Пространства тестовых функций и распределений

Эта статья о топологических векторных пространствах, используемых для определения и использования распределений Шварца. Более базовую информацию о распределениях и операциях над ними см. в разделе Распределение (математика) .

В математическом анализе пространства тестовых функций и распределений представляют собой топологические векторные пространства (TVS), которые используются при определении и применении распределений . Тестовые функции обычно представляют собой бесконечно дифференцируемые комплексные (или иногда действительные ) функции на непустом открытом подмножестве. $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ которые имеют компактную поддержку . Пространство всех тестовых функций, обозначаемое $C_{c}^{\infty }(U),$ наделен определенной топологией, называемой канонической LF-топологией , что делает $C_{c}^{\infty }(U)$ в полную хаусдорфову локально выпуклую TVS . Сильное двойственное пространство $C_{c}^{\infty }(U)$ называется пространством распределений на $U$ и обозначается ${\mathcal {D}}^{\prime }(U):=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime },$ где " $b$Индекс " указывает на то, что непрерывное двойственное пространство $C_{c}^{\infty }(U),$ обозначается $\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)^{\prime },$ наделен сильной дуальной топологией .

Существуют и другие возможные варианты пространства тестовых функций, которые приводят к другим пространствам распределений. Если $U=\mathbb {R} ^{n}$ то использование функций Шварца поскольку тестовые функции порождают определенное подпространство ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ элементы которого называются умеренными распределениями . Они важны, поскольку позволяют преобразование Фурье расширить от «стандартных функций» до умеренных распределений. Множество умеренных распределений образует векторное подпространство пространства распределений. ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ и, таким образом, является одним из примеров пространства распределений; существует много других пространств распределений.

Существуют также другие основные классы тестовых функций, которые не являются подмножествами тестовых функций. $C_{c}^{\infty }(U),$ такие как пространства аналитических тестовых функций , которые создают очень разные классы распределений. Теория таких распределений имеет иной характер, чем предыдущая, поскольку не существует аналитических функций с непустым компактным носителем. Использование аналитических пробных функций приводит к Сато теории гиперфункций .

Обозначения

В этой статье будут использоваться следующие обозначения:

• $n$ является фиксированным положительным целым числом и $U$ — фиксированное непустое открытое подмножество . евклидова пространства $\mathbb {R} ^{n}.$
• $\mathbb {N} =\{0,1,2,\ldots \}$ обозначает натуральные числа .
• $k$ будет обозначать неотрицательное целое число или $\infty .$
• Если $f$ это функция, тогда $\operatorname {Dom} (f)$ будет обозначать его домен и поддержка ​ $f,$ обозначается $\operatorname {supp} (f),$ определяется как замыкание множества $\{x\in \operatorname {Dom} (f):f(x)\neq 0\}$ в $\operatorname {Dom} (f).$
• Для двух функций $f,g:U\to \mathbb {C}$следующие обозначения определяют каноническое спаривание : $$\langle f,g\rangle :=\int _{U}f(x)g(x)\,dx.$$
• Мультииндекс ​ размера $n$ является элементом в $\mathbb {N} ^{n}$ (при условии $n$ фиксирован, если размер мультииндексов опущен, то размер следует считать равным $n$). Длина ​ мультииндекса $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}$ определяется как $\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n}$ и обозначается $|\alpha |.$ Мультииндексы особенно полезны при работе с функциями нескольких переменных, в частности, мы вводим следующие обозначения для данного мультииндекса $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})\in \mathbb {N} ^{n}$: $${\begin{aligned}x^{\alpha }&=x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots x_{n}^{\alpha _{n}}\\\partial ^{\alpha }&={\frac {\partial ^{|\alpha |}}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}\end{aligned}}$$ Мы также вводим частичный порядок всех мультииндексов с помощью $\beta \geq \alpha$ тогда и только тогда, когда $\beta _{i}\geq \alpha _{i}$ для всех $1\leq i\leq n.$ Когда $\beta \geq \alpha$ мы определяем их многоиндексный биномиальный коэффициент как: $${\binom {\beta }{\alpha }}:={\binom {\beta _{1}}{\alpha _{1}}}\cdots {\binom {\beta _{n}}{\alpha _{n}}}.$$
• $\mathbb {K}$ будет обозначать некоторый непустой набор компактных подмножеств $U$ (подробно описано ниже).

Определения тестовых функций и распределений

В этом разделе мы формально определим вещественные распределения на U . С небольшими изменениями можно также определить комплексные распределения и заменить $\mathbb {R} ^{n}$ с любым ( паракомпактным ) гладким многообразием .

Обозначение :

1. Позволять $k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}.$
2. Позволять $C^{k}(U)$ обозначают векторное пространство всех k -раз непрерывно дифференцируемых вещественных или комплекснозначных функций на U .
3. Для любого компактного подмножества $K\subseteq U,$ позволять $C^{k}(K)$ и $C^{k}(K;U)$ оба обозначают векторное пространство всех этих функций $f\in C^{k}(U)$ такой, что $\operatorname {supp} (f)\subseteq K.$
   • Если $f\in C^{k}(K)$ тогда область $f$ это U а не K. , Так что, хотя $C^{k}(K)$ зависит как от K , так и от U только K. , обычно указывается Обоснование этой распространенной практики подробно описано ниже . Обозначения $C^{k}(K;U)$ будет использоваться только тогда, когда обозначение $C^{k}(K)$ рискует оказаться двусмысленным.
   • Каждый $C^{k}(K)$ содержит карту постоянного 0 , даже если $K=\varnothing .$
4. Позволять $C_{c}^{k}(U)$ обозначаем множество всех $f\in C^{k}(U)$ такой, что $f\in C^{k}(K)$ для некоторого компактного подмножества K в U .
   • Эквивалентно, $C_{c}^{k}(U)$ это совокупность всех $f\in C^{k}(U)$ такой, что $f$ имеет компактную поддержку .
   • $C_{c}^{k}(U)$ равно объединению всех $C^{k}(K)$ как $K$ колеблется в пределах $\mathbb {K} .$
   • Если $f$ является вещественной функцией на U , то $f$ является элементом $C_{c}^{k}(U)$ тогда и только тогда, когда $f$ это $C^{k}$ функция удара . Каждая вещественная тестовая функция на $U$ всегда также является комплексной тестовой функцией на $U.$

График функции удара $(x,y)\in \mathbf {R} ^{2}\mapsto \Psi (r),$ где $r=(x^{2}+y^{2})^{\frac {1}{2}}$ и $\Psi (r)=e^{-{\frac {1}{1-r^{2}}}}\cdot \mathbf {1} _{\{|r|<1\}}.$ Эта функция является тестовой функцией на $\mathbb {R} ^{2}$ и является элементом $C_{c}^{\infty }\left(\mathbb {R} ^{2}\right).$ Поддержкой этой функции является закрытый единичный диск в $\mathbb {R} ^{2}.$ Он отличен от нуля на открытом единичном диске и равен 0 всюду за его пределами.

Обратите внимание, что для всех $j,k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}$ и любые компактные подмножества K и L из U имеем: $${\begin{aligned}C^{k}(K)&\subseteq C_{c}^{k}(U)\subseteq C^{k}(U)\\C^{k}(K)&\subseteq C^{k}(L)&&{\text{ if }}K\subseteq L\\C^{k}(K)&\subseteq C^{j}(K)&&{\text{ if }}j\leq k\\C_{c}^{k}(U)&\subseteq C_{c}^{j}(U)&&{\text{ if }}j\leq k\\C^{k}(U)&\subseteq C^{j}(U)&&{\text{ if }}j\leq k\\\end{aligned}}$$

Определение : Элементы $C_{c}^{\infty }(U)$ называются пробными функциями на U и $C_{c}^{\infty }(U)$ называется пространством пробной функции на U . Мы будем использовать оба ${\mathcal {D}}(U)$ и $C_{c}^{\infty }(U)$ для обозначения этого пространства.

Распределения на U определяются как непрерывные линейные функционалы на $C_{c}^{\infty }(U)$ когда это векторное пространство наделено определенной топологией, называемой канонической LF-топологией . К сожалению, эту топологию нелегко определить, но, тем не менее, все же возможно охарактеризовать распределения таким образом, чтобы не упоминаться каноническая LF-топология.

Предложение : Если T — линейный функционал на $C_{c}^{\infty }(U)$ тогда T является распределением тогда и только тогда, когда выполняются следующие эквивалентные условия:

1. Для каждого компактного подмножества $K\subseteq U$ существуют константы $C>0$ и $N\in \mathbb {N}$ (в зависимости от $K$) такой, что для всех $f\in C^{\infty }(K),$ $$|T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in U,|\alpha |\leq N\}.$$
2. Для каждого компактного подмножества $K\subseteq U$ существуют константы $C>0$ и $N\in \mathbb {N}$ такой, что для всех $f\in C_{c}^{\infty }(U)$ при поддержке, содержащейся в $K,$ $$|T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{\alpha }f(x)|:x\in K,|\alpha |\leq N\}.$$
3. Для любого компактного подмножества $K\subseteq U$ и любая последовательность $\{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ в $C^{\infty }(K),$ если $\{\partial ^{\alpha }f_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ сходится равномерно к нулю на $K$ для всех мультииндексов $\alpha$, затем $T(f_{i})\to 0.$

Приведенные выше характеристики можно использовать для определения того, является ли линейный функционал распределением, но более продвинутое использование распределений и тестовых функций (например, приложения к дифференциальным уравнениям ) ограничено, если на нем не размещаются топологии. $C_{c}^{\infty }(U)$ и ${\mathcal {D}}(U).$ Чтобы определить пространство распределений, мы должны сначала определить каноническую LF-топологию, которая, в свою очередь, требует, чтобы сначала были определены несколько других локально выпуклых топологических векторных пространств (TVS). Во-первых, ( ненормируемая ) топология на $C^{\infty }(U)$ будет определен, то каждый $C^{\infty }(K)$ будет наделен топологией подпространства, индуцированной на нем $C^{\infty }(U),$ и, наконец, ( неметризуемая ) каноническая LF-топология на $C_{c}^{\infty }(U)$ будет определен.Пространство распределений, определяемое как непрерывное двойственное пространство $C_{c}^{\infty }(U),$ тогда наделен (неметризуемой) сильной двойственной топологией , индуцированной $C_{c}^{\infty }(U)$ и каноническая LF-топология (эта топология является обобщением обычной топологии, индуцированной операторной нормой , которая помещается в непрерывные, двойственные к нормированным пространствам пространства ). Это, наконец, позволяет рассмотреть более сложные понятия, такие как сходимость распределений (как последовательностей , так и сетей), различные (под)пространства распределений и операции над распределениями, включая распространение дифференциальных уравнений на распределения.

Выбор компактов K

Через, $\mathbb {K}$ будет любой совокупностью компактных подмножеств $U$ такой, что (1) ${\textstyle U=\bigcup _{K\in \mathbb {K} }K,}$ и (2) для любого компакта $K_{1},K_{2}\subseteq U$ существует какой-то $K\in \mathbb {K}$ такой, что $K_{1}\cup K_{2}\subseteq K.$ Самый распространенный выбор для $\mathbb {K}$ являются:

• Множество всех компактных подмножеств $U,$ или
• Набор $\left\{{\overline {U}}_{1},{\overline {U}}_{2},\ldots \right\}$ где ${\textstyle U=\bigcup _{i=1}^{\infty }U_{i},}$ и для всех я , ${\overline {U}}_{i}\subseteq U_{i+1}$ и $U_{i}$ является относительно компактным непустым открытым подмножеством $U$ (здесь «относительно компактный» означает, замыкание что $U_{i},$ либо в U , либо $\mathbb {R} ^{n},$ компактен).

Мы делаем $\mathbb {K}$ в направленный набор , определив $K_{1}\leq K_{2}$ тогда и только тогда, когда $K_{1}\subseteq K_{2}.$ Обратите внимание, что хотя определения определенных впоследствии топологий явно ссылаются на $\mathbb {K} ,$ в действительности они не зависят от выбора $\mathbb {K} ;$ то есть, если $\mathbb {K} _{1}$ и $\mathbb {K} _{2}$ любые два таких набора компактных подмножеств $U,$ то топологии, определенные на $C^{k}(U)$ и $C_{c}^{k}(U)$ используя $\mathbb {K} _{1}$ вместо $\mathbb {K}$ такие же, как те, которые определены с помощью $\mathbb {K} _{2}$ вместо $\mathbb {K} .$

Топология на C ^к ( У )

Теперь мы введем полунормы , которые будут определять топологию на $C^{k}(U).$ Разные авторы иногда используют разные семейства полунорм, поэтому ниже мы перечислим наиболее распространенные семейства. Однако результирующая топология одинакова независимо от того, какое семейство используется.

Предполагать $k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}$ и $K$ — произвольное компактное подмножество $U.$ Предполагать $i$ целое число такое, что $0\leq i\leq k$ и $p$ является мультииндексом длиной $|p|\leq k.$ Для $K\neq \varnothing ,$ определять:

$${\begin{alignedat}{4}{\text{ (1) }}\ &s_{p,K}(f)&&:=\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\\[4pt]{\text{ (2) }}\ &q_{i,K}(f)&&:=\sup _{|p|\leq i}\left(\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right)=\sup _{|p|\leq i}\left(s_{p,K}(f)\right)\\[4pt]{\text{ (3) }}\ &r_{i,K}(f)&&:=\sup _{\stackrel {|p|\leq i}{x_{0}\in K}}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\\[4pt]{\text{ (4) }}\ &t_{i,K}(f)&&:=\sup _{x_{0}\in K}\left(\sum _{|p|\leq i}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right)\end{alignedat}}$$

в то время как для $K=\varnothing ,$ определите все приведенные выше функции как карту постоянного 0 .

Все приведенные выше функции неотрицательны. $\mathbb {R}$-ценный полунормы по $C^{k}(U).$ Как объясняется в этой статье , каждый набор полунорм в векторном пространстве порождает локально выпуклую векторную топологию .

Каждый из следующих наборов полунорм $${\begin{alignedat}{4}A~:=\quad &\{q_{i,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\B~:=\quad &\{r_{i,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\C~:=\quad &\{t_{i,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&i\in \mathbb {N} {\text{ satisfies }}\;&&0\leq i\leq k\}\\D~:=\quad &\{s_{p,K}&&:\;K{\text{ compact and }}\;&&p\in \mathbb {N} ^{n}{\text{ satisfies }}\;&&|p|\leq k\}\end{alignedat}}$$сгенерировать ту же локально выпуклую векторную топологию на $C^{k}(U)$ (так, например, топология, порожденная полунормами в $A$ равна топологии, порожденной теми, что в $C$).

Векторное пространство $C^{k}(U)$ наделен локально выпуклой топологией, индуцированной любым из четырех семейств $A,B,C,D$ полунорм, описанных выше. Эта топология также равна векторной топологии, индуцированной всеми полунормами в $A\cup B\cup C\cup D.$

При такой топологии $C^{k}(U)$ становится локально выпуклым пространством Фреше не , нормируемым . Каждый элемент $A\cup B\cup C\cup D$ является непрерывной полунормой на $C^{k}(U).$В этой топологии сеть $(f_{i})_{i\in I}$ в $C^{k}(U)$ сходится к $f\in C^{k}(U)$ тогда и только тогда, когда для каждого мультииндекса $p$ с $|p|<k+1$ и каждый компакт $K,$ сеть частных производных $\left(\partial ^{p}f_{i}\right)_{i\in I}$ сходится равномерно к $\partial ^{p}f$ на $K.$ Для любого $k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \},$ любое (фон Неймановское) ограниченное подмножество $C^{k+1}(U)$ представляет собой относительно компактное подмножество $C^{k}(U).$ В частности, подмножество $C^{\infty }(U)$ ограничен тогда и только тогда, когда он ограничен в $C^{i}(U)$ для всех $i\in \mathbb {N} .$ Пространство $C^{k}(U)$ является пространством Монтеля тогда и только тогда, когда $k=\infty .$

Топология на $C^{\infty }(U)$ является верхним пределом топологий подпространства, индуцированных на $C^{\infty }(U)$ по ТВС $C^{i}(U)$ поскольку я варьируется по неотрицательным целым числам. Подмножество $W$ из $C^{\infty }(U)$ открыт в этой топологии тогда и только тогда, когда существует $i\in \mathbb {N}$ такой, что $W$ открыт, когда $C^{\infty }(U)$ наделено топологией подпространства, индуцированной на нем $C^{i}(U).$

Метрика, определяющая топологию

Если семейство компактов $\mathbb {K} =\left\{{\overline {U}}_{1},{\overline {U}}_{2},\ldots \right\}$ удовлетворяет ${\textstyle U=\bigcup _{j=1}^{\infty }U_{j}}$ и ${\overline {U}}_{i}\subseteq U_{i+1}$ для всех $i,$ тогда полная трансляционно-инвариантная метрика на $C^{\infty }(U)$ можно получить, взяв подходящую счетную комбинацию Фреше любого из вышеперечисленных определяющих семейств полунорм ( от A до D ). Например, используя полунормы $(r_{i,K_{i}})_{i=1}^{\infty }$ результаты в метрике $$d(f,g):=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {r_{i,{\overline {U}}_{i}}(f-g)}{1+r_{i,{\overline {U}}_{i}}(f-g)}}=\sum _{i=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{i}}}{\frac {\sup _{|p|\leq i,x\in {\overline {U}}_{i}}\left|\partial ^{p}(f-g)(x)\right|}{\left[1+\sup _{|p|\leq i,x\in {\overline {U}}_{i}}\left|\partial ^{p}(f-g)(x)\right|\right]}}.$$

Зачастую проще просто учитывать полунормы (избегая каких-либо метрик) и использовать инструменты функционального анализа .

Топология на C ^к ( К )

Как и прежде, исправьте $k\in \{0,1,2,\ldots ,\infty \}.$ Напомним, что если $K$ любое компактное подмножество $U$ затем $C^{k}(K)\subseteq C^{k}(U).$

Предположение : Для любого компактного подмножества $K\subseteq U,$ впредь мы будем предполагать, что $C^{k}(K)$ наделен топологией подпространства, унаследованной от пространства Фреше $C^{k}(U).$

Для любого компактного подмножества $K\subseteq U,$ $C^{k}(K)$ является замкнутым подпространством пространства Фреше $C^{k}(U)$ и, таким образом, также является пространством Фреше . Для всех компактных $K,L\subseteq U$ удовлетворяющий $K\subseteq L,$ обозначим карту включения через $\operatorname {In} _{K}^{L}:C^{k}(K)\to C^{k}(L).$ Тогда это отображение является линейным вложением TVS (т. е. это линейное отображение, которое также является топологическим вложением ), образ которого (или «диапазон») замкнут в своей кодомене ; иначе говоря, топология на $C^{k}(K)$ идентично топологии подпространства, которую оно наследует от $C^{k}(L),$ а также $C^{k}(K)$ является закрытым подмножеством $C^{k}(L).$ Интерьер ​ ​ $C^{\infty }(K)$ относительно $C^{\infty }(U)$ пусто.

Если $k$ конечно тогда $C^{k}(K)$ является банаховым пространством с топологией, которую можно определить по норме $$r_{K}(f):=\sup _{|p|<k}\left(\sup _{x_{0}\in K}\left|\partial ^{p}f(x_{0})\right|\right).$$

И когда $k=2,$ затем $\,C^{k}(K)$ является даже гильбертовым пространством . Пространство $C^{\infty }(K)$ является выделенным пространством Шварца- Монтеля , поэтому если $C^{\infty }(K)\neq \{0\}$ то оно ненормировано не и, следовательно, является банаховым пространством (хотя, как и все другие $C^{k}(K),$ это пространство Фреше ).

Тривиальные расширения и независимость C ^к ( K ) из U

Определение $C^{k}(K)$ зависит от U , поэтому мы позволим $C^{k}(K;U)$ обозначим топологическое пространство $C^{k}(K),$ которое по определению является топологическим подпространством $C^{k}(U).$ Предполагать $V$ является открытым подмножеством $\mathbb {R} ^{n}$ содержащий $U$ и для любого компактного подмножества $K\subseteq V,$ позволять $C^{k}(K;V)$ векторное подпространство $C^{k}(V)$ состоящий из карт с поддержкой, содержащейся в $K.$ Данный $f\in C_{c}^{k}(U),$ его тривиальное расширение на V по определению есть функция $I(f):=F:V\to \mathbb {C}$ определяется: $$F(x)={\begin{cases}f(x)&x\in U,\\0&{\text{otherwise}},\end{cases}}$$так что $F\in C^{k}(V).$ Позволять $I:C_{c}^{k}(U)\to C^{k}(V)$ обозначают карту, которая отправляет функцию в $C_{c}^{k}(U)$ к его тривиальному расширению на V . Это отображение представляет собой линейную инъекцию и для любого компактного подмножества $K\subseteq U$ (где $K$ также является компактным подмножеством $V$ с $K\subseteq U\subseteq V$) у нас есть $${\begin{alignedat}{4}I\left(C^{k}(K;U)\right)&~=~C^{k}(K;V)\qquad {\text{ and thus }}\\I\left(C_{c}^{k}(U)\right)&~\subseteq ~C_{c}^{k}(V)\end{alignedat}}$$Если я ограничен $C^{k}(K;U)$ тогда следующее индуцированное линейное отображение является гомеоморфизмом (и, следовательно, TVS-изоморфизмом ): $${\begin{alignedat}{4}\,&C^{k}(K;U)&&\to \,&&C^{k}(K;V)\\&f&&\mapsto \,&&I(f)\\\end{alignedat}}$$и, таким образом, следующие две карты (которые, как и предыдущая карта, определяются $f\mapsto I(f)$) являются топологическими вложениями : $$C^{k}(K;U)\to C^{k}(V),\qquad {\text{ and }}\qquad C^{k}(K;U)\to C_{c}^{k}(V),$$(топология на $C_{c}^{k}(V)$ — каноническая топология LF, определенная позже). Использование инъекции $$I:C_{c}^{k}(U)\to C^{k}(V)$$векторное пространство $C_{c}^{k}(U)$ канонически отождествляется со своим образом в $C_{c}^{k}(V)\subseteq C^{k}(V)$ (однако, если $U\neq V$ затем $I:C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{\infty }(V)$ является не топологическим вложением , если эти пространства наделены каноническими топологиями LF, хотя и непрерывны). Потому что $C^{k}(K;U)\subseteq C_{c}^{k}(U),$ посредством этой идентификации, $C^{k}(K;U)$ также можно рассматривать как подмножество $C^{k}(V).$ Важно отметить, что топология подпространства $C^{k}(K;U)$ наследует от $C^{k}(U)$ (когда оно рассматривается как подмножество $C^{k}(U)$) идентично топологии подпространства, которую оно наследует от $C^{k}(V)$ (когда $C^{k}(K;U)$ вместо этого рассматривается как подмножество $C^{k}(V)$ через идентификацию). Таким образом, топология на $C^{k}(K;U)$ не зависит от открытого U подмножества $\mathbb {R} ^{n}$ содержит К. который Это оправдывает практику письменного $C^{k}(K)$ вместо $C^{k}(K;U).$

Каноническая топология LF

См. Также: LF-пространство и Топология равномерной сходимости.

Напомним, что $C_{c}^{k}(U)$ обозначим все эти функции в $C^{k}(U)$ которые имеют компактную поддержку в $U,$ где обратите внимание, что $C_{c}^{k}(U)$ это союз всех $C^{k}(K)$ поскольку K превышает $\mathbb {K} .$ Более того, для k каждого $C_{c}^{k}(U)$ представляет собой плотное подмножество $C^{k}(U).$ Особый случай, когда $k=\infty$ дает нам пространство тестовых функций.

$C_{c}^{\infty }(U)$ называется пространством пробных функций на $U$ и это также может быть обозначено ${\mathcal {D}}(U).$

В этом разделе каноническая топология LF определяется как прямой предел . Также возможно определить эту топологию через ее окрестности начала координат, что описано ниже.

Топология, определяемая прямыми ограничениями

Для любых двух множеств K и L мы объявляем, что $K\leq L$ тогда и только тогда, когда $K\subseteq L,$ что, в частности, делает коллекцию $\mathbb {K}$ компактных подмножеств U в направленное множество (мы говорим, что такой набор направляется включением подмножества ). Для всех компактных $K,L\subseteq U$ удовлетворяющий $K\subseteq L,$ есть карты включения $$\operatorname {In} _{K}^{L}:C^{k}(K)\to C^{k}(L)\quad {\text{and}}\quad \operatorname {In} _{K}^{U}:C^{k}(K)\to C_{c}^{k}(U).$$

Напомним, что карта $\operatorname {In} _{K}^{L}:C^{k}(K)\to C^{k}(L)$ является топологическим вложением . Коллекция карт $$\left\{\operatorname {In} _{K}^{L}\;:\;K,L\in \mathbb {K} \;{\text{ and }}\;K\subseteq L\right\}$$образует систему в категории пространств локально выпуклых топологических векторных направляемую , прямую $\mathbb {K}$ (при включении подмножества). этой системы Прямым пределом (в категории локально выпуклых ТВС) является пара $(C_{c}^{k}(U),\operatorname {In} _{\bullet }^{U})$ где $\operatorname {In} _{\bullet }^{U}:=\left(\operatorname {In} _{K}^{U}\right)_{K\in \mathbb {K} }$ – естественные включения и где $C_{c}^{k}(U)$ теперь наделен (уникальной) сильнейшей локально выпуклой топологией, составляющей все отображения включения $\operatorname {In} _{\bullet }^{U}=(\operatorname {In} _{K}^{U})_{K\in \mathbb {K} }$ непрерывный.

Каноническая топология LF на $C_{c}^{k}(U)$ является наилучшей локально выпуклой топологией на $C_{c}^{k}(U)$ создание всех карт включений $\operatorname {In} _{K}^{U}:C^{k}(K)\to C_{c}^{k}(U)$ непрерывный (где K колеблется в пределах $\mathbb {K}$).

Как это принято в математической литературе, пространство $C_{c}^{k}(U)$ отныне предполагается, что он наделен своей канонической топологией LF (если явно не указано иное).

Топология, определяемая окрестностями начала координат

Если U — выпуклое подмножество $C_{c}^{k}(U),$ тогда U является окрестностью начала координат в канонической топологии LF тогда и только тогда, когда она удовлетворяет следующему условию:

Для всех $K\in \mathbb {K} ,$ $U\cap C^{k}(K)$ является окрестностью начала координат в $C^{k}(K).$ ( Китай )

Заметим, что любое выпуклое множество, удовлетворяющее этому условию, обязательно является поглощающим в $C_{c}^{k}(U).$ Поскольку топология любого топологического векторного пространства трансляционно-инвариантна, любая TVS-топология полностью определяется множеством окрестностей начала координат. Это означает, что на самом деле можно определить каноническую топологию LF, заявив, что выпуклое сбалансированное подмножество U является окрестностью начала координат тогда и только тогда, когда оно удовлетворяет условию CN .

Топология, определенная с помощью дифференциальных операторов

Линейный дифференциальный оператор в U с гладкими коэффициентами — это сумма $$P:=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}c_{\alpha }\partial ^{\alpha }$$где $c_{\alpha }\in C^{\infty }(U)$ и все, кроме конечного числа $c_{\alpha }$ тождественно 0 . Целое число $\sup\{|\alpha |:c_{\alpha }\neq 0\}$ называется порядком дифференциального оператора $P.$ Если $P$ является линейным дифференциальным оператором порядка k , то он индуцирует каноническое линейное отображение $C^{k}(U)\to C^{0}(U)$ определяется $\phi \mapsto P\phi ,$ где мы будем использовать обозначения, а также обозначим это отображение через $P.$

Для любого $1\leq k\leq \infty ,$ каноническая топология LF на $C_{c}^{k}(U)$ является слабейшей локально выпуклой TVS-топологией, делающей все линейные дифференциальные операторы в $U$ порядка $\,<k+1$ в непрерывные карты из $C_{c}^{k}(U)$ в $C_{c}^{0}(U).$

Свойства канонической топологии LF

Независимость канонической топологии LF от K

Одним из преимуществ определения канонической топологии LF как прямого предела прямой системы является то, что мы можем сразу же использовать универсальное свойство прямых пределов. Еще одним преимуществом является то, что мы можем использовать хорошо известные результаты теории категорий, чтобы сделать вывод, что каноническая топология LF на самом деле не зависит от конкретного выбора направленного набора. $\mathbb {K}$ компактных наборов. И рассматривая разные коллекции $\mathbb {K}$ (в частности, те $\mathbb {K}$ упомянутый в начале этой статьи), мы можем вывести различные свойства этой топологии. В частности, мы можем сделать вывод, что каноническая топология LF делает $C_{c}^{k}(U)$ в хаусдорфово локально выпуклое строгое LF-пространство (а также строгое LB-пространство , если $k\neq \infty$), что, конечно, является причиной того, что эту топологию называют «канонической топологией LF» (подробнее см. В этой сноске).

Универсальная собственность

Из универсального свойства прямых пределов мы знаем, что если $u:C_{c}^{k}(U)\to Y$ является линейным отображением в локально выпуклое пространство Y (не обязательно по Хаусдорфу), то u непрерывно тогда и только тогда, когда u ограничено тогда и только тогда, когда для любого $K\in \mathbb {K} ,$ ограничение тебя на $C^{k}(K)$ непрерывен (или ограничен).

Зависимость канонической топологии LF от U

Предположим, что V — открытое подмножество $\mathbb {R} ^{n}$ содержащий $U.$ Позволять $I:C_{c}^{k}(U)\to C_{c}^{k}(V)$ обозначают карту, которая отправляет функцию в $C_{c}^{k}(U)$ к его тривиальному расширению на V (определенному выше). Эта карта представляет собой непрерывную линейную карту. Если (и только если) $U\neq V$ затем $I\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)$ является не плотным подмножеством $C_{c}^{\infty }(V)$ и $I:C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{\infty }(V)$ является не топологическим вложением . Следовательно, если $U\neq V$ затем транспонирование $I:C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{\infty }(V)$ не является ни «один к одному», ни «на».

Ограниченные подмножества

Подмножество $B\subseteq C_{c}^{k}(U)$ ограничен ​ ​ $C_{c}^{k}(U)$ тогда и только тогда, когда существует некоторое $K\in \mathbb {K}$ такой, что $B\subseteq C^{k}(K)$ и $B$ является ограниченным подмножеством $C^{k}(K).$ Более того, если $K\subseteq U$ компактен и $S\subseteq C^{k}(K)$ затем $S$ ограничен $C^{k}(K)$ тогда и только тогда, когда оно ограничено $C^{k}(U).$ Для любого $0\leq k\leq \infty ,$ любое ограниченное подмножество $C_{c}^{k+1}(U)$ (соответственно $C^{k+1}(U)$) представляет собой относительно компактное подмножество $C_{c}^{k}(U)$ (соответственно $C^{k}(U)$), где $\infty +1=\infty .$

Неметризуемость

Для всех компактных $K\subseteq U,$ интерьер $C^{k}(K)$ в $C_{c}^{k}(U)$ пуст, так что $C_{c}^{k}(U)$ сам по себе относится к первой категории. следует Из теоремы Бэра , что $C_{c}^{k}(U)$ не ( см метризуемо и, следовательно, не нормируемо . сноску для объяснения того, как неметризуемое пространство $C_{c}^{k}(U)$ может быть полным, даже если не допускает метрики). Тот факт, что $C_{c}^{\infty }(U)$ является ядерным пространством Монтеля, компенсирующим неметризуемость $C_{c}^{\infty }(U)$ (более подробное объяснение см. в этой сноске).

Отношения между пространствами

Используя универсальное свойство прямых пределов и тот факт, что естественные включения $\operatorname {In} _{K}^{L}:C^{k}(K)\to C^{k}(L)$ все являются топологическими вложениями , можно показать, что все отображения $\operatorname {In} _{K}^{U}:C^{k}(K)\to C_{c}^{k}(U)$ также являются топологическими вложениями. Иными словами, топология на $C^{k}(K)$ идентично топологии подпространства , которую оно наследует от $C_{c}^{k}(U),$ где вспомнить это $C^{k}(K)$топология была определена как топология подпространства, индуцированная на нем $C^{k}(U).$ В частности, оба $C_{c}^{k}(U)$ и $C^{k}(U)$ индуцирует ту же топологию подпространства на $C^{k}(K).$ Однако это не означает, что каноническая топология LF на $C_{c}^{k}(U)$ равна топологии подпространства, индуцированной на $C_{c}^{k}(U)$ к $C^{k}(U)$; эти две топологии на $C_{c}^{k}(U)$ на самом деле никогда не равны друг другу, поскольку каноническая топология LF никогда не метризуема, а топология подпространства, индуцированная на ней формулой $C^{k}(U)$ метризуемо (поскольку напомним, что $C^{k}(U)$ метризуема). Каноническая топология LF на $C_{c}^{k}(U)$ на самом деле строго тоньше , чем топология подпространства, которую он наследует от $C^{k}(U)$ (таким образом, естественное включение $C_{c}^{k}(U)\to C^{k}(U)$ является непрерывным, но не является топологическим вложением ).

Действительно, каноническая топология LF настолько тонка , что если $C_{c}^{\infty }(U)\to X$ обозначает некоторое линейное отображение, которое является «естественным включением» (например, $C_{c}^{\infty }(U)\to C^{k}(U),$ или $C_{c}^{\infty }(U)\to L^{p}(U),$ или другие карты, обсуждаемые ниже), то это отображение обычно будет непрерывным, что (как объясняется ниже) в конечном итоге является причиной того, почему локально интегрируемые функции, меры Радона и т. д. все индуцируют распределения (посредством транспонирования такого «естественного включения») . Иными словами, причина, по которой существует так много разных способов определения распределений из других пространств, в конечном итоге связана с тем, насколько тонкой является каноническая топология LF. Более того, поскольку распределения представляют собой просто непрерывные линейные функционалы от $C_{c}^{\infty }(U),$ тонкая природа канонической топологии LF означает, что более линейные функционалы на $C_{c}^{\infty }(U)$ в конечном итоге будет непрерывным («больше» означает по сравнению с более грубой топологией, которую мы могли бы разместить на $C_{c}^{\infty }(U)$ такие как, например, топология подпространства, индуцированная некоторыми $C^{k}(U),$ что, хотя это и сделало бы $C_{c}^{\infty }(U)$ метризуемым, это также привело бы к меньшему количеству линейных функционалов на $C_{c}^{\infty }(U)$ быть непрерывным и, следовательно, распределений было бы меньше; более того, эта конкретная, более грубая топология также имеет тот недостаток, что не позволяет $C_{c}^{\infty }(U)$ в полноценный ТВС ).

Другие объекты недвижимости

• Карта дифференциации $C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{\infty }(U)$ — сюръективный непрерывный линейный оператор.
• Карта билинейного умножения $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{m})\times C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to C_{c}^{\infty }(\mathbb {R} ^{m+n})$ данный $(f,g)\mapsto fg$ является не непрерывным; однако оно гипонепрерывно .

Распределения

См. Также: Непрерывный линейный функционал.

Как обсуждалось ранее, непрерывные линейные функционалы на $C_{c}^{\infty }(U)$ известны как распределения на U . Таким образом, множество всех распределений на U является непрерывным двойственным пространством $C_{c}^{\infty }(U),$ которая, если она наделена сильной дуальной топологией, обозначается ${\mathcal {D}}^{\prime }(U).$

По определению распределение на U определяется как непрерывный линейный функционал на $C_{c}^{\infty }(U).$ Другими словами, распределение на U является элементом непрерывного двойственного пространства $C_{c}^{\infty }(U)$ когда $C_{c}^{\infty }(U)$ наделен своей канонической LF-топологией.

У нас есть каноническая пара двойственности между распределением T на U и пробной функцией $f\in C_{c}^{\infty }(U),$ которое обозначается с помощью скобок угловых $${\begin{cases}{\mathcal {D}}^{\prime }(U)\times C_{c}^{\infty }(U)\to \mathbb {R} \\(T,f)\mapsto \langle T,f\rangle :=T(f)\end{cases}}$$

Это обозначение можно интерпретировать как распределение T, действующее на пробную функцию $f$ чтобы дать скаляр или симметрично, как тестовую функцию $f$ действуя на распределение T .

Характеристики распределений

Предложение. Если T — линейный функционал на $C_{c}^{\infty }(U)$ то следующие условия эквивалентны:

1. Т — распределение;
2. Определение : T — непрерывная функция .
3. T непрерывен в начале координат.
4. T непрерывен равномерно .
5. T — ограниченный оператор .
6. T непрерывен секвенционно .
   • явно для каждой последовательности $\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ в $C_{c}^{\infty }(U)$ который сходится в $C_{c}^{\infty }(U)$ некоторым $f\in C_{c}^{\infty }(U),$ $\lim _{i\to \infty }T\left(f_{i}\right)=T(f);$
7. T в секвенциально непрерывен начале координат; другими словами, T отображает нулевые последовательности к нулевым последовательностям.
   • явно для каждой последовательности $\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ в $C_{c}^{\infty }(U)$ который сходится в $C_{c}^{\infty }(U)$ к началу координат (такая последовательность называется нулевой последовательностью ), $\lim _{i\to \infty }T\left(f_{i}\right)=0.$
   • нулевая последовательность по определению — это последовательность, которая сходится к началу координат.
8. T отображает нулевые последовательности в ограниченные подмножества.
   • явно для каждой последовательности $\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ в $C_{c}^{\infty }(U)$ который сходится в $C_{c}^{\infty }(U)$ к началу, последовательности $\left(T\left(f_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }$ ограничен.
9. T отображает Макки сходящиеся нулевые последовательности ограниченным подмножествам;
   • явно, для каждой сходящейся нулевой последовательности Макки $\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ в $C_{c}^{\infty }(U),$ последовательность $\left(T\left(f_{i}\right)\right)_{i=1}^{\infty }$ ограничен.
   • последовательность $f_{\bullet }=\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ называется сходящейся по Макки, к 0 если существует расходящаяся последовательность $r_{\bullet }=\left(r_{i}\right)_{i=1}^{\infty }\to \infty$ положительного действительного числа такого, что последовательность $\left(r_{i}f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ ограничен; каждая последовательность, сходящаяся по Макки к 0, обязательно сходится к началу координат (в обычном смысле).
10. Ядро T является замкнутым подпространством $C_{c}^{\infty }(U).$
11. График T замкнут.
12. Существует непрерывная полунорма $g$ на $C_{c}^{\infty }(U)$ такой, что $|T|\leq g.$
13. Существует константа $C>0,$ совокупность непрерывных полунорм, ${\mathcal {P}},$ который определяет каноническую топологию LF $C_{c}^{\infty }(U),$ и конечное подмножество $\left\{g_{1},\ldots ,g_{m}\right\}\subseteq {\mathcal {P}}$ такой, что $|T|\leq C(g_{1}+\cdots g_{m});$
14. Для каждого компактного подмножества $K\subseteq U$ существуют константы $C>0$ и $N\in \mathbb {N}$ такой, что для всех $f\in C^{\infty }(K),$ $$|T(f)|\leq C\sup\{|\partial ^{p}f(x)|:x\in U,|\alpha |\leq N\}.$$
15. Для каждого компактного подмножества $K\subseteq U$ существуют константы $C_{K}>0$ и $N_{K}\in \mathbb {N}$ такой, что для всех $f\in C_{c}^{\infty }(U)$ при поддержке, содержащейся в $K,$ $$|T(f)|\leq C_{K}\sup\{\left|\partial ^{\alpha }f(x)\right|:x\in K,|\alpha |\leq N_{K}\}.$$
16. Для любого компактного подмножества $K\subseteq U$ и любая последовательность $\{f_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ в $C^{\infty }(K),$ если $\{\partial ^{p}f_{i}\}_{i=1}^{\infty }$ сходится равномерно к нулю для всех мультииндексов $p,$ затем $T(f_{i})\to 0.$
17. Любое из трех приведенных выше утверждений (то есть утверждений 14, 15 и 16), но с дополнительным требованием, что компактное множество $K$ принадлежит $\mathbb {K} .$

Топология в пространстве распределений

См. также: Сильное двойное пространство , Полярная топология , Двойная топология и Двойная система.

Определение и обозначения : Пространство распределений на U , обозначаемое ${\mathcal {D}}^{\prime }(U),$ представляет собой непрерывное двойственное пространство $C_{c}^{\infty }(U)$ наделенный топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах $C_{c}^{\infty }(U).$ Более кратко, пространство распределений на U есть ${\mathcal {D}}^{\prime }(U):=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }.$

Топологию равномерной сходимости на ограниченных подмножествах называют также сильной двойственной топологией . Эта топология выбрана потому, что именно с этой топологией ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ становится ядерным пространством Монтеля , и именно с этой топологией справедлива теорема Шварца о ядрах . Независимо от того, на какой двойной топологии размещена ${\mathcal {D}}^{\prime }(U),$ последовательность распределений сходится в этой топологии тогда и только тогда , когда она сходится поточечно (хотя это не обязательно верно для сети ). Независимо от того, какая топология выбрана, ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ будет неметризуемым локально выпуклым топологическим векторным пространством . Пространство ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ отделим ​ и обладает сильным свойством Пыткеева но это не k-пространство ни последовательного пространства , из чего, в частности, следует, что он не метризуем , а также что его топологию нельзя определить, используя только последовательности.

Топологические свойства

Категории топологического векторного пространства

Каноническая топология LF делает $C_{c}^{k}(U)$ на полное выделенное строгое LF-пространство (и строгое LB-пространство тогда и только тогда, когда $k\neq \infty$), что означает, что $C_{c}^{k}(U)$ является скудным подмножеством самого себя. Более того, $C_{c}^{k}(U),$ а также его сильное двойственное пространство , является полным Хаусдорфовым локально выпуклым бочоночным борнологическим пространством Макки . Сильный дуал ​ $C_{c}^{k}(U)$ является пространством Фреше тогда и только тогда, когда $k\neq \infty$ в частности, сильный двойник $C_{c}^{\infty }(U),$ что такое пространство ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ распределений на U не топология метризуемо (заметим, что слабого* на ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ также не метризуема и, более того, лишена почти всех тех замечательных свойств, которые сильная двойственная топология. дает ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$).

Три пространства $C_{c}^{\infty }(U),$ $C^{\infty }(U),$ и пространство Шварца ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}),$ а также сильные двойники каждого из этих трех пространств являются полными ядерными Круглолицый борнологические пространства , из чего следует, что все шесть из этих локально выпуклых пространств также паракомпактны. рефлексивные бочкообразные пространства Макки . Пространства $C^{\infty }(U)$ и ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ оба являются выделенными пространствами Фреше . Более того, оба $C_{c}^{\infty }(U)$ и ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ Это телевизоры Schwartz .

Сходящиеся последовательности

Сходящиеся последовательности и их недостаточность для описания топологий

Сильные двойственные пространства $C^{\infty }(U)$ и ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ являются секвенциальными пространствами , но не пространствами Фреше-Урысона . Более того, ни пространство пробных функций $C_{c}^{\infty }(U)$ ни его сильный двойной ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ является секвенциальным пространством (даже не пространством Асколи ), что, в частности, означает, что их топологии не могут быть полностью определены в терминах сходящихся последовательностей.

Последовательность $\left(f_{i}\right)_{i=1}^{\infty }$ в $C_{c}^{k}(U)$ сходится в $C_{c}^{k}(U)$ тогда и только тогда, когда существует некоторое $K\in \mathbb {K}$ такой, что $C^{k}(K)$ содержит эту последовательность и эта последовательность сходится в $C^{k}(K)$; эквивалентно, он сходится тогда и только тогда, когда выполняются следующие два условия:

1. Есть компактный набор. $K\subseteq U$ содержащий опоры всех $f_{i}.$
2. Для каждого мультииндекса $\alpha ,$ последовательность частных производных $\partial ^{\alpha }f_{i}$ имеет равномерно тенденцию $\partial ^{\alpha }f.$

Ни пространство $C_{c}^{\infty }(U)$ ни его сильный двойной ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ является секвенциальным пространством , и, следовательно, их топологии не могут быть полностью определены в терминах сходящихся последовательностей. По этой причине приведенной выше характеристики сходимости последовательности недостаточно для определения канонической топологии LF на $C_{c}^{\infty }(U).$ То же самое можно сказать и о сильной дуальной топологии на ${\mathcal {D}}^{\prime }(U).$

Какие последовательности характеризуют

Тем не менее, как мы сейчас обсудим, последовательности характеризуют многие важные свойства. Известно, что в дуальном пространстве к любому пространству Монтеля последовательность сходится в сильной дуальной топологии когда она сходится в слабой топологии тогда и только тогда , что, в частности, является причиной того, что последовательность распределений сходится (в сильной двойственной топологии) тогда и только тогда, когда она сходится поточечно (это заставляет многих авторов использовать поточечную сходимость для фактического определения сходимости последовательности распределений; это нормально). для последовательностей, но не распространяется на сходимость сетей распределений, поскольку сеть может сходиться поточечно, но не сходиться в сильной двойственной топологии).

Последовательности характеризуют непрерывность линейных отображений, оцененных в локально выпуклом пространстве. Предположим, что X — локально выпуклое борнологическое пространство (такое как любое из шести TVS, упомянутых ранее). Тогда линейное отображение $F:X\to Y$ в локально выпуклое пространство Y непрерывно тогда и только тогда, когда оно отображает нулевые последовательности в X к ограниченным Y . подмножествам В более общем смысле такое линейное отображение $F:X\to Y$ является непрерывным тогда и только тогда, когда он отображает сходящиеся по Макки нулевые последовательности ограниченным подмножествам $Y.$ Так, в частности, если линейное отображение $F:X\to Y$ в локально выпуклое пространство секвенциально непрерывна в начале координат, то она непрерывна. Однако это не обязательно распространяется на нелинейные отображения и/или карты, оцененные в топологических пространствах, которые не являются локально выпуклыми TVS.

Для каждого $k\in \{0,1,\ldots ,\infty \},C_{c}^{\infty }(U)$ плотен последовательно в $C_{c}^{k}(U).$ Более того, $\{D_{\phi }:\phi \in C_{c}^{\infty }(U)\}$ является секвенциально плотным подмножеством ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ (с сильной двойной топологией) а также секвенциально плотное подмножество сильного дуального пространства $C^{\infty }(U).$

Последовательности распределений

Основная статья: Предел раздач

Последовательность раздач $(T_{i})_{i=1}^{\infty }$ сходится относительно топологии слабого* на ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ к распределению T тогда и только тогда, когда $$\langle T_{i},f\rangle \to \langle T,f\rangle$$для каждой тестовой функции $f\in {\mathcal {D}}(U).$ Например, если $f_{m}:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ это функция $$f_{m}(x)={\begin{cases}m&{\text{ if }}x\in [0,{\frac {1}{m}}]\\0&{\text{ otherwise }}\end{cases}}$$и $T_{m}$ это распределение, соответствующее $f_{m},$ затем $$\langle T_{m},f\rangle =m\int _{0}^{\frac {1}{m}}f(x)\,dx\to f(0)=\langle \delta ,f\rangle$$как $m\to \infty ,$ так $T_{m}\to \delta$ в ${\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} ).$ Таким образом, для больших $m,$ функция $f_{m}$ можно рассматривать как приближение дельта-распределения Дирака.

Другие объекты недвижимости

• Сильное двойственное пространство ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ TVS изоморфен $C_{c}^{\infty }(U)$ через канонический TVS-изоморфизм $C_{c}^{\infty }(U)\to ({\mathcal {D}}^{\prime }(U))'_{b}$ определяется отправкой $f\in C_{c}^{\infty }(U)$ оценивать по $f$ (т.е. к линейному функционалу на ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ определяется отправкой $d\in {\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ к $d(f)$);
• На любом ограниченном подмножестве ${\mathcal {D}}^{\prime }(U),$ топологии слабого и сильного подпространства совпадают; то же самое верно и для $C_{c}^{\infty }(U)$;
• Любая слабо сходящаяся последовательность в ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ сильно сходится (хотя это не распространяется на сети ).

Локализация дистрибутивов

Предварительные сведения: транспонирование линейного оператора

Основная статья: Транспонирование линейной карты

Операции над распределениями и пространствами распределений часто определяются посредством транспонирования линейного оператора. Это связано с тем, что транспонирование позволяет унифицированно представить многие определения теории распределений, а также потому, что его свойства хорошо известны в функциональном анализе . Например, хорошо известный эрмитово сопряжение линейного оператора между гильбертовыми пространствами представляет собой просто транспонирование оператора (но с теоремой о представлении Рисса, используемой для отождествления каждого гильбертова пространства с его непрерывным двойственным пространством ). В общем случае транспонирование непрерывного линейного отображения $A:X\to Y$ это линейная карта $${}^{t}A:Y'\to X'\qquad {\text{ defined by }}\qquad {}^{t}A(y'):=y'\circ A,$$ или, что то же самое, это уникальное отображение, удовлетворяющее $\langle y',A(x)\rangle =\left\langle {}^{t}A(y'),x\right\rangle$ для всех $x\in X$ и все $y'\in Y'$ (главный символ в $y'$ не означает производную любого рода; это просто указывает на то, что $y'$ является элементом непрерывного дуального пространства $Y'$). С $A$ непрерывно, транспонирование ${}^{t}A:Y'\to X'$ также является непрерывным, когда оба дуала наделены соответствующими сильными дуальными топологиями ; он также непрерывен, когда оба дуала наделены соответствующими слабыми* топологиями см. в статьях полярная топология и дуальная система ( более подробную информацию ).

В контексте распределений характеристику транспонирования можно немного уточнить. Позволять $A:{\mathcal {D}}(U)\to {\mathcal {D}}(U)$ быть непрерывным линейным отображением. Тогда по определению транспонирование $A$ — единственный линейный оператор $A^{t}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)$ что удовлетворяет: $$\langle {}^{t}A(T),\phi \rangle =\langle T,A(\phi )\rangle \quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(U){\text{ and all }}T\in {\mathcal {D}}'(U).$$

С ${\mathcal {D}}(U)$ плотный в ${\mathcal {D}}'(U)$ (здесь, ${\mathcal {D}}(U)$ на самом деле относится к набору дистрибутивов $\left\{D_{\psi }:\psi \in {\mathcal {D}}(U)\right\}$) достаточно, чтобы определяющее равенство выполнялось для всех распределений вида $T=D_{\psi }$ где $\psi \in {\mathcal {D}}(U).$ Явно это означает, что непрерывное линейное отображение $B:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(U)$ равно ${}^{t}A$ тогда и только тогда, когда выполняется приведенное ниже условие: $$\langle B(D_{\psi }),\phi \rangle =\langle {}^{t}A(D_{\psi }),\phi \rangle \quad {\text{ for all }}\phi ,\psi \in {\mathcal {D}}(U)$$где правая часть равна $\langle {}^{t}A(D_{\psi }),\phi \rangle =\langle D_{\psi },A(\phi )\rangle =\langle \psi ,A(\phi )\rangle =\int _{U}\psi \cdot A(\phi )\,dx.$

Расширения и ограничения открытого подмножества

Позволять $V\subseteq U$ быть открытыми подмножествами $\mathbb {R} ^{n}.$ Каждая функция $f\in {\mathcal {D}}(V)$ может быть расширен нулем из своей области определения $V$ к функции на $U$ установив его равным $0$ в дополнении $U\setminus V.$ Это расширение представляет собой гладкую функцию с компактным носителем, называемую тривиальным расширением $f$ к $U$ и это будет обозначаться $E_{VU}(f).$Это задание $f\mapsto E_{VU}(f)$ определяет расширения тривиальный оператор $E_{VU}:{\mathcal {D}}(V)\to {\mathcal {D}}(U),$ которое является непрерывным инъективным линейным отображением. Он используется для канонической идентификации ${\mathcal {D}}(V)$ как векторное подпространство ${\mathcal {D}}(U)$ (хотя и не как топологическое подпространство ). Его транспонирование ( описано здесь ) $$\rho _{VU}:={}^{t}E_{VU}:{\mathcal {D}}'(U)\to {\mathcal {D}}'(V),$$ называется ограничение на $V$ распределений в $U$ и, как следует из названия, образ $\rho _{VU}(T)$ распределения $T\in {\mathcal {D}}'(U)$ под этой картой находится распределение по $V$ называется ограничением $T$ к $V.$ Определяющее условие ограничения $\rho _{VU}(T)$ является: $$\langle \rho _{VU}T,\phi \rangle =\langle T,E_{VU}\phi \rangle \quad {\text{ for all }}\phi \in {\mathcal {D}}(V).$$Если $V\neq U$ тогда (непрерывное инъективное линейное) тривиальное отображение расширения $E_{VU}:{\mathcal {D}}(V)\to {\mathcal {D}}(U)$ является не топологическим вложением (другими словами, если бы эта линейная инъекция использовалась для идентификации ${\mathcal {D}}(V)$ как подмножество ${\mathcal {D}}(U)$ затем ${\mathcal {D}}(V)$топология будет строго тоньше, чем топология подпространства , которая ${\mathcal {D}}(U)$ наводит на это; что важно, это не будет топологическое подпространство , поскольку это требует равенства топологий), и его диапазон также не плотен в своей кодомене. ${\mathcal {D}}(U).$ Следовательно, если $V\neq U$ тогда отображение ограничения не является ни инъективным, ни сюръективным. Распределение $S\in {\mathcal {D}}'(V)$ называется расширяемым до U , если оно принадлежит области транспонирования $E_{VU}$ и называется расширяемым, если его можно расширить до $\mathbb {R} ^{n}.$

Пока не $U=V,$ ограничение на $V$ не является ни инъективным , ни сюръективным .

Пространства распределений

Для всех $0<k<\infty$ и все $1<p<\infty ,$ все следующие канонические инъекции непрерывны и имеют изображение/диапазон , который является плотным подмножеством их кодомена: $${\begin{matrix}C_{c}^{\infty }(U)&\to &C_{c}^{k}(U)&\to &C_{c}^{0}(U)&\to &L_{c}^{\infty }(U)&\to &L_{c}^{p+1}(U)&\to &L_{c}^{p}(U)&\to &L_{c}^{1}(U)\\\downarrow &&\downarrow &&\downarrow &&&&&&&&&&\\C^{\infty }(U)&\to &C^{k}(U)&\to &C^{0}(U)&&&&&&&&&&\end{matrix}}$$где топологии в LB-пространствах $L_{c}^{p}(U)$ являются каноническими топологиями LF, как определено ниже (поэтому, в частности, они не являются обычными топологиями нормы). Диапазон каждой из карт выше (и любой композиции карт выше) плотен в кодомене. Действительно, $C_{c}^{\infty }(U)$ даже последовательно плотно в каждом $C_{c}^{k}(U).$ Для каждого $1\leq p\leq \infty ,$ каноническое включение $C_{c}^{\infty }(U)\to L^{p}(U)$ в нормированное пространство $L^{p}(U)$ (здесь $L^{p}(U)$ имеет свою обычную нормальную топологию ) является непрерывной линейной инъекцией и образ этой инъекции плотен в своей кодобласти тогда и только тогда, когда $p\neq \infty$ .

Предположим, что $X$ является одним из LF-пространств $C_{c}^{k}(U)$ (для $k\in \{0,1,\ldots ,\infty \}$) или LB-пространства $L_{c}^{p}(U)$ (для $1\leq p\leq \infty$) или нормированные пространства $L^{p}(U)$ (для $1\leq p<\infty$). Поскольку каноническая инъекция $\operatorname {In} _{X}:C_{c}^{\infty }(U)\to X$ — непрерывная инъекция, образ которой плотен в кодомене, транспонирование этой карты ${}^{t}\operatorname {In} _{X}:X'_{b}\to {\mathcal {D}}'(U)=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)'_{b}$ представляет собой непрерывную инъекцию. Таким образом, это инъективное транспонированное отображение допускает непрерывное двойственное пространство. $X'$ из $X$ отождествляться с некоторым векторным подпространством пространства ${\mathcal {D}}'(U)$ всех распределений (в частности, оно идентифицируется с изображением этой транспонированной карты). Эта непрерывная транспонированная карта не обязательно является TVS-вложением, поэтому топология, которую эта карта переносит из своей области определения в изображение $\operatorname {Im} \left({}^{t}\operatorname {In} _{X}\right)$ тоньше, чем топология подпространства, которую это пространство наследует от ${\mathcal {D}}^{\prime }(U).$ Линейное подпространство ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ несущий локально выпуклую топологию, более тонкую, чем топология подпространства, индуцированная ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }$ называется пространством распределений . Таким образом возникают почти все пространства распределений, упомянутые в этой статье (например, умеренное распределение, ограничения, распределения порядка). $\leq$ некоторое целое число, распределения, индуцированные положительной мерой Радона, распределения, индуцированные $L^{p}$-функция и т. д.), и любая теорема о представлении дуального пространства X может посредством транспонирования ${}^{t}\operatorname {In} _{X}:X'_{b}\to {\mathcal {D}}^{\prime }(U),$ переноситься непосредственно на элементы пространства $\operatorname {Im} \left({}^{t}\operatorname {In} _{X}\right).$

Компактно поддерживаемый L ^п -пространства

Данный $1\leq p\leq \infty ,$ векторное пространство $L_{c}^{p}(U)$ из компактно поддерживается $L^{p}$ функции на $U$ и его топология определяются как прямые пределы пространств $L_{c}^{p}(K)$ аналогично тому, как канонические LF-топологии на $C_{c}^{k}(U)$ были определены. Для любого компакта $K\subseteq U,$ позволять $L^{p}(K)$ обозначают множество всех элементов в $L^{p}(U)$ (которые, напомним, являются классом эквивалентности измеримых по Лебегу $L^{p}$ функции на $U$) иметь представителя $f$ чья поддержка (каким отзывом является закрытие $\{u\in U:f(x)\neq 0\}$ в $U$) является подмножеством $K$ (такой $f$ почти всюду определен в $K$). Набор $L^{p}(K)$ является замкнутым векторным подпространством $L^{p}(U)$ и, таким образом, является банаховым пространством , и когда $p=2,$ даже гильбертово пространство . Позволять $L_{c}^{p}(U)$ быть союзом всех $L^{p}(K)$ как $K\subseteq U$ распространяется по всем компактным подмножествам $U.$ Набор $L_{c}^{p}(U)$ является векторным подпространством $L^{p}(U)$ чьи элементы являются (классами эквивалентности) с компактным носителем $L^{p}$ функции, определенные на $U$ (или почти везде на $U$). Дарить $L_{c}^{p}(U)$ с окончательной топологией (топологией прямого предела), индуцированной отображениями включения $L^{p}(K)\to L_{c}^{p}(U)$ как $K\subseteq U$ распространяется по всем компактным подмножествам $U.$ Эта топология называется канонической топологией LF и равна финальной топологии, индуцированной любым счетным набором отображений включения. $L^{p}(K_{n})\to L_{c}^{p}(U)$ ( $n=1,2,\ldots$) где $K_{1}\subseteq K_{2}\subseteq \cdots$ любые компакты с объединением, равным $U.$ Эта топология делает $L_{c}^{p}(U)$ в LB-пространство (и, следовательно, также в LF-пространство ) с топологией, которая строго тоньше, чем топология нормы (подпространства), которая $L^{p}(U)$ наводит на это.

Радоновые меры

Карта включения $\operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{0}(U)$ представляет собой непрерывную инъекцию, изображение которой плотно в своей кодомене, поэтому транспонирование ${}^{t}\operatorname {In} :\left(C_{c}^{0}(U)\right)_{b}^{\prime }\to {\mathcal {D}}^{\prime }(U)=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }$ также является непрерывной инъекцией.

Заметим, что непрерывное дуальное пространство $\left(C_{c}^{0}(U)\right)_{b}^{\prime }$ можно идентифицировать как пространство мер Радона , где имеется взаимно однозначное соответствие между непрерывными линейными функционалами $T\in \left(C_{c}^{0}(U)\right)_{b}^{\prime }$ и интегральный по мере Радона; то есть,

• если $T\in \left(C_{c}^{0}(U)\right)_{b}^{\prime }$ тогда существует мера Радона $\mu$ на U такой, что для всех $f\in C_{c}^{0}(U),T(f)=\textstyle \int _{U}f\,d\mu ,$ и
• если $\mu$ является мерой Радона на U , то линейный функционал на $C_{c}^{0}(U)$ определяется $C_{c}^{0}(U)\ni f\mapsto \textstyle \int _{U}f\,d\mu$ является непрерывным.

Через инъекцию ${}^{t}\operatorname {In} :\left(C_{c}^{0}(U)\right)_{b}^{\prime }\to {\mathcal {D}}^{\prime }(U),$ каждая мера Радона становится распределением на U . Если $f$ является локально интегрируемой функцией на U , то распределение $\phi \mapsto \textstyle \int _{U}f(x)\phi (x)\,dx$ – мера Радона; поэтому меры Радона образуют большое и важное пространство распределений.

Ниже приводится теорема о структуре распределений мер Радона , которая показывает, что каждую меру Радона можно записать как сумму производных локальных мер Радона. $L^{\infty }$ функции в U :

Теорема. - Предполагать $T\in {\mathcal {D}}'(U)$ – мера Радона, где $U\subseteq \mathbb {R} ^{n},$ позволять $V\subseteq U$ быть районом поддержки $T,$ и пусть $I=\{p\in \mathbb {N} ^{n}:|p|\leq n\}.$ Существует семья $f=(f_{p})_{p\in I}$ локально $L^{\infty }$ функции на U такие, что $\operatorname {supp} f_{p}\subseteq V$ для каждого $p\in I,$ и $$T=\sum _{p\in I}\partial ^{p}f_{p}.$$Более того, $T$ также равна конечной сумме производных непрерывных функций на $U,$ где каждая производная имеет порядок $\leq 2n.$

Положительные меры радона

Линейная функция Т в пространстве функций называется положительной, если всякий раз, когда функция $f$ принадлежащий области определения T , неотрицательен (это означает, что $f$ имеет реальную ценность и $f\geq 0$) затем $T(f)\geq 0.$ Можно показать, что каждый положительный линейный функционал на $C_{c}^{0}(U)$ обязательно непрерывна (т. е. обязательно является мерой Радона). Мера Лебега является примером положительной меры Радона.

Локально интегрируемые функции как распределения

Одним особенно важным классом мер Радона являются те, которые являются индуцированными локально интегрируемыми функциями. Функция $f:U\to \mathbb {R}$ называется локально интегрируемым , если оно интегрируемо по Лебегу по любому компактному подмножеству K в U . Это большой класс функций, включающий все непрерывные функции и все пространство Lp. $L^{p}$ функции. Топология на ${\mathcal {D}}(U)$ определяется таким образом, что любая локально интегрируемая функция $f$ дает непрерывный линейный функционал на ${\mathcal {D}}(U)$ – то есть элемент ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ – обозначено здесь $T_{f}$, значение которого на тестовой функции $\phi$ задается интегралом Лебега: $$\langle T_{f},\phi \rangle =\int _{U}f\phi \,dx.$$

Традиционно злоупотребляют обозначениями , идентифицируя $T_{f}$ с $f,$ при условии, что не может возникнуть путаница, и, таким образом, соединение между $T_{f}$ и $\phi$ часто пишут $$\langle f,\phi \rangle =\langle T_{f},\phi \rangle .$$

Если $f$ и g — две локально интегрируемые функции, то соответствующие распределения $T_{f}$ и T _g равны одному и тому же элементу ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ тогда и только тогда, когда $f$ и g равны почти всюду (см., например, Хёрмандер (1983 , теорема 1.2.5)). Аналогично каждая мера Радона $\mu$ на U определяет элемент ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ значение которого в тестовой функции $\phi$ является $\textstyle \int \phi \,d\mu .$ Как и выше, принято злоупотреблять обозначениями и записывать пару между мерой Радона $\mu$ и тестовая функция $\phi$ как $\langle \mu ,\phi \rangle .$ И наоборот, как показано в теореме Шварца (аналогично теореме о представлении Рисса ), каждое распределение, которое неотрицательно для неотрицательных функций, имеет этот вид для некоторой (положительной) меры Радона.

Тестовые функции как распределения

Тестовые функции сами по себе локально интегрируемы и поэтому определяют распределения. Пространство тестовых функций $C_{c}^{\infty }(U)$ последовательно плотен в ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ относительно сильной топологии на ${\mathcal {D}}^{\prime }(U).$ Это означает, что для любого $T\in {\mathcal {D}}^{\prime }(U),$ существует последовательность тестовых функций, $(\phi _{i})_{i=1}^{\infty },$ который сходится к $T\in {\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ (в сильной двойственной топологии), если рассматривать его как последовательность распределений. Или, что то же самое, $$\langle \phi _{i},\psi \rangle \to \langle T,\psi \rangle \qquad {\text{ for all }}\psi \in {\mathcal {D}}(U).$$

Более того, $C_{c}^{\infty }(U)$ также секвенциально плотно в сильном дуальном пространстве $C^{\infty }(U).$

Дистрибутивы с компактной поддержкой

Карта включения $\operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C^{\infty }(U)$ представляет собой непрерывную инъекцию, изображение которой плотно в своей кодомене, поэтому транспонирование ${}^{t}\operatorname {In} :\left(C^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }\to {\mathcal {D}}^{\prime }(U)=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }$ также является непрерывной инъекцией. Таким образом, образ транспонирования, обозначаемый ${\mathcal {E}}^{\prime }(U),$ образует пространство распределений, когда оно наделено сильной двойственной топологией $\left(C^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }$ (перенесено в него через транспонированную карту ${}^{t}\operatorname {In} :\left(C^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }\to {\mathcal {E}}^{\prime }(U),$ поэтому топология ${\mathcal {E}}^{\prime }(U)$ тоньше, чем топология подпространства, которую этот набор наследует от ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$).

Элементы ${\mathcal {E}}^{\prime }(U)=\left(C^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }$ можно определить как пространство распределений с компактным носителем. Явно, если T является распределением на U , то следующие утверждения эквивалентны:

• $T\in {\mathcal {E}}^{\prime }(U)$;
• носитель T компактен;
• ограничение $T$ к $C_{c}^{\infty }(U),$ когда это пространство оснащено топологией подпространства, унаследованной от $C^{\infty }(U)$ (более грубая топология, чем каноническая топология LF), непрерывна;
• существует компактное подмножество K в U такое, что для любой пробной функции $\phi$ носитель которого полностью вне K , мы имеем $T(\phi )=0.$

Компактные распределения определяют непрерывные линейные функционалы в пространстве. $C^{\infty }(U)$; Напомним, что топология на $C^{\infty }(U)$ определяется так, что последовательность тестовых функций $\phi _{k}$ сходится к 0 тогда и только тогда, когда все производные $\phi _{k}$ сходятся равномерно к 0 на каждом компактном подмножестве U . Обратно, можно показать, что каждый непрерывный линейный функционал в этом пространстве определяет распределение с компактным носителем. Таким образом, компактно поддерживаемые дистрибутивы можно отождествить с теми дистрибутивами, которые можно расширить из $C_{c}^{\infty }(U)$ к $C^{\infty }(U).$

Распределения конечного порядка

Позволять $k\in \mathbb {N} .$ Карта включения $\operatorname {In} :C_{c}^{\infty }(U)\to C_{c}^{k}(U)$ представляет собой непрерывную инъекцию, изображение которой плотно в своей кодомене, поэтому транспонирование ${}^{t}\operatorname {In} :\left(C_{c}^{k}(U)\right)_{b}^{\prime }\to {\mathcal {D}}^{\prime }(U)=\left(C_{c}^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }$ также является непрерывной инъекцией. Следовательно, образ ${}^{t}\operatorname {In} ,$ обозначается ${\mathcal {D}}'^{k}(U),$ образует пространство распределений, когда оно наделено сильной двойственной топологией $\left(C_{c}^{k}(U)\right)_{b}^{\prime }$ (перенесено в него через транспонированную карту ${}^{t}\operatorname {In} :\left(C^{\infty }(U)\right)_{b}^{\prime }\to {\mathcal {D}}'^{k}(U),$ так ${\mathcal {D}}'^{m}(U)$топология более тонкая, чем топология подпространства, которую этот набор наследует от ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$). Элементы ${\mathcal {D}}'^{k}(U)$ являются распределениями порядка $\,\leq k.$ Распределения порядка $\,\leq 0,$ которые еще называют распределениями порядка $0,$ это именно те распределения, которые являются мерами Радона (описанными выше).

Для $0\neq k\in \mathbb {N} ,$ распределение заказа $k$ это распределение порядка $\,\leq k$ это не распределение порядка $\,\leq k-1$

Говорят, что распределение имеет конечный порядок , если существует некоторое целое число k такое, что оно является распределением порядка $\,\leq k,$ а множество распределений конечного порядка обозначим через ${\mathcal {D}}'^{F}(U).$ Обратите внимание, что если $k\leq 1$ затем ${\mathcal {D}}'^{k}(U)\subseteq {\mathcal {D}}'^{l}(U)$ так что ${\mathcal {D}}'^{F}(U)$ является векторным подпространством ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ и, кроме того, тогда и только тогда, когда ${\mathcal {D}}'^{F}(U)={\mathcal {D}}^{\prime }(U).$

Структура распределений конечного порядка

Каждое распределение с компактным носителем в U является распределением конечного порядка. Действительно, каждое распределение в U является локально распределением конечного порядка в следующем смысле: Если V — открытое и относительно компактное подмножество U и если $\rho _{VU}$ — отображение ограничения из U в V , тогда образ ${\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ под $\rho _{VU}$ содержится в ${\mathcal {D}}'^{F}(V).$

Ниже приводится теорема о структуре распределений конечного порядка, которая показывает, что каждое распределение конечного порядка можно записать как сумму производных мер Радона :

Теорема - Предполагать $T\in {\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ имеет конечный порядок и $I=\{p\in \mathbb {N} ^{n}:|p|\leq k\}.$ Для любого открытого подмножества V из U, содержащего носитель T , существует семейство мер Радона в U , $(\mu _{p})_{p\in I},$ такой, что очень $p\in I,\operatorname {supp} (\mu _{p})\subseteq V$ и $$T=\sum _{|p|\leq k}\partial ^{p}\mu _{p}.$$

Пример. (Распределения бесконечного порядка) Пусть $U:=(0,\infty )$ и для каждой тестовой функции $f,$ позволять $$Sf:=\sum _{m=1}^{\infty }(\partial ^{m}f)\left({\frac {1}{m}}\right).$$

Тогда S распределение бесконечного порядка на U. — Более того, S нельзя расширить до распределения на $\mathbb {R}$; то есть не существует распределения T на $\mathbb {R}$ такой, что ограничение T на U равно T .

Умеренные распределения и преобразование Фурье

Для умеренных распределений в полупростых группах см. Умеренное представление .

Ниже определены умеренные распределения , которые образуют подпространство ${\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}),$ пространство распределений на $\mathbb {R} ^{n}.$ Это правильное подпространство: хотя каждое умеренное распределение является распределением и элементом ${\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}),$ обратное неверно. Умеренные распределения полезны при изучении преобразования Фурье , поскольку все умеренные распределения имеют преобразование Фурье, что неверно для произвольного распределения в ${\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}).$

Пространство Шварца

Пространство Шварца , ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}),$ — это пространство всех гладких функций, быстро убывающих на бесконечности, а также всех частных производных. Таким образом $\phi :\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R}$ находится в пространстве Шварца при условии, что любая производная от $\phi ,$ умноженное на любую степень $|x|,$ сходится к 0 как $|x|\to \infty .$ Эти функции образуют полную ТВС с подходящим образом определенным семейством полунорм . Точнее, для любых мультииндексов $\alpha$ и $\beta$ определять: $$p_{\alpha ,\beta }(\phi )~=~\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|.$$

Затем $\phi$ находится в пространстве Шварца, если все значения удовлетворяют: $$p_{\alpha ,\beta }(\phi )<\infty .$$

Семейство полунорм $p_{\alpha ,\beta }$ определяет локально выпуклую топологию в пространстве Шварца. Для $n=1,$ полунормы фактически являются нормами в пространстве Шварца. Для определения топологии можно также использовать следующее семейство полунорм: $$|f|_{m,k}=\sup _{|p|\leq m}\left(\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left\{(1+|x|)^{k}\left|(\partial ^{\alpha }f)(x)\right|\right\}\right),\qquad k,m\in \mathbb {N} .$$

В противном случае можно определить норму на ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ с помощью $$\|\phi \|_{k}~=~\max _{|\alpha |+|\beta |\leq k}\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|,\qquad k\geq 1.$$

Пространство Шварца является пространством Фреше (т. е. полным метризуемым локально выпуклым пространством). Поскольку преобразование Фурье меняется $\partial ^{\alpha }$ в умножение на $x^{\alpha }$ и наоборот, эта симметрия означает, что преобразование Фурье функции Шварца также является функцией Шварца.

Последовательность $\{f_{i}\}$ в ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ сходится к 0 в ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ тогда и только тогда, когда функции $(1+|x|)^{k}(\partial ^{p}f_{i})(x)$ сходятся к 0 равномерно по всему $\mathbb {R} ^{n},$ откуда следует, что такая последовательность должна сходиться к нулю в $C^{\infty }(\mathbb {R} ^{n}).$

${\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})$ плотный в ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}).$ Подмножество всех аналитических функций Шварца плотно в ${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ также.

Пространство Шварца является ядерным , и тензорное произведение двух отображений индуцирует канонические сюръективные TVS-изоморфизмы. $${\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m})\ {\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m+n}),$$где ${\widehat {\otimes }}$ представляет собой пополнение инъективного тензорного произведения (которое в данном случае идентично пополнению проективного тензорного произведения ).

Умеренные дистрибутивы

Карта включения $\operatorname {In} :{\mathcal {D}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ представляет собой непрерывную инъекцию, изображение которой плотно в своей кодомене, поэтому транспонирование ${}^{t}\operatorname {In} :({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}))'_{b}\to {\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})$ также является непрерывной инъекцией. Таким образом, образ транспонированной карты, обозначаемый ${\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}),$ образует пространство распределений, когда оно наделено сильной двойственной топологией $({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}))'_{b}$ (перенесено в него через транспонированную карту ${}^{t}\operatorname {In} :({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n}))'_{b}\to {\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}),$ поэтому топология ${\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})$ тоньше, чем топология подпространства, которую этот набор наследует от ${\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})$).

Пространство ${\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})$ называется пространством умеренных распределений . Это непрерывный двойник пространства Шварца. Эквивалентно, распределение T является умеренным распределением тогда и только тогда, когда $$\left({\text{ for all }}\alpha ,\beta \in \mathbb {N} ^{n}:\lim _{m\to \infty }p_{\alpha ,\beta }(\phi _{m})=0\right)\Longrightarrow \lim _{m\to \infty }T(\phi _{m})=0.$$

Производная умеренного распределения снова является умеренным распределением. Умеренные распределения обобщают ограниченные (или медленно растущие) локально интегрируемые функции; все распределения с компактным носителем и все функции, интегрируемые с квадратом, являются умеренными распределениями. В более общем смысле, все функции, являющиеся произведениями полиномов с элементами пространства Lp. $L^{p}(\mathbb {R} ^{n})$ для $p\geq 1$ являются умеренными распределениями.

Умеренные распределения также можно охарактеризовать как медленно растущие , что означает, что каждая производная T растет не более чем с той же скоростью, что и некоторый полином . Эта характеристика двойственна быстро падающему поведению производных функции в пространстве Шварца, где каждая производная функции $\phi$ затухает быстрее, чем любая обратная степень $|x|.$ Пример быстро падающей функции: $|x|^{n}\exp(-\lambda |x|^{\beta })$ за любой позитив $n,\lambda ,\beta .$

Преобразование Фурье

Для изучения преобразования Фурье лучше всего рассматривать комплекснозначные пробные функции и комплексно-линейные распределения. Обычное непрерывное преобразование Фурье $F:{\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$ является TVS- автоморфизмом пространства Шварца, а преобразование Фурье определяется как его транспонирование ${}^{t}F:{\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}),$ который (злоупотребление обозначениями) снова будет обозначаться F . Таким образом, преобразование Фурье умеренного распределения T определяется формулой $(FT)(\psi )=T(F\psi )$ для каждой функции Шварца $\psi .$ $FT$ таким образом, это снова умеренное распределение. Преобразование Фурье представляет собой TVS-изоморфизм пространства умеренных распределений на себя. Эта операция совместима с дифференцированием в том смысле, что $$F{\dfrac {dT}{dx}}=ixFT$$а также со сверткой: если T — умеренное распределение и $\psi$ — медленно возрастающая гладкая функция на $\mathbb {R} ^{n},$ $\psi T$ снова является умеренным распределением и $$F(\psi T)=F\psi *FT$$это свертка $FT$ и $F\psi$. В частности, преобразование Фурье постоянной функции, равной 1, есть $\delta$ распределение.

Выражение умеренных распределений как суммы производных

Если $T\in {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})$ является умеренным распределением, то существует константа $C>0,$ и целые положительные числа M и N такие, что для всех функций Шварца $\phi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})$$$\langle T,\phi \rangle \leq C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}\sup _{x\in \mathbb {R} ^{n}}\left|x^{\alpha }\partial ^{\beta }\phi (x)\right|=C\sum \nolimits _{|\alpha |\leq N,|\beta |\leq M}p_{\alpha ,\beta }(\phi ).$$

Эту оценку вместе с некоторыми методами функционального анализа можно использовать, чтобы показать, что существует непрерывная медленно возрастающая функция F и многоиндексная функция. $\alpha$ такой, что $$T=\partial ^{\alpha }F.$$

Ограничение распределений компактами.

Если $T\in {\mathcal {D}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}),$ тогда для любого компакта $K\subseteq \mathbb {R} ^{n},$ существует непрерывная функция F с компактным носителем в $\mathbb {R} ^{n}$ (возможно, на большем наборе, чем сам K ) и мультииндексный $\alpha$ такой, что $T=\partial ^{\alpha }F$ на $C_{c}^{\infty }(K).$

Тензорное произведение распределений

Позволять $U\subseteq \mathbb {R} ^{m}$ и $V\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ быть открытыми множествами. Предположим, что все векторные пространства находятся над полем. $\mathbb {F} ,$ где $\mathbb {F} =\mathbb {R}$ или $\mathbb {C} .$ Для $f\in {\mathcal {D}}(U\times V)$ определить для каждого $u\in U$ и каждый $v\in V$ следующие функции: $${\begin{alignedat}{9}f_{u}:\,&V&&\to \,&&\mathbb {F} &&\quad {\text{ and }}\quad &&f^{v}:\,&&U&&\to \,&&\mathbb {F} \\&y&&\mapsto \,&&f(u,y)&&&&&&x&&\mapsto \,&&f(x,v)\\\end{alignedat}}$$

Данный $S\in {\mathcal {D}}^{\prime }(U)$ и $T\in {\mathcal {D}}^{\prime }(V),$ определить следующие функции: $${\begin{alignedat}{9}\langle S,f^{\bullet }\rangle :\,&V&&\to \,&&\mathbb {F} &&\quad {\text{ and }}\quad &&\langle T,f_{\bullet }\rangle :\,&&U&&\to \,&&\mathbb {F} \\&v&&\mapsto \,&&\langle S,f^{v}\rangle &&&&&&u&&\mapsto \,&&\langle T,f_{u}\rangle \\\end{alignedat}}$$где $\langle T,f_{\bullet }\rangle \in {\mathcal {D}}(U)$ и $\langle S,f^{\bullet }\rangle \in {\mathcal {D}}(V).$ Эти определения связывают каждое $S\in {\mathcal {D}}'(U)$ и $T\in {\mathcal {D}}'(V)$ с (соответствующей) непрерывной линейной картой: $${\begin{alignedat}{9}\,&{\mathcal {D}}(U\times V)&&\to \,&&{\mathcal {D}}(V)&&\quad {\text{ and }}\quad &&\,&&{\mathcal {D}}(U\times V)&&\to \,&&{\mathcal {D}}(U)\\&f&&\mapsto \,&&\langle S,f^{\bullet }\rangle &&&&&&f&&\mapsto \,&&\langle T,f_{\bullet }\rangle \\\end{alignedat}}$$

Более того, если либо $S$ (соответственно $T$) имеет компактный носитель, то он также индуцирует непрерывное линейное отображение $C^{\infty }(U\times V)\to C^{\infty }(V)$ (соответственно $C^{\infty }(U\times V)\to C^{\infty }(U)$).

Теорема Фубини для распределений - Позволять $S\in {\mathcal {D}}'(U)$ и $T\in {\mathcal {D}}'(V).$ Если $f\in {\mathcal {D}}(U\times V)$ затем $$\langle S,\langle T,f_{\bullet }\rangle \rangle =\langle T,\langle S,f^{\bullet }\rangle \rangle .$$

Тензорное произведение ​ $S\in {\mathcal {D}}'(U)$ и $T\in {\mathcal {D}}'(V),$ обозначается $S\otimes T$ или $T\otimes S,$ это распределение в $U\times V$ определяется: $$(S\otimes T)(f):=\langle S,\langle T,f_{\bullet }\rangle \rangle =\langle T,\langle S,f^{\bullet }\rangle \rangle .$$

Теорема о ядре Шварца

Тензорное произведение определяет билинейное отображение $${\begin{alignedat}{4}\,&{\mathcal {D}}^{\prime }(U)\times {\mathcal {D}}^{\prime }(V)&&\to \,&&{\mathcal {D}}^{\prime }(U\times V)\\&~~~~~~~~(S,T)&&\mapsto \,&&S\otimes T\\\end{alignedat}}$$диапазон диапазона этого отображения является плотным подпространством его кодомена. Более того, $\operatorname {supp} (S\otimes T)=\operatorname {supp} (S)\times \operatorname {supp} (T).$ Более того $(S,T)\mapsto S\otimes T$ порождает непрерывные билинейные отображения: $${\begin{alignedat}{8}&{\mathcal {E}}^{\prime }(U)&&\times {\mathcal {E}}^{\prime }(V)&&\to {\mathcal {E}}^{\prime }(U\times V)\\&{\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{m})&&\times {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})&&\to {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{m+n})\\\end{alignedat}}$$где ${\mathcal {E}}'$ обозначает пространство распределений с компактным носителем и ${\mathcal {S}}$ — пространство Шварца быстро убывающих функций.

Теорема о ядре Шварца — Каждое из приведенных ниже канонических отображений (определенных естественным образом) является TVS-изоморфизмом : $${\begin{alignedat}{8}&{\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{m+n})~&&~\cong ~&&~{\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{m})\ &&{\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n})~&&~\cong ~&&~L_{b}({\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{m});&&\;{\mathcal {S}}^{\prime }(\mathbb {R} ^{n}))\\&{\mathcal {E}}^{\prime }(U\times V)~&&~\cong ~&&~{\mathcal {E}}^{\prime }(U)\ &&{\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {E}}^{\prime }(V)~&&~\cong ~&&~L_{b}(C^{\infty }(U);&&\;{\mathcal {E}}^{\prime }(V))\\&{\mathcal {D}}^{\prime }(U\times V)~&&~\cong ~&&~{\mathcal {D}}^{\prime }(U)\ &&{\widehat {\otimes }}\ {\mathcal {D}}^{\prime }(V)~&&~\cong ~&&~L_{b}({\mathcal {D}}(U);&&\;{\mathcal {D}}^{\prime }(V))\\\end{alignedat}}$$Здесь ${\widehat {\otimes }}$ представляет собой пополнение инъективного тензорного произведения (которое в данном случае идентично пополнению проективного тензорного произведения , поскольку эти пространства являются ядерными ) и $L_{b}(X;Y)$ имеет топологию равномерной сходимости на ограниченных подмножествах .

Этот результат не справедлив для гильбертовых пространств, таких как $L^{2}$ и его двойственное пространство. Почему такой результат справедлив для пространства распределений и основных функций, но не для других «хороших» пространств, таких как гильбертово пространство? $L^{2}$? Этот вопрос привел Александра Гротендика к открытию ядерных пространств , ядерных карт и инъективного тензорного произведения . В конечном итоге он показал, что именно потому, что ${\mathcal {D}}(U)$ является ядерным пространством, в котором справедлива теорема о ядре Шварца . Подобно гильбертовым пространствам, ядерные пространства можно рассматривать как обобщения конечномерного евклидова пространства.

Использование голоморфных функций в качестве тестовых функций

Успех теории привел к исследованию идеи гиперфункции , в которой пространства голоморфных функций в качестве пробных функций используются . Была разработана усовершенствованная теория, в частности Микио Сато , алгебраический анализ с использованием теории пучков и нескольких комплексных переменных . Это расширяет диапазон символических методов, которые можно превратить в строгую математику, например интегралы Фейнмана .

См. также

• Алгебра Коломбо - коммутативная ассоциативная дифференциальная алгебра обобщенных функций, в которую гладкие функции (но не произвольные непрерывные) встраиваются как подалгебра, а распределения встраиваются как подпространство. Страницы, отображающие описания из Викиданных в качестве запасного варианта.
• Текущее (математика) – Распределения в пространствах дифференциальных форм.
• Распределение (теория чисел) - функция на конечных множествах, аналогичная целочисленным страницам, отображающим описания викиданных в качестве запасного варианта.
• Распределение на линейной алгебраической группе - линейная функция, удовлетворяющая условию носителя.
• Тройка Гельфанда – конструкция, связывающая изучение «связанных» и непрерывных собственных значений в функциональном анализе. Страницы с краткими описаниями целей перенаправления.
• Обобщенная функция - объекты, расширяющие понятие функций.
• Однородное распределение
• Гиперфункция - тип обобщенной функции.
• Лапласиан индикатора – Предел последовательности гладких функций
• Предел распределения
• Линейная форма - Линейная карта векторного пространства в его поле скаляров.
• Теорема Мальгранжа – Эренпрайса
• Псевдодифференциальный оператор — тип дифференциального оператора. Страницы, отображающие краткие описания целей перенаправления.
• Теорема о представлении Рисса - Теорема о двойственном гильбертовом пространстве.
• Неясная топология
• Слабое решение – Математическое решение

Библиография

• Баррос-Нето, Хосе (1973). Введение в теорию распределений . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Деккер.
• Бенедетто, Дж. Дж. (1997), Гармонический анализ и его приложения , CRC Press .
• Фолланд, Великобритания (1989). Гармонический анализ в фазовом пространстве . Принстон, Нью-Джерси: Издательство Принстонского университета.
• Фридлендер, ФГ; Джоши, MS (1998). Введение в теорию распределений . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. .
• Гординг, Л. (1997), Некоторые моменты анализа и их история , Американское математическое общество .
• Гельфанд, И.М. ; Шилов Г.Е. (1966–1968), Обобщенные функции , вып. 1–5, Академик Пресс .
• Грабб, Г. (2009), Распределения и операторы , Springer .
• Хёрмандер, Л. (1983), Анализ линейных операторов в частных производных I , Grundl. Матем. наука., вып. 256, Спрингер, номер домена : 10.1007/978-3-642-96750-4 , ISBN.  3-540-12104-8 , МР   0717035 .
• Хорват, Джон (1966). Топологические векторные пространства и распределения . Ряды Аддисона-Уэсли по математике. Том. 1. Ридинг, Массачусетс: Издательство Addison-Wesley. ISBN  978-0201029857 .
• Колмогоров Андрей ; Фомин, Сергей Васильевич (1957). Элементы теории функций и функционального анализа . Дуврские книги по математике. Нью-Йорк: Дуврские книги. ISBN  978-1-61427-304-2 . OCLC   912495626 .
• Наричи, Лоуренс; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN  978-1584888666 . OCLC   144216834 .
• Петерсен, Бент Э. (1983). Введение в преобразование Фурье и псевдодифференциальные операторы . Бостон, Массачусетс: Издательство Pitman Publishing. .
• Рудин, Уолтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN  978-0-07-054236-5 . OCLC   21163277 .
• Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0 . OCLC   840278135 .
• Шварц, Лоран (1954), «О невозможности умножения распределений», CR Acad. наук. Париж , 239 : 847–848 .
• Шварц, Лоран (1951), Теория распределений , вып. 1–2, Германн .
• Соболев С. Л. (1936), "Новый метод решения задачи Коши для линейных нормальных гиперболических уравнений" , Матем. Сборник , 1 :39–72 .
• Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье в евклидовых пространствах , Princeton University Press, ISBN  0-691-08078-Х .
• Стрихарц, Р. (1994), Руководство по теории распределения и преобразованиям Фурье , CRC Press, ISBN  0-8493-8273-4 .
• Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1 . OCLC   853623322 .
• Вудворд, премьер-министр (1953). Теория вероятностей и информации с приложениями к радиолокации . Оксфорд, Великобритания: Pergamon Press.

Дальнейшее чтение

• Эм Джей Лайтхилл (1959). Введение в анализ Фурье и обобщенные функции . Издательство Кембриджского университета. ISBN   0-521-09128-4 (требует очень небольших знаний в области анализа; определяет распределения как пределы последовательностей функций под интегралами)
• В.С. Владимиров (2002). Методы теории обобщенных функций . Тейлор и Фрэнсис. ISBN   0-415-27356-0
• Владимиров В.С. (2001) [1994], «Обобщенная функция» , Энциклопедия Математики , EMS Press .
• Владимиров В.С. (2001) [1994], «Обобщенные функции, пространство» , Энциклопедия Математики , EMS Press .
• Владимиров В.С. (2001) [1994], «Обобщенная функция, производная a» , Энциклопедия математики , EMS Press .
• Владимиров В.С. (2001) [1994], «Обобщенные функции, произведение» , Энциклопедия Математики , EMS Press .
• Обергуггенбергер, Майкл (2001) [1994], «Обобщенные функциональные алгебры» , Энциклопедия математики , EMS Press .