Подалгебра

В математике подалгебра — это подмножество алгебры , замкнутое относительно всех своих операций и несущее индуцированные операции.

« Алгебра », когда речь идет о структуре, часто означает векторное пространство или модуль, снабженный дополнительной билинейной операцией. Алгебры в универсальной алгебре гораздо более общие: они представляют собой общее обобщение всех алгебраических структур . «Подалгебра» может относиться к любому случаю.

Подалгебры для алгебр над кольцом или полем [ править ]

Подалгеброй называется алгебры над коммутативным кольцом или полем векторное подпространство , замкнутое относительно умножения векторов. Ограничение на умножение алгебры делает ее алгеброй над тем же кольцом или полем. Это понятие также применимо к большинству специализаций, где умножение должно удовлетворять дополнительным свойствам, например, к ассоциативным алгебрам или алгебрам Ли . Только для алгебр с единицей существует более сильное понятие подалгебры с единицей , для которого также требуется, чтобы единица подалгебры была единицей большей алгебры.

Пример [ править ]

Матрицы 2 × 2 над действительными числами очевидным образом образуют алгебру с единицей. Матрицы размера 2×2, у которых все элементы равны нулю, кроме первого по диагонали, образуют подалгебру. Она также унитальна, но не является унитарной подалгеброй.

Подалгебры в универсальной алгебре [ править ]

В универсальной алгебре подалгеброй A алгебры операции A является подмножество S алгебры , которое также имеет структуру алгебры того же типа, когда алгебраические S. ограничены Если аксиомы некоторой алгебраической структуры описываются эквациональными законами , как это обычно бывает в универсальной алгебре, то единственное, что нужно проверить, — это относительно S замкнутость операций.

Некоторые авторы рассматривают алгебры с частичными функциями . Для них существуют различные способы определения подалгебр. Другое обобщение алгебр — разрешить отношения. Эти более общие алгебры обычно называют структурами , и они изучаются в теории моделей и теоретической информатике . Для структур с отношениями существуют понятия слабой и индуцированной подструктур .

Пример [ править ]

Например, стандартная подпись групп в универсальной алгебре: (•, ⁻¹, 1) . (Инверсия и единица необходимы, чтобы получить правильные понятия гомоморфизма и чтобы групповые законы можно было выразить в виде уравнений.) Следовательно, подгруппа группы G - это подмножество S группы G такое, что:

единица e группы G принадлежит S (так что S замкнута относительно операции тождественной константы);
всякий раз, когда x принадлежит S , то же самое делает и x ⁻¹ (так что S замкнуто относительно обратной операции);
всякий раз, когда x и y принадлежат S , то же самое происходит и с x • y (так что S замыкается относительно операции умножения группы).

Ссылки [ править ]

Бурбаки, Николя (1989), Элементы математики, Алгебра I , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-64243-5
Беррис, Стэнли Н.; Санкаппанавар, HP (1981), Курс универсальной алгебры , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag