Изоморфизм Дюфло

В математике изоморфизм Дюфло — это изоморфизм между центром универсальной обертывающей алгебры конечномерной алгебры Ли и инвариантами ее симметричной алгебры . Он был введен Мишелем Дюфло ( 1977 ), а затем обобщен Концевичем на произвольные конечномерные алгебры Ли.

Теорема Пуанкаре -Биркофа-Витта дает для любой алгебры Ли ${\mathfrak {g}}$ изоморфизм векторного пространства из алгебры полиномов $S({\mathfrak {g}})$ к универсальной обертывающей алгебре $U({\mathfrak {g}})$ . Это отображение не является гомоморфизмом алгебры. Оно эквивариантно относительно естественного представления ${\mathfrak {g}}$ на этих пространствах, поэтому он ограничивается изоморфизмом векторного пространства

F\colon S({\mathfrak {g}})^{\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})^{\mathfrak {g}}

где верхний индекс указывает на подпространство, уничтоженное действием ${\mathfrak {g}}$ . Оба $S({\mathfrak {g}})^{\mathfrak {g}}$ и $U({\mathfrak {g}})^{\mathfrak {g}}$ действительно являются коммутативными подалгебрами $U({\mathfrak {g}})^{\mathfrak {g}}$ является центром $U({\mathfrak {g}})$ , но $F$ все еще не является гомоморфизмом алгебры. Однако Дюфло доказал, что в некоторых случаях можно составить $F$ с картой

G\colon S({\mathfrak {g}})^{\mathfrak {g}}\to S({\mathfrak {g}})^{\mathfrak {g}}

чтобы получить изоморфизм алгебры

F\circ G\colon S({\mathfrak {g}})^{\mathfrak {g}}\to U({\mathfrak {g}})^{\mathfrak {g}}.

Позже, используя теорему о формальности Концевича , Концевич показал, что это работает для всех конечномерных алгебр Ли.

Вслед за Калаке и Росси карта $G$ можно определить следующим образом. Сопряженное действие ${\mathfrak {g}}$ это карта

{\mathfrak {g}}\to \mathrm {End} ({\mathfrak {g}})

отправка $x\in {\mathfrak {g}}$ на операцию $[x,-]$ на ${\mathfrak {g}}$ . Мы можем рассматривать карту как элемент

{\mathfrak {g}}^{\ast }\otimes \mathrm {End} ({\mathfrak {g}})

или, если на то пошло, элемент большего пространства $S({\mathfrak {g}}^{\ast })\otimes \mathrm {End} ({\mathfrak {g}})$ , с ${\mathfrak {g}}^{\ast }\subset S({\mathfrak {g}}^{\ast })$ . Назовите этот элемент

\mathrm {ad} \in S({\mathfrak {g}}^{\ast })\otimes \mathrm {End} ({\mathfrak {g}})

Оба $S({\mathfrak {g}}^{\ast })$ и $\mathrm {End} ({\mathfrak {g}})$ являются алгебрами, поэтому и их тензорное произведение тоже. Таким образом, мы можем взять степени $\mathrm {ad}$ , сказать

\mathrm {ad} ^{k}\in S({\mathfrak {g}}^{\ast })\otimes \mathrm {End} ({\mathfrak {g}}).

Идя дальше, мы можем применить любой формальный степенной ряд к $\mathrm {ad}$ и получить элемент ${\overline {S}}({\mathfrak {g}}^{\ast })\otimes \mathrm {End} ({\mathfrak {g}})$ , где ${\overline {S}}({\mathfrak {g}}^{\ast })$ обозначает алгебру формальных степенных рядов на ${\mathfrak {g}}^{\ast }$ . Таким образом, работая с формальными степенными рядами, мы получаем элемент

{\sqrt {\frac {e^{\mathrm {ad} }-e^{-\mathrm {ad} }}{\mathrm {ad} }}}\in {\overline {S}}({\mathfrak {g}}^{\ast })\otimes \mathrm {End} ({\mathfrak {g}})

Поскольку размерность ${\mathfrak {g}}$ конечно, можно подумать $\mathrm {End} ({\mathfrak {g}})$ как $\mathrm {M} _{n}(\mathbb {R} )$ , следовательно ${\overline {S}}({\mathfrak {g}}^{\ast })\otimes \mathrm {End} ({\mathfrak {g}})$ является $\mathrm {M} _{n}({\overline {S}}({\mathfrak {g}}^{\ast }))$ и, применив определительную карту, получим элемент

{\tilde {J}}^{1/2}:=\mathrm {det} {\sqrt {\frac {e^{\mathrm {ad} }-e^{-\mathrm {ad} }}{\mathrm {ad} }}}\in {\overline {S}}({\mathfrak {g}}^{\ast })

что связано с классом Тодда в алгебраической топологии.

Сейчас, ${\mathfrak {g}}^{\ast }$ действует как производное от $S({\mathfrak {g}})$ поскольку любой элемент ${\mathfrak {g}}^{\ast }$ дает трансляционно-инвариантное векторное поле на ${\mathfrak {g}}$ . В результате алгебра $S({\mathfrak {g}}^{\ast })$ действует на как дифференциальные операторы на $S({\mathfrak {g}})$ , и это распространяется на действие ${\overline {S}}({\mathfrak {g}}^{\ast })$ на $S({\mathfrak {g}})$ . Таким образом, мы можем определить линейное отображение