Распределение на линейной алгебраической группе

В алгебраической геометрии, если задана линейная алгебраическая группа G над полем k , распределение на ней является линейным функционалом. $k[G]\to k$ удовлетворяющее некоторому условию поддержки. Свертка алгебру распределений снова является распределением, и, таким образом, они образуют Хопфа на G обозначаемую Dist( G ), которая содержит алгебру Ли Lie ( G ), связанную с G. , Теорема Картье утверждает, что над полем нулевой характеристики Dist( G ) изоморфна универсальной обертывающей алгебре алгебры Ли группы G , и поэтому конструкция не дает новой информации. В случае положительной характеристики алгебра может использоваться в качестве замены соответствия группа Ли – алгебра Ли и его варианта для алгебраических групп в нулевой характеристике; например, этот подход принят ( Jantzen 1987 ).

Строительство

линейной

Пусть k — алгебраически замкнутое поле и G — линейная алгебраическая группа (т. е. аффинная алгебраическая группа) над k . По определению, Lie( G ) — алгебра Ли всех дифференцирований k [ G которые коммутируют с левым действием G. ] , Как и в случае группы Ли, ее можно отождествить с касательным пространством к G в единичном элементе.

Обертывающая алгебра

Существует следующая общая конструкция алгебры Хопфа. Пусть A — алгебра Хопфа. Конечным двойственным к A является пространство линейных функционалов на A с ядрами, содержащими левые идеалы конечных коразмерностей. Конкретно его можно рассматривать как пространство матричных коэффициентов.

Распределения на алгебраической группе

Определение

Пусть X = Spec A — аффинная схема над полем k , и пусть I _x — ядро ​​отображения ограничения $A\to k(x)$, поле вычетов x . По определению, распределение f, поддерживаемое в точке x '', представляет собой k -линейный функционал на A такой, что $f(I_{x}^{n})=0$ для некоторых н . (Примечание: определение остается действительным, если k — произвольное кольцо.)

Теперь, если G — алгебраическая группа над k , мы позволяем Dist( G ) быть набором всех распределений на G, поддерживаемых единичным элементом (часто называемых просто распределениями на G ). Если в нем находятся f , g , мы определяем произведение f и g , пониженное на f * g , как линейный функционал

$k[G]{\overset {\Delta }{\to }}k[G]\otimes k[G]{\overset {f\otimes g}{\to }}k\otimes k=k$

где ∆ — коумножение , которое представляет собой гомоморфизм, индуцированный умножением $G\times G\to G$. Умножение оказывается ассоциативным (используйте $1\otimes \Delta \circ \Delta =\Delta \otimes 1\circ \Delta$) и, таким образом, Dist( G ) является ассоциативной алгеброй, поскольку множество замкнуто относительно умножения по формуле:

(*) $\Delta (I_{1}^{n})\subset \sum _{r=0}^{n}I_{1}^{r}\otimes I_{1}^{n-r}.$

Он также унитарен с единицей, которая является линейным функционалом $k[G]\to k,\phi \mapsto \phi (1)$, дельта-мера Дирака .

Алгебра Ли Lie( G ) находится внутри Dist( G ). Действительно, по определению Lie( G ) является касательным пространством к G в единичном элементе 1; т.е. двойственное пространство $I_{1}/I_{1}^{2}$. Таким образом, касательный вектор представляет собой линейный функционал от I ₁ , который не имеет постоянного члена и убивает квадрат I ₁ , а формула (*) подразумевает $[f,g]=f*g-g*f$ по-прежнему является касательным вектором.

Позволять ${\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)$ — алгебра Ли группы G . Тогда по универсальному свойству включение ${\mathfrak {g}}\hookrightarrow \operatorname {Dist} (G)$ индуцирует гомоморфизм алгебры:

$U({\mathfrak {g}})\to \operatorname {Dist} (G).$

Когда базовое поле k имеет нулевую характеристику, этот гомоморфизм является изоморфизмом.

Примеры

Аддитивная группа

Позволять $G=\mathbb {G} _{a}$ быть аддитивной группой; т. е. G ( R ) = R для любой k -алгебры R . Как многообразие G — аффинная прямая; т. е. координатное кольцо — это k [ t ] и I ^н
₀ = ( т ^н ).

Мультипликативная группа

Позволять $G=\mathbb {G} _{m}$ быть мультипликативной группой; т. е. G ( R ) = R ^* для любой k -алгебры R . Координатное кольцо G — это k [ t , t ⁻¹ ] (поскольку G на самом деле GL ₁ ( k ).)

Переписка

• Для любых замкнутых подгрупп H , ' K группы G , если k совершенно и H неприводима, то

$H\subset K\Leftrightarrow \operatorname {Dist} (H)\subset \operatorname {Dist} (K).$

• Если V является G -модулем (то есть представлением G ), то он допускает естественную структуру Dist( G )-модуля, который, в свою очередь, дает структуру модуля над ${\mathfrak {g}}$.
• Любое действие G на аффинном алгебраическом многообразии X индуцирует представление G на координатном кольце k [ G ]. В частности, действие G по сопряжению индуцирует действие G на k [ G ]. Можно показать, что я ^н
  ₁ устойчив относительно G , и, следовательно, G действует на ( k [ G ]/ I ^н
  ₁ ) ^* и откуда на его объединении Dist( G ). называется присоединенным действием G . Результирующее действие

Случай конечных алгебраических групп

Пусть G — алгебраическая группа, «конечная» как групповая схема ; например, любую конечную группу можно рассматривать как конечную алгебраическую группу. Существует эквивалентность категорий между категорией конечных алгебраических групп и категорией конечномерных кокоммутативных алгебр Хопфа, заданных отображением G в k [ G ] ^* , двойственное координатному кольцу G . Обратите внимание, что Dist( G ) является (Хопфовой) подалгеброй k [ G ] ^* .

группы Ли и алгебры

Основная статья: Соответствие группа Ли – алгебра Ли

Ссылки

• Янцен, Йенс Карстен (1987). Представления алгебраических групп . Чистая и прикладная математика. Том. 131. Бостон: Академик Пресс. ISBN  978-0-12-380245-3 .
• Милн, iAG: Алгебраические группы: введение в теорию схем алгебраических групп над полями.
• Клаудио Процесси , Группы Ли: подход через инварианты и представления , Springer, Universitext 2006.
• Мукаи, С. (2002). Введение в инварианты и модули . Кембриджские исследования по высшей математике. Том. 81. ИСБН  978-0-521-80906-1 .
• Спрингер, Тонни А. (1998), Линейные алгебраические группы , Progress in Mathematics, vol. 9 (2-е изд.), Бостон, Массачусетс: Birkhäuser Boston, ISBN  978-0-8176-4021-7 , МР   1642713

Дальнейшее чтение

• Линейные алгебраические группы и их алгебры Ли. Дэниел Миллер, осень 2014 г.