Уравнение Бозанке

В теории капиллярности уравнение Бозанке представляет собой улучшенную модификацию более простой теории Лукаса-Уошберна о движении жидкости в тонкой капиллярной трубке или пористом материале , который можно аппроксимировать как большую совокупность капилляров. В модели Лукаса-Уошберна инерция жидкости игнорируется, что приводит к предположению, что поток непрерывен в условиях постоянного вязкого ламинарного течения Пуазейля, без учета эффектов массопереноса, подвергающегося ускорению, происходящему в начале потока и в точках изменения. Внутренняя капиллярная геометрия. Уравнение Бозанке — это дифференциальное уравнение второго порядка по производной по времени, аналогичное Второму закону Ньютона , и, следовательно, учитывающее инерцию жидкости. Уравнения движения, такие как уравнение Уошберна, которые пытаются объяснить скорость (а не ускорение) как пропорциональную движущей силе, часто описываются термином аристотелевской механики . ^{[ 1 ]}

Определение

При использовании обозначения $\eta$ для динамической вязкости, $\theta$ для угла контакта жидкость-твердое тело, $\gamma$ по поверхностному натяжению , $\rho$ для плотности жидкости, t для времени, r для радиуса поперечного сечения капилляра и x для расстояния, на которое продвинулась жидкость, уравнение движения Бозанке имеет вид ^{[ 2 ]}

{\frac {d}{dt}}\left(\pi r^{2}\rho x{\frac {dx}{dt}}\right)+8\pi \eta x{\frac {dx}{dt}}=2\pi r\gamma \cos \theta ,

предполагая, что движение полностью обусловлено поверхностным натяжением, без приложения давления на обоих концах капиллярной трубки.

Решение

Решение уравнения Бозанке можно разделить на два временных масштаба, во-первых, чтобы учесть начальное движение жидкости, рассматривая решение в пределе времени, приближающегося к 0, что дает форму ^{[ 2 ]}

x^{2}(t)-x^{2}(0)={\frac {2b}{a}}\left[t-{\frac {1}{a}}(1-e^{-at})\right]

где

a={\frac {8\eta }{\rho r^{2}}}

и

b={\frac {2\gamma \cos \theta }{\rho r}}.

В условиях короткого времени это показывает положение передней части мениска, пропорциональное времени, а не квадратный корень Лукаса-Уошберна из времени, а независимость вязкости демонстрирует поршневое течение.

По мере увеличения времени после начального времени ускорения уравнение распадается до знакомой формы Лукаса-Уошберна, зависящей от вязкости и квадратного корня из времени.

См. также

Ссылки

^ Артур Стиннер, «История силы: от Аристотеля до Эйнштейна», Phys. Образование. 29. (1994)
^ Jump up to: ^а ^б Йоахим Шелькопф, Патрик А.С. Гейн, Кэти Дж. Риджуэй, OMYA AG, Офтринген, Швейцария и Г. Питер Мэтьюз, «Влияние инерции на поглощение жидкости структурами покрытия бумаги», Университет Плимута, Великобритания

[1] Артур Стиннер, «История силы: от Аристотеля до Эйнштейна», Phys. Образование. 29. (1994)

[Schoelkopf-2] Jump up to: ^а ^б Йоахим Шелькопф, Патрик А.С. Гейн, Кэти Дж. Риджуэй, OMYA AG, Офтринген, Швейцария и Г. Питер Мэтьюз, «Влияние инерции на поглощение жидкости структурами покрытия бумаги», Университет Плимута, Великобритания

[ 1 ]

[ 2 ]