Лемма Вейля (уравнение Лапласа)

В математике слабое лемма Вейля , названная в честь Германа Вейля , утверждает, что каждое решение уравнения Лапласа является гладким решением. с волновым уравнением Это контрастирует , например, , которое имеет слабые решения, которые не являются гладкими решениями. Лемма Вейля представляет собой частный случай эллиптической или гипоэллиптической регулярности .

Утверждение леммы

Позволять $\Omega$ быть открытым подмножеством $n$-мерное евклидово пространство $\mathbb {R} ^{n}$, и пусть $\Delta$ обозначим обычный оператор Лапласа . Лемма Вейля утверждает, что если локально интегрируемая функция $u\in L_{\mathrm {loc} }^{1}(\Omega )$ является слабым решением уравнения Лапласа в том смысле, что

$\int _{\Omega }u(x)\,\Delta \varphi (x)\,dx=0$

для каждой тестовой функции ( гладкая функция с компактной поддержкой ) $\varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )$, то (с точностью до переопределения на множестве нулевой меры ) $u\in C^{\infty }(\Omega )$ является гладким и удовлетворяет $\Delta u=0$ точечно в $\Omega$.

Из этого результата следует внутренняя регулярность гармонических функций в $\Omega$, но это ничего не говорит об их регулярности на границе $\partial \Omega$.

Идея доказательства

Чтобы доказать лемму Вейля, нужно выполнить свертку функции $u$ с соответствующим смягчающим средством $\varphi _{\varepsilon }$ и показывает, что смягчение $u_{\varepsilon }=\varphi _{\varepsilon }\ast u$ удовлетворяет уравнению Лапласа, из которого следует, что $u_{\varepsilon }$ имеет свойство среднего значения. Принимая предел как $\varepsilon \to 0$ и используя свойства смягчающих средств, можно найти, что $u$ также имеет свойство среднего значения, откуда следует, что это гладкое решение уравнения Лапласа. Альтернативные доказательства используют гладкость фундаментального решения лапласиана или подходящие априорные эллиптические оценки.

Доказательство

Позволять $\left(\rho _{\varepsilon }\right)_{\varepsilon >0}$ быть стандартным смягчающим фактором .

Исправьте компактный набор $\Omega ^{\prime }\Subset \Omega$ и положить $\varepsilon _{0}=\operatorname {dist} \left(\Omega ^{\prime },\partial \Omega \right)$ быть расстоянием между $\Omega ^{\prime }$ и граница $\Omega$.

Для каждого $x\in \Omega ^{\prime }$ и $\varepsilon \in \left(0,\varepsilon _{0}\right)$ функция

$y\longmapsto \rho _{\varepsilon }(x-y)$

принадлежит тестовым функциям ${\mathcal {D}}(\Omega )$ и поэтому мы можем рассмотреть

$\left\langle u,\rho _{\varepsilon }(x-\cdot )\right\rangle$

Мы утверждаем, что оно не зависит от $\varepsilon \in \left(0,\varepsilon _{0}\right)$. Для доказательства вычислим ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\rho _{\varepsilon }(x-y)$ для $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$.

Напомним, что

$\rho _{\varepsilon }(x-y)=\varepsilon ^{-n}\rho \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)$

где стандартное ядро ​​моллификатора $\rho$ на $\mathbb {R} ^{n}$ был определен в Mollifier#Concrete_example . Если мы положим

$\theta (t)={\begin{cases}{\frac {1}{c_{n}}}\mathrm {e} ^{\frac {1}{t-1}}&{\text{ if }}t<1,\\0&{\text{ if }}t\geqslant 1,\end{cases}}$

затем $\rho (x)=\theta \left(|x|^{2}\right)$.

Четко $\theta \in \mathrm {C} ^{\infty }(\mathbb {R} )$ удовлетворяет $\theta (t)=0$ для $t\geqslant 1$. Теперь посчитаем

${\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\left(\varepsilon ^{-n}\rho \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)\right)&=-n\varepsilon ^{-n-1}\rho \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)-\varepsilon ^{-n}\nabla \rho \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)\cdot {\frac {x-y}{\varepsilon ^{2}}}\\&=-{\frac {1}{\varepsilon ^{n+1}}}\left(n\rho \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)+\nabla \rho \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)\cdot {\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)\end{aligned}}$

Помещать $K(x)=-n\rho (x)-\nabla \rho (x)\cdot x$ так что

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\left(\varepsilon ^{-n}\rho \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)\right)={\frac {1}{\varepsilon ^{n+1}}}K\left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right).$

С точки зрения $\rho (x)=\theta \left(|x|^{2}\right)$ мы получаем

$K(x)=-\operatorname {div} (\rho (x)x)=-\operatorname {div} \left(\theta \left(|x|^{2}\right)x\right)$

и если мы установим

$\Theta (t)={\frac {1}{2}}\int _{t}^{\infty }\theta (s)\mathrm {d} s$

затем $\Theta \in \mathrm {C} ^{\infty }(\mathbb {R} )$ с $\Theta (t)=0$ для $t\geqslant 1$, и $\Theta ^{\prime }(t)=-{\frac {1}{2}}\theta (t)$. Следовательно

$-\theta \left(|x|^{2}\right)x=\nabla \left(\Theta \left(|x|^{2}\right)\right)$

и так $K(x)=\operatorname {div} \nabla \left(\Theta \left(|x|^{2}\right)\right)=(\Delta \Phi )(x)$, где $\Phi (x)=\Theta \left(|x|^{2}\right)$. Обратите внимание, что $\Phi \in {\mathcal {D}}\left({\overline {B_{1}(0)}}\right)$, и

${\begin{aligned}-{\frac {1}{\varepsilon ^{n+1}}}\left(n\rho \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)+\nabla \rho \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)\cdot {\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)&={\frac {1}{\varepsilon ^{n+1}}}\Delta _{y}\left(\Phi \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)\right)\\&=\Delta _{y}\left(\varepsilon ^{1-n}\Phi \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)\right).\end{aligned}}$

Здесь $y\mapsto \varepsilon ^{1-n}\Phi \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)$ поддерживается в ${\overline {B_{\varepsilon }(x)}}\subset \Omega$, и поэтому по предположению

$\left\langle u,\Delta _{y}\left(\varepsilon ^{1-n}\Phi \left({\frac {x-y}{\varepsilon }}\right)\right)\right\rangle =0$.

Теперь, рассматривая разностные коэффициенты, мы видим, что

${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\left\langle u,\rho _{\varepsilon }(x-\cdot )\right\rangle =\left\langle u,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\rho _{\varepsilon }(x-\cdot )\right\rangle$.

Действительно, для $\varepsilon ,\varepsilon ^{\prime }>0$ у нас есть

${\begin{aligned}{\frac {\rho _{\varepsilon +\varepsilon ^{\prime }}(x-y)-\rho _{\varepsilon }(x-y)}{\varepsilon ^{\prime }}}&{\stackrel {\mathrm {FTC} }{=}}\int _{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\rho _{\varepsilon +t\varepsilon ^{\prime }}(x-y)\mathrm {d} t\\&\left.{\underset {\varepsilon ^{\prime }\searrow 0}{\longrightarrow }}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} s}}\right|_{s=\varepsilon }\rho _{s}(x-y)\end{aligned}}$

в ${\mathcal {D}}^{\prime }(\Omega )$ относительно $y$, предоставил $x\in \Omega ^{\prime }$ и $0<\varepsilon <\varepsilon _{0}$ (поскольку мы можем дифференцировать обе стороны по отношению к $y)$. Но тогда ${\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \varepsilon }}\left\langle u,\rho _{\varepsilon }(x-\cdot )\right\rangle =0$, и так $\left\langle u,\rho _{\varepsilon }(x-\cdot )\right\rangle =\left\langle u,\rho _{\varepsilon _{1}}(x-\cdot )\right\rangle$ для всех $\varepsilon \in \left(0,\varepsilon _{0}\right)$, где $\varepsilon _{1}\in \left(0,\varepsilon _{0}\right)$. Теперь позвольте $\varphi \in {\mathcal {D}}\left(\Omega ^{\prime }\right)$. Затем, используя обычный прием при свертке распределений с помощью тестовых функций ,

${\begin{aligned}\int _{\Omega ^{\prime }}\left\langle u,\rho _{\varepsilon }(x-\cdot )\right\rangle \varphi (x)\mathrm {d} x&=\left\langle u,\int _{\Omega ^{\prime }}\rho _{\varepsilon }(x-\cdot )\varphi (x)\mathrm {d} x\right\rangle \\&=\left\langle u,\rho _{\varepsilon }*\varphi \right\rangle \end{aligned}}$

и так для $\varepsilon \in \left(0,\varepsilon _{1}\right)$ у нас есть

$\left\langle u,\rho _{\varepsilon }*\varphi \right\rangle =\int _{\Omega ^{\prime }}\left\langle u,\rho _{\varepsilon _{1}}(x-\cdot )\right\rangle \varphi (x)\mathrm {d} x$.

Следовательно, как $\rho _{\varepsilon }*\varphi \rightarrow \varphi$ в ${\mathcal {D}}(\Omega )$ как $\varepsilon \searrow 0$, мы получаем

$\langle u,\varphi \rangle =\int _{\Omega ^{\prime }}\left\langle u,\rho _{\varepsilon _{1}}(x-\cdot )\right\rangle \varphi (x)\mathrm {d} x$.

Следовательно $\left.u\right|_{\Omega ^{\prime }}\in \mathrm {C} ^{\infty }\left(\Omega ^{\prime }\right)$, и поскольку $\Omega ^{\prime }$ было произвольным, мы закончили.

Обобщение на распределения

В более общем смысле, тот же результат справедлив для любого распределительного решения уравнения Лапласа: если $T\in D'(\Omega )$ удовлетворяет $\langle T,\Delta \varphi \rangle =0$ для каждого $\varphi \in C_{c}^{\infty }(\Omega )$, затем $T=T_{u}$ — регулярное распределение, связанное с гладким решением $u\in C^{\infty }(\Omega )$ уравнения Лапласа.

Связь с гипоэллиптичностью

Лемма Вейля следует из более общих результатов, касающихся свойств регулярности эллиптических или гипоэллиптических операторов. Линейный оператор в частных производных $P$ с гладкими коэффициентами гипоэллиптичен, если носитель сингулярный $Pu$ равен сингулярному носителю $u$ для каждой раздачи $u$. Оператор Лапласа гипоэллиптический, поэтому если $\Delta u=0$, то сингулярный носитель $u$ пусто, поскольку единственный носитель $0$ пусто, а это означает, что $u\in C^{\infty }(\Omega )$. Фактически, поскольку лапласиан эллиптический, верен более сильный результат, и решения $\Delta u=0$ являются реально-аналитическими .

Ссылки

• Гилбарг, Дэвид; Нил С. Трудингер (1988). Эллиптические уравнения в частных производных второго порядка . Спрингер. ISBN  3-540-41160-7 .
• Штейн, Элиас (2005). Реальный анализ: теория меры, интегрирование и гильбертовые пространства . Издательство Принстонского университета. ISBN  0-691-11386-6 .