Нильпотентная алгебра Ли

В математике алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ нильпотентна, если ее нижний центральный ряд оканчивается нулевой подалгеброй. Нижний центральный ряд представляет собой последовательность подалгебр

${\mathfrak {g}}\geq [{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]\geq [{\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]\geq [{\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}]]]\geq ...$

Мы пишем ${\mathfrak {g}}_{0}={\mathfrak {g}}$, и ${\mathfrak {g}}_{n}=[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}_{n-1}]$ для всех $n>0$. Если нижний центральный ряд со временем доходит до нулевой подалгебры, то алгебра Ли называется нильпотентной. Нижний центральный ряд для алгебр Ли аналогичен нижнему центральному ряду в теории групп , а нильпотентные алгебры Ли являются аналогами нильпотентных групп .

Нильпотентные алгебры Ли — это в точности те, которые можно получить из абелевых алгебр Ли путем последовательных центральных расширений .

Обратите внимание, что определение означает, что, если рассматривать ее как неассоциативную неединичную алгебру, алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ нильпотентна, если она нильпотентна как идеал.

Определение

Позволять ${\mathfrak {g}}$ быть алгеброй Ли . Один говорит, что ${\mathfrak {g}}$ нильпотентен , если нижний центральный ряд обрывается, т. е. если ${\mathfrak {g}}_{n}=0$ для некоторых $n\in \mathbb {N} .$

Явно это означает, что

$[X_{1},[X_{2},[\cdots [X_{n},Y]\cdots ]]=\mathrm {ad} _{X_{1}}\mathrm {ad} _{X_{2}}\cdots \mathrm {ad} _{X_{n}}Y=0$

$\forall X_{1},X_{2},\ldots ,X_{n},Y\in {\mathfrak {g}},\qquad (1)$

так что объявление _{X 1} объявление _{X 2} ⋅⋅⋅ объявление _{X n} знак равно 0 .

Эквивалентные условия

Особым следствием (1) является то, что

$[X,[X,[\cdots [X,Y]\cdots ]={\mathrm {ad} _{X}}^{n}Y\in {\mathfrak {g}}_{n}=0\quad \forall X,Y\in {\mathfrak {g}}.\qquad (2)$

Таким образом (объявление _X ) ^н = 0 для всех $X\in {\mathfrak {g}}$. То есть ad _X — нильпотентный эндоморфизм в обычном смысле линейных эндоморфизмов (а не алгебр Ли). Мы называем такой элемент x в ${\mathfrak {g}}$ ад-нильпотентный .

Примечательно, что если ${\mathfrak {g}}$ конечномерно, то кажущееся гораздо более слабое условие (2) на самом деле эквивалентно (1), как утверждается

Теорема Энгеля : конечномерная алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ нильпотентен тогда и только тогда, когда все элементы ${\mathfrak {g}}$ ад-нильпотентны,

чего мы не будем здесь доказывать.

Несколько более простое эквивалентное условие нильпотентности ${\mathfrak {g}}$ : ${\mathfrak {g}}$ нильпотентен тогда и только тогда, когда $\mathrm {ad} \,{\mathfrak {g}}$ нильпотентна (как алгебра Ли). Чтобы убедиться в этом, сначала заметим, что из (1) следует, что $\mathrm {ad} \,{\mathfrak {g}}$ нильпотентна, поскольку разложение ( n − 1) -кратной вложенной скобки будет состоять из членов вида (1). И наоборот, можно написать

$[[\cdots [X_{n},X_{n-1}],\cdots ,X_{2}],X_{1}]=\mathrm {ad} [\cdots [X_{n},X_{n-1}],\cdots ,X_{2}](X_{1}),$

и поскольку ad является гомоморфизмом алгебры Ли,

${\begin{aligned}\mathrm {ad} [\cdots [X_{n},X_{n-1}],\cdots ,X_{2}]&=[\mathrm {ad} [\cdots [X_{n},X_{n-1}],\cdots X_{3}],\mathrm {ad} _{X_{2}}]\\&=\ldots =[\cdots [\mathrm {ad} _{X_{n}},\mathrm {ad} _{X_{n-1}}],\cdots \mathrm {ad} _{X_{2}}].\end{aligned}}$

Если $\mathrm {ad} \,{\mathfrak {g}}$ нильпотентно, последнее выражение равно нулю при достаточно больших n и, соответственно, первое. Но это подразумевает (1), поэтому ${\mathfrak {g}}$ является нильпотентным.

Кроме того, конечномерная алгебра Ли нильпотентна тогда и только тогда, когда существует убывающая цепочка идеалов. ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {g}}_{0}\supset {\mathfrak {g}}_{1}\supset \cdots \supset {\mathfrak {g}}_{n}=0$ такой, что $[{\mathfrak {g}},{\mathfrak {g}}_{i}]\subset {\mathfrak {g}}_{i+1}$.

Примеры

Строго верхнетреугольные матрицы

Если ${\mathfrak {gl}}(k,\mathbb {R} )$ — это набор матриц размера k × k с элементами в $\mathbb {R}$, то подалгебра , состоящая из строго верхнетреугольных матриц, является нильпотентной алгеброй Ли.

Алгебры Гейзенберга

Алгебра Гейзенберга нильпотентна. Например, в размерности 3 коммутатор двух матриц

$\left[{\begin{bmatrix}0&a&b\\0&0&c\\0&0&0\end{bmatrix}},{\begin{bmatrix}0&a'&b'\\0&0&c'\\0&0&0\end{bmatrix}}\right]={\begin{bmatrix}0&0&a''\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}$

где $a''=ac'-a'c$.

Картановские подалгебры

Картановская подалгебра ${\mathfrak {c}}$ алгебры Ли ${\mathfrak {l}}$ нильпотентен и самонормализуется ^{стр. 80} . Условие самонормализации эквивалентно нормализатору алгебры Ли. Это означает ${\mathfrak {c}}=N_{\mathfrak {l}}({\mathfrak {c}})=\{x\in {\mathfrak {l}}:[x,c]\subset {\mathfrak {c}}{\text{ for }}c\in {\mathfrak {c}}\}$. Сюда входят верхние треугольные матрицы ${\mathfrak {t}}(n)$ и все диагональные матрицы ${\mathfrak {d}}(n)$ в ${\mathfrak {gl}}(n)$.

Другие примеры

Если алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ имеет автоморфизм простого периода без неподвижных точек, кроме 0 , тогда ${\mathfrak {g}}$ является нильпотентным.

Характеристики

Нильпотентные алгебры Ли разрешимы.

Любая нильпотентная алгебра Ли разрешима . Это полезно при доказательстве разрешимости алгебры Ли , поскольку на практике обычно легче доказать нильпотентность (когда она справедлива!), чем разрешимость. Однако в общем случае обратное это свойство неверно. Например, подалгебра ${\mathfrak {gl}}(k,\mathbb {R} )$ ( k ≥ 2 ), состоящая из верхнетреугольных матриц, ${\mathfrak {b}}(k,\mathbb {R} )$, разрешима, но не нильпотентна.

Подалгебры и изображения

Если алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ нильпотентна, то все подалгебры и гомоморфные образы нильпотентны.

Нильпотентность частного по центру

Если факторалгебра ${\mathfrak {g}}/Z({\mathfrak {g}})$, где $Z({\mathfrak {g}})$ является центром ​ ${\mathfrak {g}}$, нильпотентен, то таков ${\mathfrak {g}}$. Это означает, что центральное расширение нильпотентной алгебры Ли с помощью нильпотентной алгебры Ли является нильпотентным.

Теорема Энгеля

Теорема Энгеля : конечномерная алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ нильпотентен тогда и только тогда, когда все элементы ${\mathfrak {g}}$ являются ад-нильпотентными.

Форма «Нулевое убийство»

Форма Киллинга нильпотентной алгебры Ли равна 0 .

Имеют внешние автоморфизмы

Ненулевая нильпотентная алгебра Ли имеет внешний автоморфизм , т. е. автоморфизм, не входящий в образ Ad.

Производные подалгебры разрешимых алгебр Ли

Производная подалгебра конечномерной разрешимой алгебры Ли над полем характеристики 0 нильпотентна.

См. также

• Разрешимая алгебра Ли

Ссылки

• Фултон, В .; Харрис, Дж. (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике . Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN  978-0-387-97527-6 . МР   1153249 .
• Хамфрис, Джеймс Э. (1972). Введение в алгебры Ли и теорию представлений . Тексты для аспирантов по математике. Том. 9. Нью-Йорк: Спрингер-Верлаг. ISBN  0-387-90053-5 .
• Кнапп, AW (2002). Группы лжи за пределами введения . Прогресс в математике. Том. 120 (2-е изд.). Бостон · Базель · Берлин: Биркхойзер. ISBN  0-8176-4259-5 .
• Серр, Жан-Пьер (2000), полупростые Комплексные алгебры Ли , перевод Джонса, Джорджия, Спрингер, ISBN  978-3-540-67827-4 .