Kirillov character formula

В математике для группы Ли $G$ дает Метод орбит Кириллова эвристический метод в теории представлений . Он соединяет преобразования Фурье коприсоединенных орбит , лежащих в двойственном пространстве алгебры Ли группы G , с инфинитезимальными характерами неприводимых представлений . Метод получил свое название в честь русского математика Александра Кириллова .

В самом простом виде он утверждает, что характер группы Ли может быть задан преобразованием Фурье дельта - функции Дирака , поддерживаемой на коприсоединенных орбитах, взвешенных квадратным корнем якобиана экспоненциального отображения , обозначаемого $j$ . Это не применимо ко всем группам Ли, но работает для ряда классов связных групп Ли, включая нильпотентные , некоторые полупростые группы и компактные группы .

Метод орбит Кириллова привел к ряду важных разработок в теории Ли, включая изоморфизм Дюфло и отображение обертывания .

Формула характера компактных групп Ли

Позволять $\lambda \in {\mathfrak {t}}^{*}$ быть наибольшим весом неприводимого представления $\pi$ , где ${\mathfrak {t}}^{*}$ является двойственной максимального алгебре Ли тора и пусть $\rho$ быть половиной суммы положительных корней .

Обозначим через ${\mathcal {O}}_{\lambda +\rho }$ коприсоединенная орбита через $\lambda +\rho \in {\mathfrak {t}}^{*}$ и по $\mu _{\lambda +\rho }$ тот $G$ -инвариантная мера относительно ${\mathcal {O}}_{\lambda +\rho }$ с общей массой $\dim \pi =d_{\lambda }$ , известную как мера Лиувилля . Если $\chi _{\lambda }$ — характер представления , формула характера Кириллова для компактных групп Ли имеет вид

j^{1/2}(X)\chi _{\lambda }(\exp X)=\int _{{\mathcal {O}}_{\lambda +\rho }}e^{i\beta (X)}d\mu _{\lambda +\rho }(\beta ),\;\forall \;X\in {\mathfrak {g}}

,

где $j(X)$ является якобианом экспоненциального отображения.

Пример: SU(2)

В случае SU(2) старшие веса — это положительные полуцелые числа, а $\rho =1/2$ . Коприсоединенные орбиты представляют собой двумерные сферы радиуса $\lambda +1/2$ , с центром в начале координат в трехмерном пространстве.