Гармоническая функция

В математике , математической физике и теории случайных процессов гармонической функцией называется дважды непрерывно дифференцируемая функция. $f\colon U\to \mathbb {R} ,$ где $U$ — открытое подмножество $\mathbb {R} ^{n},$ удовлетворяющее уравнению Лапласа , то есть

{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{1}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{2}^{2}}}+\cdots +{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{n}^{2}}}=0

везде

Ю.

на Обычно это записывается как

\nabla ^{2}f=0

или

\Delta f=0

Этимология термина «гармония» [ править ]

Дескриптор «гармоника» в названии гармонической функции происходит от точки на натянутой струне, которая испытывает гармоническое движение . Решение дифференциального уравнения для этого типа движения можно записать в терминах синусов и косинусов, функций, которые поэтому называются гармониками . Анализ Фурье предполагает разложение функций на единичной окружности по рядам этих гармоник. Рассматривая аналоги гармоник более высоких размерностей на единичной n -сфере , можно прийти к сферическим гармоникам . Эти функции удовлетворяют уравнению Лапласа, и со временем термин «гармоника» стал использоваться для обозначения всех функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа. ^[1]

Примеры [ править ]

Примерами гармонических функций двух переменных являются:

Действительная или мнимая часть любой голоморфной функции .
Функция $\,\!f(x,y)=e^{x}\sin y;$ это частный случай приведенного выше примера, поскольку $f(x,y)=\operatorname {Im} \left(e^{x+iy}\right),$ и $e^{x+iy}$ является голоморфной функцией . Вторая производная по x равна $\,\!e^{x}\sin y,$ а вторая производная по y равна $\,\!-e^{x}\sin y.$
Функция $\,\!f(x,y)=\ln \left(x^{2}+y^{2}\right)$ определено на $\mathbb {R} ^{2}\setminus \lbrace 0\rbrace .$ Это может описывать электрический потенциал линейного заряда или гравитационный потенциал длинной цилиндрической массы.

Примеры гармонических функций трех переменных приведены в таблице ниже с $r^{2}=x^{2}+y^{2}+z^{2}:$

Функция	Сингулярность
${\frac {1}{r}}$	Плата за единицу балла в пункте отправления
${\frac {x}{r^{3}}}$	x -направленный диполь в начале координат
$-\ln \left(r^{2}-z^{2}\right)\,$	Линия единичной плотности заряда на всей оси z
$-\ln(r+z)\,$	Линия единичной плотности заряда на отрицательной оси z
${\frac {x}{r^{2}-z^{2}}}\,$	Линия диполей, направленных по оси x, на всей z оси
${\frac {x}{r(r+z)}}\,$	Линия диполей, направленных по оси x, на отрицательной z оси

Гармонические функции, возникающие в физике, определяются их особенностями и граничными условиями (такими как граничные условия Дирихле или граничные условия Неймана ). В областях без границ добавление действительной или мнимой части любой целой функции даст гармоническую функцию с той же особенностью, поэтому в этом случае гармоническая функция не определяется ее особенностями; однако мы можем сделать решение уникальным в физических ситуациях, потребовав, чтобы оно приближалось к 0 по мере того, как r приближается к бесконечности. В этом случае единственность следует из теоремы Лиувилля .

Особые точки приведенных выше гармонических функций выражаются как « заряды » и « плотности зарядов », используя терминологию электростатики , и поэтому соответствующая гармоническая функция будет пропорциональна электростатическому потенциалу из-за этого распределения зарядов. Каждая приведенная выше функция дает другую гармоническую функцию при умножении на константу, повороте и/или добавлении константы. Обращение каждой функции даст другую гармоническую функцию , имеющую особенности, которые являются изображениями исходных особенностей в сферическом «зеркале». Кроме того, сумма любых двух гармонических функций даст еще одну гармоническую функцию.

Наконец, примеры гармонических функций от $n$ переменных:

Постоянные, линейные и аффинные функции на всех $\mathbb {R} ^{n}$ (например, электрический потенциал между обкладками конденсатора и гравитационный потенциал пластины)
Функция $f(x_{1},\dots ,x_{n})=\left({x_{1}}^{2}+\cdots +{x_{n}}^{2}\right)^{1-n/2}$ на $\mathbb {R} ^{n}\setminus \lbrace 0\rbrace$ для $n > 2$ .

Свойства [ править ]

Набор гармонических функций на данном открытом множестве $U$ можно рассматривать как ядро оператора Лапласа $∆$ и, следовательно, представляет собой векторное пространство над $\mathbb {R} \!:$ линейные комбинации гармонических функций снова гармоничны.

Если $f$ — гармоническая функция на $U$ , то все частные производные от $f$ также являются гармоническими функциями $U.$ на Оператор Лапласа $∆$ и оператор частной производной будут коммутировать на этом классе функций.

Во многих отношениях гармонические функции являются реальными аналогами голоморфных функций . Все гармонические функции аналитичны , то есть могут быть локально выражены в виде степенных рядов . Это общий факт об эллиптических операторах , ярким примером которых является лапласиан.

Равномерный предел сходящейся последовательности гармонических функций по-прежнему остается гармоническим. Это верно, поскольку каждая непрерывная функция, удовлетворяющая свойству среднего значения, является гармонической. Рассмотрим последовательность $(-\infty ,0)\times \mathbb {R}$ определяется ${\textstyle f_{n}(x,y)={\frac {1}{n}}\exp(nx)\cos(ny);}$ эта последовательность гармонична и равномерно сходится к нулевой функции; однако обратите внимание, что частные производные не сходятся равномерно к нулевой функции (производной нулевой функции). Этот пример показывает, как важно полагаться на свойство среднего значения и непрерывность, чтобы доказать, что предел является гармоничным.

функций с теорией Связи комплексных

Действительная и мнимая части любой голоморфной функции дают гармонические функции на $\mathbb {R} ^{2}$ (они называются парой гармонически сопряженных функций). Обратно, любая гармоническая функция $u$ на открытом подмножестве $Ω$ множества $\mathbb {R} ^{2}$ является локально вещественной частью голоморфной функции. Это сразу видно, заметив, что, написав $z=x+iy,$ сложная функция $g(z):=u_{x}-iu_{y}$ голоморфен в $Ω,$ поскольку удовлетворяет уравнениям Коши–Римана . Следовательно, $g$ локально имеет примитив $f$ , а $u$ — действительная часть $f$ с точностью до константы, поскольку $ux —$ действительная часть $f'=g.$

Хотя приведенное выше соответствие с голоморфными функциями справедливо только для функций двух действительных переменных, гармонические функции от $n$ переменных все же обладают рядом свойств, типичных для голоморфных функций. Они (настоящие) аналитики; у них есть принцип максимума и принцип среднего значения; для них справедлива теорема об устранении особенностей, а также теорема Лиувилля по аналогии с соответствующими теоремами теории комплексных функций.

Свойства гармонических функций [ править ]

Некоторые важные свойства гармонических функций можно вывести из уравнения Лапласа.

регулярности для гармонических функций Теорема о

Гармонические функции бесконечно дифференцируемы в открытых множествах. На самом деле гармонические функции действительно аналитичны .

Принцип максимума [ править ]

Гармонические функции удовлетворяют следующему принципу максимума : если $—$ непустое компактное подмножество U $ограниченное$ , то $f,$ K, $достигает$ максимума и минимума на границе K. $своего$ K Если $U$ связен когда , это означает, что $f$ не может иметь локальных максимумов или минимумов, за исключением исключительного случая, $f$ является постоянным . Аналогичные свойства можно показать и для субгармонических функций .

Свойство среднего значения [ править ]

Если $B (x, r)$ — шар с центром $x$ и радиусом $r$ , который полностью содержится в открытом множестве $\Omega \subset \mathbb {R} ^{n},$ тогда значение $u (x)$ гармонической функции $u:\Omega \to \mathbb {R}$ в центре шара определяется средним значением $u$ на поверхности шара; это среднее значение также равно среднему значению $u$ внутри шара. Другими словами,

u(x)={\frac {1}{n\omega _{n}r^{n-1}}}\int _{\partial B(x,r)}u\,d\sigma ={\frac {1}{\omega _{n}r^{n}}}\int _{B(x,r)}u\,dV

где

ω n

— объем единичного шара в

n

измерениях, а

σ

—

(n - 1)

-мерная поверхностная мера.

И наоборот, все локально интегрируемые функции, удовлетворяющие свойству (объема) среднего значения, одновременно бесконечно дифференцируемы и гармоничны.

С точки зрения сверток , если

\chi _{r}:={\frac {1}{|B(0,r)|}}\chi _{B(0,r)}={\frac {n}{\omega _{n}r^{n}}}\chi _{B(0,r)}

обозначает характеристическую функцию шара радиуса

r

относительно начала координат, нормированную так, что

{\textstyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}\chi _{r}\,dx=1,}

функция

u

гармонична на

Ω

тогда и только тогда, когда

u(x)=u*\chi _{r}(x)\;

как только

B(x,r)\subset \Omega .

Эскиз доказательства. Доказательство свойства среднего значения гармонических функций и его обратного следует сразу за наблюдением, что неоднородное уравнение для любого $0 < s < r$

\Delta w=\chi _{r}-\chi _{s}\;

допускает простое явное решение

w r,s

класса

C 1,1

с компактным носителем в

B (0, r)

. Таким образом, если

u

гармонична в

Ω

0=\Delta u*w_{r,s}=u*\Delta w_{r,s}=u*\chi _{r}-u*\chi _{s}\;

выполняется в множестве

Ω r

всех точек

x

в

Ω

с

\operatorname {dist} (x,\partial \Omega )>r.

Поскольку $u$ непрерывна в $Ω$ , $u*\chi _{s}$ сходится к $u$ при $s \to 0$ , показывая свойство среднего значения для $u$ в $Ω$ . И наоборот, если $u$ любой $L_{\mathrm {loc} }^{1}\;$ функция, удовлетворяющая свойству среднего значения в $Ω$ , то есть

u*\chi _{r}=u*\chi _{s}\;

выполняется в

Ω r

для всех

0 < s < r

, тогда, повторяя

m

раз свертку с

χ r

, получаем:

u=u*\chi _{r}=u*\chi _{r}*\cdots *\chi _{r}\,,\qquad x\in \Omega _{mr},

так что

ты

есть

C^{m-1}(\Omega _{mr})\;

поскольку

m

-кратная итерационная свертка

χ r

имеет класс

C^{m-1}\;

с опорой

B (0, mr)

. Поскольку

r

и

m

произвольны

u

,

C^{\infty }(\Omega )\;

слишком. Более того,

\Delta u*w_{r,s}=u*\Delta w_{r,s}=u*\chi _{r}-u*\chi _{s}=0\;

для всех

0 < s < r

так, что

∆ u = 0

в

Ω

согласно фундаментальной теореме вариационного исчисления, доказывающей эквивалентность между гармоничностью и свойством среднего значения.

Это утверждение о свойстве среднего значения можно обобщить следующим образом: если $h$ — любая сферически симметричная функция, поддерживаемая в $B (x, r)$ , такая, что ${\textstyle \int h=1,}$ затем $u(x)=h*u(x).$ Другими словами, мы можем взять средневзвешенное значение $u$ относительно точки и восстановить $u (x)$ . В частности, взяв $h$ в качестве $C \infty$ функции, мы можем восстановить значение $u$ в любой точке, даже если мы знаем только, как $u$ действует как распределение . См. лемму Вейля .

Неравенство Гарнака [ править ]

Позволять

V\subset {\overline {V}}\subset \Omega

— связное множество в ограниченной области

Ω

. Тогда для любой неотрицательной гармонической

u

функции Неравенство Гарнака

\sup _{V}u\leq C\inf _{V}u

выполняется для некоторой константы

C

, зависящей только от

V

и

Ω

.

Удаление особенностей [ править ]

Для гармонических функций справедлив следующий принцип устранения особенностей. Если $f$ - гармоническая функция, определенная на точечном открытом подмножестве $\Omega \,\setminus \,\{x_{0}\}$ из $\mathbb {R} ^{n}$ , которое менее сингулярно в точке $x 0$ , чем фундаментальное решение (при $n > 2$ ), то есть

f(x)=o\left(\vert x-x_{0}\vert ^{2-n}\right),\qquad {\text{as }}x\to x_{0},

тогда

f

продолжается до гармонической функции на

Ω

(ср. теорему Римана для функций комплексной переменной).

Теорема Лиувилля [ править ]

Теорема : Если $f$ — гармоническая функция, определенная на всех $\mathbb {R} ^{n}$ который ограничен сверху или ограничен снизу, то $f$ постоянна.

(Сравните теорему Лиувилля для функций комплексной переменной ).

Эдвард Нельсон дал особенно краткое доказательство этой теоремы для случая ограниченных функций: ^[2] используя упомянутое выше свойство среднего значения:

По двум точкам выберите два шара с центрами данных точек и одинакового радиуса. Если радиус достаточно велик, два шара совпадут, за исключением сколь угодно малой доли их объема. Поскольку $f$ ограничено, его средние значения по двум шарам сколь угодно близки, и поэтому $f$ принимает одно и то же значение в любых двух точках.

Доказательство можно адаптировать к случаю, когда гармоническая функция $f$ ограничена лишь сверху или снизу. Добавляя константу и, возможно, умножая ее на –1, мы можем предположить, что $f$ неотрицательна. Тогда для любых двух точек $x$ и $y$ и любого положительного числа $R$ положим $r=R+d(x,y).$ Затем рассмотрим шары $(BR x) и$ Br $(где y),$ по неравенству треугольника первый шар содержится во втором.

В силу свойства усреднения и монотонности интеграла имеем

f(x)={\frac {1}{\operatorname {vol} (B_{R})}}\int _{B_{R}(x)}f(z)\,dz\leq {\frac {1}{\operatorname {vol} (B_{R})}}\int _{B_{r}(y)}f(z)\,dz.

(Обратите внимание, что поскольку

vol B R (x)

не зависит от

x

, мы обозначаем его просто как

vol B R

.) В последнем выражении мы можем умножать и делить на

vol B r

и снова использовать свойство усреднения, чтобы получить

f(x)\leq {\frac {\operatorname {vol} (B_{r})}{\operatorname {vol} (B_{R})}}f(y).

Но

R\rightarrow \infty ,

количество

{\frac {\operatorname {vol} (B_{r})}{\operatorname {vol} (B_{R})}}={\frac {\left(R+d(x,y)\right)^{n}}{R^{n}}}

стремится к 1. Таким образом,

f(x)\leq f(y).

Тот же аргумент с обратными ролями

x

и

y

показывает, что

f(y)\leq f(x)

, так что

f(x)=f(y).

Другое доказательство использует тот факт, что для данного броуновского движения $B t$ в $\mathbb {R} ^{n},$ такой, что $B_{0}=x_{0},$ у нас есть $E[f(B_{t})]=f(x_{0})$ для всех $t \geq 0$ . Проще говоря, это говорит о том, что гармоническая функция определяет мартингал для броуновского движения. Затем о вероятностной связи . доказательство завершается рассуждением ^[3]

Обобщения [ править ]

Слабогармоническая функция [ править ]

Функция (или, в более общем смысле, распределение ) является слабогармонической , если она удовлетворяет уравнению Лапласа

\Delta f=0\,

в слабом смысле (или, что то же самое, в смысле распределений). Слабогармоническая функция почти всюду совпадает с сильногармонической функцией и, в частности, является гладкой. Слабогармоническое распределение — это в точности распределение, связанное с сильно гармонической функцией, поэтому оно также является гладким. Это лемма Вейля .

Существуют и другие слабые формулировки уравнения Лапласа, которые часто бывают полезны. Одним из которых является принцип Дирихле , представляющий гармонические функции в пространстве Соболева $H 1 (Ω)$ как минимизаторы энергии Дирихле интеграла

J(u):=\int _{\Omega }|\nabla u|^{2}\,dx

относительно локальных вариаций, т. е. все функции

u\in H^{1}(\Omega )

такой, что

J(u)\leq J(u+v)

держится для всех

v\in C_{c}^{\infty }(\Omega ),

или, что то же самое, для всех

v\in H_{0}^{1}(\Omega ).

Гармонические функции на многообразиях [ править ]

Гармонические функции можно определить на произвольном римановом многообразии с помощью оператора Лапласа–Бельтрами $∆$ . В этом контексте функция называется гармонической , если

\ \Delta f=0.

Многие свойства гармонических функций в областях евклидова пространства переносятся на этот более общий подход, включая теорему о среднем значении (по геодезическим шарам), принцип максимума и неравенство Гарнака. За исключением теоремы о среднем, это простые следствия соответствующих результатов для общих линейных эллиптических уравнений в частных производных второго порядка.

Субгармонические функции [ править ]

А $С 2$ функция, удовлетворяющая условию $Δ f \geq 0,$ называется субгармонической. Это условие гарантирует выполнение принципа максимума, хотя другие свойства гармонических функций могут нарушиться. В более общем смысле, функция является субгармонической тогда и только тогда, когда внутри любого шара в ее области определения ее график лежит ниже графика гармонической функции, интерполирующей ее граничные значения на шаре.

Гармонические формы [ править ]

Одним из обобщений изучения гармонических функций является изучение гармонических форм на римановых многообразиях , и оно связано с изучением когомологий . Кроме того, можно определить гармонические векторные функции или гармонические отображения двух римановых многообразий, которые являются критическими точками обобщенного функционала энергии Дирихле (это включает в себя гармонические функции как частный случай, результат, известный как принцип Дирихле ). Такого рода гармонические отображения появляются в теории минимальных поверхностей. Например, кривая, то есть карта интервала в $\mathbb {R}$ римановому многообразию является гармоническим отображением тогда и только тогда, когда оно является геодезической .

Карты гармоник между коллекторами [ править ]

Если $M$ и $N$ — два римановых многообразия, то гармоническое отображение $u:M\to N$ определяется как критическая точка энергии Дирихле

D[u]={\frac {1}{2}}\int _{M}\left\|du\right\|^{2}\,d\operatorname {Vol}

в котором

du:TM\to TN

является дифференциалом

u

, а норма - это метрика, индуцированная метрикой на

M

и метрикой

N

на расслоении тензорных произведений

T^{\ast }M\otimes u^{-1}TN.

Важные частные случаи гармонических отображений между многообразиями включают минимальные поверхности , которые представляют собой в точности гармонические погружения поверхности в трехмерное евклидово пространство. В более общем смысле, минимальные подмногообразия — это гармонические погружения одного многообразия в другое. Гармонические координаты — это гармонический диффеоморфизм многообразия открытому подмножеству евклидова пространства той же размерности.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

^ Экслер, Шелдон; Бурдон, Поль; Рэми, Уэйд (2001). Теория гармонических функций . Нью-Йорк: Спрингер. п. 25 . ISBN 0-387-95218-7 .
^ Нельсон, Эдвард (1961). «Доказательство теоремы Лиувилля» . Труды Американского математического общества . 12 (6): 995. doi : 10.1090/S0002-9939-1961-0259149-4 .
^ «Вероятностная связь» . Во всем виноват аналитик . 24 января 2012 г. Архивировано из оригинала 8 мая 2021 года . Проверено 26 мая 2022 г.

Ссылки [ править ]

Эванс, Лоуренс К. (1998), Уравнения в частных производных , Американское математическое общество .
Гилбарг, Дэвид ; Трудингер, Нил (12 января 2001 г.), Эллиптические дифференциальные уравнения в частных производных второго порядка , ISBN 3-540-41160-7 .
Хан, К.; Лин, Ф. (2000), Эллиптические уравнения в частных производных , Американское математическое общество .
Йост, Юрген (2005), Риманова геометрия и геометрический анализ (4-е изд.), Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-25907-7 .
Экслер, Шелдон; Бурдон, Поль; Рэми, Уэйд (2001), Теория гармонических функций , том. 137 (второе изд.), Нью-Йорк: Springer-Publishers, номер номера : 10.1007/978-1-4757-8137-3 , ISBN. 0-387-95218-7 .

Внешние ссылки [ править ]

[1] Экслер, Шелдон; Бурдон, Поль; Рэми, Уэйд (2001). Теория гармонических функций . Нью-Йорк: Спрингер. п. 25 . ISBN 0-387-95218-7 .

[2] Нельсон, Эдвард (1961). «Доказательство теоремы Лиувилля» . Труды Американского математического общества . 12 (6): 995. doi : 10.1090/S0002-9939-1961-0259149-4 .

[3] «Вероятностная связь» . Во всем виноват аналитик . 24 января 2012 г. Архивировано из оригинала 8 мая 2021 года . Проверено 26 мая 2022 г.

[1]

[2]

[3]

Базы данных авторитетного контроля
Международный	БЫСТРЫЙ
Национальный	Испания Франция Данные БнФ Германия Израиль Соединенные Штаты Япония
Другой	ИдРеф