Присоединенное представление

«Сопряженная карта» перенаправляется сюда. Термин функционального анализа см. в разделе «Сопряженный оператор» .

В математике присоединенное представление (или присоединенное действие ) группы Ли G — это способ представления элементов группы как линейных преобразований группы алгебры Ли , рассматриваемой как векторное пространство . Например, G если $GL(n,\mathbb {R} )$, группа Ли вещественных n размером на n обратимых матриц , то присоединенное представление — это групповой гомоморфизм, который отправляет обратимую n размером на n матрицу $g$ к эндоморфизму векторного пространства всех линейных преобразований $\mathbb {R} ^{n}$ определяется: $x\mapsto gxg^{-1}$.

Для любой группы Ли это естественное представление получается путем линеаризации (т. е. взятия ) действия G на дифференциала себя путем сопряжения . Присоединенное представление может быть определено для линейных алгебраических групп над произвольными полями .

Определение

См. Также: Теория представлений и группа Ли § Алгебра Ли, связанная с группой Ли.

Пусть G — группа Ли и пусть

$\Psi :G\to \operatorname {Aut} (G)$

— отображение g ↦ Ψ _g , с Aut( G ) группой автоморфизмов G G и Ψ _g : G → , заданной внутренним автоморфизмом (сопряжением)

$\Psi _{g}(h)=ghg^{-1}~.$

Это Ψ является гомоморфизмом группы Ли .

Для каждого g в G определите Ad _g как производную от Ψ _g в начале координат:

$\operatorname {Ad} _{g}=(d\Psi _{g})_{e}:T_{e}G\rightarrow T_{e}G$

где d - дифференциал и ${\mathfrak {g}}=T_{e}G$ — касательное пространство в начале координат e ( e — единичный элемент группы G ). С $\Psi _{g}$ — автоморфизм группы Ли, Ad _g — автоморфизм алгебры Ли ; т.е. обратимое линейное преобразование ${\mathfrak {g}}$ самому себе, что сохраняет скобку Ли . Более того, поскольку $g\mapsto \Psi _{g}$ является групповым гомоморфизмом, $g\mapsto \operatorname {Ad} _{g}$ тоже является групповым гомоморфизмом. Следовательно, карта

$\mathrm {Ad} \colon G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}}),\,g\mapsto \mathrm {Ad} _{g}$

представляет собой групповое представление, присоединенным представлением G называемое .

Если G — погруженная подгруппа Ли полной линейной группы $\mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ (называемая иммерсально линейной группой Ли), то алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ состоит из матриц, а экспоненциальное отображение является матричной экспонентой $\operatorname {exp} (X)=e^{X}$ для матриц X с малыми операторными нормами. Мы вычислим производную от $\Psi _{g}$ в $e$. Для g в G и маленького X в ${\mathfrak {g}}$, кривая $t\to \exp(tX)$ имеет производную $X$ тогда при t = 0 получим:

$\operatorname {Ad} _{g}(X)=(d\Psi _{g})_{e}(X)=(\Psi _{g}\circ \exp(tX))'(0)=(g\exp(tX)g^{-1})'(0)=gXg^{-1}$

где справа у нас есть произведения матриц. Если $G\subset \mathrm {GL} _{n}(\mathbb {C} )$ является замкнутой подгруппой (т. е. G является матричной группой Ли), то эта формула справедлива для всех g в G и всех X в ${\mathfrak {g}}$.

Вкратце, присоединенное представление — это представление изотропии, связанное с действием сопряжения G вокруг единичного элемента G .

Производное от объявления

Всегда можно перейти от представления группы Ли G к представлению ее алгебры Ли, взяв производную в единице.

Взяв производную присоединенного отображения

$\mathrm {Ad} :G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})$

в единичном элементе дает присоединенное представление алгебры Ли ${\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)$ из Г :

${\begin{aligned}\mathrm {ad} :&\,{\mathfrak {g}}\to \mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})\\&\,x\mapsto \operatorname {ad} _{x}=d(\operatorname {Ad} )_{e}(x)\end{aligned}}$

где $\mathrm {Der} ({\mathfrak {g}})=\operatorname {Lie} (\operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}}))$ является алгеброй Ли $\mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})$ которую можно отождествить с вывода алгеброй ${\mathfrak {g}}$. Можно показать, что

$\mathrm {ad} _{x}(y)=[x,y]\,$

для всех $x,y\in {\mathfrak {g}}$, где правая часть задана (индуцирована) скобкой Ли векторных полей . Действительно, Напомним, что просмотр ${\mathfrak {g}}$ как алгебра Ли левоинвариантных векторных полей на G , скобка на ${\mathfrak {g}}$ дается как: для левоинвариантных векторных полей X , Y ,

$[X,Y]=\lim _{t\to 0}{1 \over t}(d\varphi _{-t}(Y)-Y)$

где $\varphi _{t}:G\to G$ обозначает поток , порожденный X . Как оказалось, $\varphi _{t}(g)=g\varphi _{t}(e)$примерно потому, что обе стороны удовлетворяют одному и тому же ОДУ, определяющему поток. То есть, $\varphi _{t}=R_{\varphi _{t}(e)}$ где $R_{h}$ обозначает правильное умножение на $h\in G$. С другой стороны, поскольку $\Psi _{g}=R_{g^{-1}}\circ L_{g}$по правилу цепочки ,

$\operatorname {Ad} _{g}(Y)=d(R_{g^{-1}}\circ L_{g})(Y)=dR_{g^{-1}}(dL_{g}(Y))=dR_{g^{-1}}(Y)$

поскольку Y левоинвариантен. Следовательно,

$[X,Y]=\lim _{t\to 0}{1 \over t}(\operatorname {Ad} _{\varphi _{t}(e)}(Y)-Y)$,

что и нужно было показать.

Таким образом, $\mathrm {ad} _{x}$ совпадает с тем, которое определено в § Присоединенное представление алгебры Ли ниже. Ad и ad связаны экспоненциальным отображением : в частности, Ad _{exp( x )} = exp(ad _x ) для всех x в алгебре Ли. Это следствие общего результата, связывающего гомоморфизмы группы Ли и алгебры Ли через экспоненциальное отображение.

Если G — иммерсально линейная группа Ли, то приведенное выше вычисление упрощается: действительно, как отмечалось ранее, $\operatorname {Ad} _{g}(Y)=gYg^{-1}$ и таким образом с $g=e^{tX}$,

$\operatorname {Ad} _{e^{tX}}(Y)=e^{tX}Ye^{-tX}$.

Взяв производную от этого в $t=0$, у нас есть:

$\operatorname {ad} _{X}Y=XY-YX$.

Общий случай можно вывести и из линейного случая: действительно, пусть $G'$ — иммерсально линейная группа Ли, имеющая ту же алгебру Ли, что и G . Тогда производная Ad в единице для G и для G ' совпадают; следовательно, без ограничения общности, G можно считать G ' .

Обозначение верхнего/строчного регистра широко используется в литературе. Так, например, вектор x в алгебре ${\mathfrak {g}}$ порождает векторное поле X группе G. в Аналогично, сопряженное отображение ad _x y = [ x , y ] векторов в ${\mathfrak {g}}$ гомоморфен к производной Ли L _X Y = [ X , Y ] векторных полей на группе G, рассматриваемой как многообразие .

Далее смотрите производную экспоненциального отображения .

Присоединенное представление алгебры Ли

Позволять ${\mathfrak {g}}$ — алгебра Ли над некоторым полем. Дан элемент x алгебры Ли. ${\mathfrak {g}}$, определяется присоединенное действие x на ${\mathfrak {g}}$ как карта

$\operatorname {ad} _{x}:{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}\qquad {\text{with}}\qquad \operatorname {ad} _{x}(y)=[x,y]$

для вас всех ${\mathfrak {g}}$. Это называется присоединенным эндоморфизмом или присоединенным действием . ( $\operatorname {ad} _{x}$ также часто обозначается как $\operatorname {ad} (x)$.) Поскольку скобка билинейна, это определяет линейное отображение

$\operatorname {ad} :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})=(\operatorname {End} ({\mathfrak {g}}),[\;,\;])$

задано x ↦ ad _x . В пределах конца $({\mathfrak {g}})$, скобка по определению задается коммутатором двух операторов:

$[T,S]=T\circ S-S\circ T$

где $\circ$ обозначает композицию линейных карт. Используя приведенное выше определение скобки, тождество Якоби

$[x,[y,z]]+[y,[z,x]]+[z,[x,y]]=0$

принимает форму

$\left([\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}]\right)(z)=\left(\operatorname {ad} _{[x,y]}\right)(z)$

где x , y и z — произвольные элементы ${\mathfrak {g}}$.

Это последнее тождество говорит о том, что ad является гомоморфизмом алгебры Ли; т. е. линейное отображение, которое переводит скобки в скобки. Следовательно, ad является представлением алгебры Ли и называется присоединенным представлением алгебры. ${\mathfrak {g}}$.

Если ${\mathfrak {g}}$ конечномерна и для нее выбран базис, то ${\mathfrak {gl}}({\mathfrak {g}})$ — алгебра Ли квадратных матриц, а композиция соответствует умножению матриц .

На более теоретико-модульном языке конструкция говорит, что ${\mathfrak {g}}$ является модулем над собой.

Ядро рекламы – центр это ${\mathfrak {g}}$ (это просто перефразирование определения). С другой стороны, для каждого элемента z в ${\mathfrak {g}}$, линейное отображение $\delta =\operatorname {ad} _{z}$ подчиняется закону Лейбница :

$\delta ([x,y])=[\delta (x),y]+[x,\delta (y)]$

для всех x и y в алгебре (переформулировка тождества Якоби). Другими словами, ad _z является производным и образом ${\mathfrak {g}}$ под объявлением является подалгебра Der $({\mathfrak {g}})$, пространство всех дифференцирований ${\mathfrak {g}}$.

Когда ${\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)$ — алгебра Ли группы Ли G , ad — дифференциал Ad в единичном элементе G. группы

Существует следующая формула, аналогичная формуле Лейбница : для скаляров $\alpha ,\beta$ и элементы алгебры Ли $x,y,z$,

$(\operatorname {ad} _{x}-\alpha -\beta )^{n}[y,z]=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}\left[(\operatorname {ad} _{x}-\alpha )^{i}y,(\operatorname {ad} _{x}-\beta )^{n-i}z\right].$

Структурные константы

Явные матричные элементы присоединенного представления задаются структурными константами алгебры. То есть пусть {e ^я } — набор базисных векторов алгебры, причем

$[e^{i},e^{j}]=\sum _{k}{c^{ij}}_{k}e^{k}.$

Тогда матричные элементы для объявление _{электронной ^я} даны

${\left[\operatorname {ad} _{e^{i}}\right]_{k}}^{j}={c^{ij}}_{k}~.$

Так, например, присоединенное представление su(2) является определяющим представлением so(3) .

Примеры

• Если G абелева размерности n является , присоединенное представление G тривиальным n -мерным представлением.
• Если G — матричная группа Ли (т. е. замкнутая подгруппа $\mathrm {GL} (n,\mathbb {C} )$), то ее алгебра Ли является алгеброй матриц размера n × n с коммутатором скобки Ли (т.е. подалгеброй ${\mathfrak {gl}}_{n}(\mathbb {C} )$). В этом случае сопряженное отображение имеет вид Ad _g ( x ) = gxg ⁻¹ .
• Если G представляет собой SL(2, R ) (вещественные матрицы 2×2 с определителем 1), алгебра Ли группы G состоит из вещественных матриц 2×2 со следом 0. Представление эквивалентно представлению, заданному действием G линейным подстановка в пространстве бинарных (т. е. с двумя переменными) квадратичных форм .

Свойства

В следующей таблице суммированы свойства различных карт, упомянутых в определении.

$\Psi \colon G\to \operatorname {Aut} (G)\,$	$\Psi _{g}\colon G\to G\,$
Гомоморфизм группы Ли: $\Psi _{gh}=\Psi _{g}\Psi _{h}$	Автоморфизм группы Ли: $\Psi _{g}(ab)=\Psi _{g}(a)\Psi _{g}(b)$ $(\Psi _{g})^{-1}=\Psi _{g^{-1}}$
$\operatorname {Ad} \colon G\to \operatorname {Aut} ({\mathfrak {g}})$	$\operatorname {Ad} _{g}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$
Гомоморфизм группы Ли: $\operatorname {Ad} _{gh}=\operatorname {Ad} _{g}\operatorname {Ad} _{h}$	Автоморфизм алгебры Ли: $\operatorname {Ad} _{g}$ линеен $\left(\operatorname {Ad} _{g}\right)^{-1}=\operatorname {Ad} _{g^{-1}}$ $\operatorname {Ad} _{g}[x,y]=[\operatorname {Ad} _{g}x,\operatorname {Ad} _{g}y]$
$\operatorname {ad} \colon {\mathfrak {g}}\to \operatorname {Der} ({\mathfrak {g}})$	$\operatorname {ad} _{x}\colon {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$
Гомоморфизм алгебры Ли: $\operatorname {ad}$ линеен $\operatorname {ad} _{[x,y]}=[\operatorname {ad} _{x},\operatorname {ad} _{y}]$	Вывод алгебры Ли: $\operatorname {ad} _{x}$ линеен $\operatorname {ad} _{x}[y,z]=[\operatorname {ad} _{x}y,z]+[y,\operatorname {ad} _{x}z]$

Образ G ( G при присоединенном представлении обозначается Ad . ) Если G связна является , то ядро ​​присоединенного представления совпадает с ядром Ψ, центром G. и которое Следовательно, присоединенное представление связной группы Ли G является точным тогда и только тогда, когда G бесцентрна. В более общем смысле, если G несвязен, то ядро ​​присоединенного отображения является централизатором единичного компонента G ₀ группы G . По первой теореме об изоморфизме имеем

$\mathrm {Ad} (G)\cong G/Z_{G}(G_{0}).$

Учитывая конечномерную вещественную алгебру Ли ${\mathfrak {g}}$, по третьей теореме Ли , существует связная группа Ли $\operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})$ алгебра Ли которой является образом присоединенного представления ${\mathfrak {g}}$ (т.е. $\operatorname {Lie} (\operatorname {Int} ({\mathfrak {g}}))=\operatorname {ad} ({\mathfrak {g}})$.) Она называется группой присоединенной ${\mathfrak {g}}$.

Теперь, если ${\mathfrak {g}}$ является алгеброй Ли связной группы Ли G , то $\operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})$ является образом присоединенного представления G : $\operatorname {Int} ({\mathfrak {g}})=\operatorname {Ad} (G)$.

Корни полупростой группы Ли

Если G полупроста , ненулевые веса присоединенного представления образуют систему корней . (Вообще, прежде чем продолжить, необходимо перейти к комплексификации алгебры Ли.) Чтобы увидеть, как это работает, рассмотрим случай G = SL( n , R ). Мы можем взять группу диагональных матриц Diag( t ₁ , ..., t _n ) в качестве максимального тора T . Сопряжение элементом T отправляет

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{n1}&a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}\mapsto {\begin{bmatrix}a_{11}&t_{1}t_{2}^{-1}a_{12}&\cdots &t_{1}t_{n}^{-1}a_{1n}\\t_{2}t_{1}^{-1}a_{21}&a_{22}&\cdots &t_{2}t_{n}^{-1}a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\t_{n}t_{1}^{-1}a_{n1}&t_{n}t_{2}^{-1}a_{n2}&\cdots &a_{nn}\\\end{bmatrix}}.$

Таким образом, T действует тривиально на диагональной части алгебры Ли группы G и с собственными векторами t _i t _j ⁻¹ на различных недиагональных входах. Корнями G являются веса diag( t ₁ , ..., t _n ) → t _i t _j ⁻¹ . Это объясняет стандартное описание корневой системы G = SL _n ( R ) как набора векторов формы e _i − e _j .

Пример SL(2, R)

При вычислении системы корней для одного из простейших случаев групп Ли группа SL(2, R ) двумерных матриц с определителем 1 состоит из набора матриц вида:

${\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}$

где a , b , c , d вещественные и ad - bc = 1.

Максимальная компактная связная абелева подгруппа Ли или максимальный тор T задается подмножеством всех матриц вида

${\begin{bmatrix}t_{1}&0\\0&t_{2}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}t_{1}&0\\0&1/t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\exp(\theta )&0\\0&\exp(-\theta )\\\end{bmatrix}}$

с $t_{1}t_{2}=1$. Алгеброй Ли максимального тора является подалгебра Картана, состоящая из матриц

${\begin{bmatrix}\theta &0\\0&-\theta \\\end{bmatrix}}=\theta {\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}}-\theta {\begin{bmatrix}0&0\\0&1\\\end{bmatrix}}=\theta (e_{1}-e_{2}).$

Если мы сопрягаем элемент SL(2, R ) с элементом максимального тора, получим

${\begin{bmatrix}t_{1}&0\\0&1/t_{1}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a&b\\c&d\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/t_{1}&0\\0&t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}at_{1}&bt_{1}\\c/t_{1}&d/t_{1}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1/t_{1}&0\\0&t_{1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a&bt_{1}^{2}\\ct_{1}^{-2}&d\\\end{bmatrix}}$

Матрицы

${\begin{bmatrix}1&0\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\0&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\1&0\\\end{bmatrix}}$

тогда являются «собственными векторами» операции сопряжения с собственными значениями $1,1,t_{1}^{2},t_{1}^{-2}$. Функция Λ, дающая $t_{1}^{2}$ является мультипликативным характером или гомоморфизмом тора группы в основное поле R. Функция λ, задающая θ, является весом алгебры Ли с весовым пространством, заданным размахом матриц.

Приятно показать мультипликативность характера и линейность веса. Далее можно доказать, что дифференциал Λ можно использовать для создания веса. Также полезно рассмотреть случай SL(3, R ).

Варианты и аналоги

Присоединенное представление также можно определить для алгебраических групп над любым полем.

Косопряженное представление является контргредиентным представлением присоединенного представления. Александр Кириллов заметил, что орбита любого вектора в косопряжённом представлении является симплектическим многообразием . Согласно философии теории представлений, известной как метод орбит (см. также формулу характера Кириллова ), неприводимые представления группы Ли G должны быть каким-то образом проиндексированы ее косопряженными орбитами. Эта связь наиболее близка в случае нильпотентных групп Ли .

См. также

• Присоединенный пакет - пакет алгебры Ли, связанный с любым основным пакетом посредством присоединенного представления. Страницы, отображающие описания викиданных в качестве запасного варианта.

Ссылки

• Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN  978-0-387-97495-8 . МР   1153249 . OCLC   246650103 .
• Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996). Основы дифференциальной геометрии, Том. 1 (Новое изд.). Уайли-Интерсайенс. ISBN  978-0-471-15733-5 .
• Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  978-3319134666 .