Уравнение Уошберна

В физике уравнение Уошберна описывает капиллярное течение в пучке параллельных цилиндрических трубок; с некоторыми проблемами оно распространяется также на пропитку пористых материалов. Уравнение названо в честь Эдварда Уайта Уошберна ; также известное как уравнение Лукаса – Уошберна , учитывая, что Ричард Лукас написал аналогичную статью тремя годами ранее, или уравнение Белла-Камерона-Лукаса-Уошберна , учитывая открытие Дж. М. Беллом и Ф. К. Кэмероном формы уравнения в 1906 году.

Вывод

Измерение смачиваемости порошка методом Уошберна.

В наиболее общей форме уравнение Лукаса Уошберна описывает длину проникновения ( $L$) жидкости в капиллярную пору или трубку с течением времени $t$ как $L=(Dt)^{\frac {1}{2}}$, где $D$ представляет собой упрощенный коэффициент диффузии. Это соотношение, справедливое для различных ситуаций, отражает суть уравнения Лукаса и Уошберна и показывает, что капиллярное проникновение и транспорт жидкости через пористые структуры демонстрируют диффузионное поведение, подобное тому, которое происходит во многих физических и химических системах. Коэффициент диффузии $D$ определяется геометрией капилляра, а также свойствами проникающей жидкости. Жидкость, имеющая динамическую вязкость $\eta$ и поверхностное натяжение $\gamma$ проникнет на расстояние $L$ в капилляр, радиус пор которого равен $r$ следуя за отношениями:

$L={\sqrt {\frac {\gamma rt\cos(\phi )}{2\eta }}}$

Где $\phi$ — угол контакта между проникающей жидкостью и твердым телом (стенкой трубы).

Уравнение Уошберна также обычно используется для определения угла контакта жидкости с порошком с помощью силового тензиометра .

В случае пористых материалов возникает много вопросов как о физическом смысле рассчитанного радиуса пор, так и о физическом значении рассчитанного радиуса пор. $r$ и реальная возможность использовать это уравнение для расчета угла смачивания твердого тела. Уравнение выведено для капиллярного течения в цилиндрической трубке в отсутствие гравитационного поля , но является достаточно точным во многих случаях, когда капиллярная сила еще значительно превышает силу гравитации.

В своей статье 1921 года Уошберн применил закон Пуазейля для движения жидкости в круглой трубке. Подставив выражение для дифференциального объема через длину $l$ жидкости в трубке $dV=\pi r^{2}dl$, получается

${\frac {\delta l}{\delta t}}={\frac {\sum P}{8r^{2}\eta l}}(r^{4}+4\epsilon r^{3})$

где $\sum P$ представляет собой сумму участвующих давлений, таких как атмосферное давление $P_{A}$, гидростатическое давление $P_{h}$ и эквивалентное давление за счет капиллярных сил $P_{c}$. $\eta$ - вязкость жидкости, а $\epsilon$ – коэффициент скольжения, который для смачивающих материалов принимается равным 0. $r$ – радиус капилляра. Давления, в свою очередь, можно записать как

$P_{h}=hg\rho -lg\rho \sin \psi$

$P_{c}={\frac {2\gamma }{r}}\cos \phi$

где $\rho$ плотность жидкости и $\gamma$ его поверхностное натяжение . $\psi$ - угол трубки относительно горизонтальной оси. $\phi$ – угол контакта жидкости с капиллярным материалом. первого порядка Подстановка этих выражений приводит к дифференциальному уравнению для расстояние, на которое жидкость проникает в трубку $l$:

${\frac {\delta l}{\delta t}}={\frac {[P_{A}+g\rho (h-l\sin \psi )+{\frac {2\gamma }{r}}\cos \phi ](r^{4}+4\epsilon r^{3})}{8r^{2}\eta l}}$

постоянная Уошберна

Константа Уошберна может быть включена в уравнение Уошберна.

Он рассчитывается следующим образом:

${\frac {10^{4}\left[\mathrm {\frac {\mu m}{cm}} \right]\left[\mathrm {\frac {N}{m^{2}}} \right]}{68947.6\left[\mathrm {\frac {dynes}{cm^{2}}} \right]}}=0.1450(38)$

Инерция жидкости

При выводе уравнения Уошберна инерция жидкости игнорируется как незначительная. Это видно из зависимости длины $L$ квадратному корню из времени, $L\propto {\sqrt {t}}$, что дает сколь угодно большую скорость dL/dt для малых значений t . Усовершенствованная версия уравнения Уошберна, называемая уравнением Бозанке , учитывает инерцию жидкости.

Приложения

Струйная печать

Проникновение жидкости в подложку, текущую под собственным капиллярным давлением, можно рассчитать с помощью упрощенной версии уравнения Уошберна:

$l=\left[{\frac {r\cos \theta }{2}}\right]^{\frac {1}{2}}\left[{\frac {\gamma }{\eta }}\right]^{\frac {1}{2}}t^{\frac {1}{2}}$

где отношение поверхностного натяжения к вязкости $\left[{\tfrac {\gamma }{\eta }}\right]^{\frac {1}{2}}$ представляет скорость проникновения чернил в подложку. В действительности испарение растворителей ограничивает степень проникновения жидкости в пористый слой, и поэтому для значимого моделирования физики струйной печати целесообразно использовать модели, которые учитывают эффекты испарения при ограниченном капиллярном проникновении.

Еда

По словам физика и Шнобелевской премии лауреата Лена Фишера , уравнение Уошберна может быть чрезвычайно точным для более сложных материалов, включая печенье . После неофициального празднования под названием «Национальный день макания печенья» в некоторых газетных статьях это уравнение цитировалось как уравнение Фишера .

Новый капиллярный насос

Поведение потока в традиционном капилляре соответствует уравнению Уошберна. В последнее время появились новые капиллярные насосы с постоянной скоростью перекачки, независимой от вязкости жидкости. были разработаны, которые имеют значительное преимущество перед традиционным капиллярным насосом (у которого поведение потока соответствует поведению Уошберна, а именно, скорость потока непостоянна). Эти новые концепции капиллярных насосов имеют большой потенциал для улучшения результатов испытаний с боковым потоком .

См. также

• Уравнение Бозанке
• Ртутная интрузивная порометрия (MIP)

Внешние ссылки

• Измерение смачиваемости порошка методом Уошберна