабильность в потоке, вызванном силой тяжести.

Отсутствие производной по времени второго порядка в уравнении тонкой пленки является результатом предположения о малом числе Рейнольдса при его выводе, что позволяет пренебречь инерционными членами, зависящими от плотности жидкости. $\rho$. Это чем-то похоже на ситуацию с уравнением Уошберна , которое описывает капиллярное течение жидкости в тонкой трубке.

См. также

• Уравнение в частных производных
• Теория смазки
• Расклинивающее давление

Внешние ссылки

• Вязкие тонкие пленки - Институт Макса Планка