Теорема о старшем весе

В теории представлений , разделе математики, теорема о старшем весе классифицирует неприводимые представления сложной полупростой алгебры Ли. ${\mathfrak {g}}$ . ^[1]^[2] Существует тесно связанная теорема, классифицирующая неприводимые представления связной компактной группы Ли. $K$ . ^[3] Теорема утверждает, что существует биекция

\lambda \mapsto [V^{\lambda }]

от множества «доминирующих целых элементов» к множеству классов эквивалентности неприводимых представлений ${\mathfrak {g}}$ или $K$ . Разница между этими двумя результатами заключается в точном понятии «интегрального» в определении доминирующего целостного элемента. Если $K$ просто связано, то это различие исчезает.

Теорема была первоначально доказана Эли Картаном в его статье 1913 года. ^[4] Версия теоремы для компактной группы Ли принадлежит Герману Вейлю . Теорема является одним из ключевых положений теории представлений полупростых алгебр Ли .

Заявление

Случай алгебры Ли

Позволять ${\mathfrak {g}}$ — конечномерная полупростая комплексная алгебра Ли с подалгеброй Картана ${\mathfrak {h}}$ . Позволять $R$ быть связанной корневой системой . Тогда мы говорим, что элемент $\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}$ является неотъемлемой частью ^[5] если

2{\frac {\langle \lambda ,\alpha \rangle }{\langle \alpha ,\alpha \rangle }}

целое число для каждого корня $\alpha$ . Далее выбираем набор $R^{+}$ положительных корней, и мы говорим, что элемент $\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}$ является доминирующим, если $\langle \lambda ,\alpha \rangle \geq 0$ для всех $\alpha \in R^{+}$ . Элемент $\lambda \in {\mathfrak {h}}^{*}$ доминирующий интеграл, если он одновременно является доминирующим и интегральным. Наконец, если $\lambda$ и $\mu$ находятся в ${\mathfrak {h}}^{*}$ , мы говорим, что $\lambda$ выше ^[6] чем $\mu$ если $\lambda -\mu$ выражается как линейная комбинация положительных корней с неотрицательными действительными коэффициентами.

Вес $\lambda$ представительства $V$ из ${\mathfrak {g}}$ тогда называется максимальным весом, если $\lambda$ выше любого другого веса $\mu$ из $V$ .

Тогда теорема о наибольшем весе гласит: ^[2]

Если $V$ является конечномерным неприводимым представлением ${\mathfrak {g}}$ , затем $V$ имеет уникальный наивысший вес, и этот наибольший вес является доминирующим целым.
Если два конечномерных неприводимых представления имеют одинаковый старший вес, они изоморфны.
Для каждого доминирующего целостного элемента $\lambda$ , существует конечномерное неприводимое представление со старшим весом $\lambda$ .

Самая сложная часть — последняя; построение конечномерного неприводимого представления с заданным старшим весом.

Случай компактной группы

Позволять $K$ — связная компактная группа Ли с алгеброй Ли ${\mathfrak {k}}$ и пусть ${\mathfrak {g}}:={\mathfrak {k}}+i{\mathfrak {k}}$ быть усложнением ${\mathfrak {g}}$ . Позволять $T$ быть максимальным тором в $K$ с алгеброй Ли ${\mathfrak {t}}$ . Затем ${\mathfrak {h}}:={\mathfrak {t}}+i{\mathfrak {t}}$ является картановской подалгеброй ${\mathfrak {g}}$ , и мы можем сформировать связанную корневую систему $R$ . В этом случае теория развивается во многом так же, как и в случае алгебры Ли, с одним важным отличием: другое понятие целочисленности. В частности, мы говорим, что элемент $\lambda \in {\mathfrak {h}}$ является аналитически целым ^[7] если

\langle \lambda ,H\rangle

является целым числом всякий раз, когда

e^{2\pi H}=I

где $I$ является элементом идентичности $K$ . Каждый аналитически целочисленный элемент является целым в смысле алгебры Ли: ^[8] но могут существовать целые элементы в смысле алгебры Ли, которые не являются аналитически целыми. Это различие отражает тот факт, что если $K$ не является просто связным, могут существовать представления ${\mathfrak {g}}$ которые не исходят из представлений о $K$ . С другой стороны, если $K$ односвязна, понятия «интегральный» и «аналитически интегральный» совпадают. ^[3]

Теорема о старшем весе для представлений $K$ ^[9] тогда это то же самое, что и в случае алгебры Ли, за исключением того, что слово «интегральное» заменяется на «аналитически целое».

Доказательства

Есть как минимум четыре доказательства:

Оригинальное доказательство Германа Вейля с точки зрения компактной группы: ^[10] на основе формулы характера Вейля и теоремы Питера-Вейля .
Теория модулей Верма содержит теорему о старшем весе. Именно этот подход используется во многих стандартных учебниках (например, «Хамфрис» и «Часть II Холла»).
Теорема Бореля – Вейля – Ботта строит неприводимое представление как пространство глобальных сечений обильного линейного расслоения; Как следствие, получается теорема о старшем весе. (В этом подходе используется немало алгебраической геометрии, но он дает очень быстрое доказательство.)
Инвариантный теоретический подход: неприводимые представления строятся как подпредставления тензорной степени стандартных представлений. Этот подход по существу принадлежит Г. Вейлю и вполне хорошо работает для классических групп.

См. также

Примечания

^ Диксмье 1996 , Теорема 7.2.6.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Холл 2015. Теоремы 9.4 и 9.5.
^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Теорема Холла 2015 12.6
^ Кнапп, AW (2003). «Рецензируемая работа: Матричные группы: введение в теорию групп Ли, Эндрю Бейкер; Группы Ли: введение через линейные группы, Вульф Россманн» . Американский математический ежемесячник . 110 (5): 446–455. дои : 10.2307/3647845 . JSTOR 3647845 .
^ Зал 2015 г., раздел 8.7.
^ Зал 2015 г., раздел 8.8.
^ Холл 2015 г. Определение 12.4
^ Зал 2015 г. , Предложение 12.7
^ Холл 2015. Следствие 13.20.
↑ Зал 2015, Глава 12.

Ссылки

Диксмье, Жак (1996) [1974], Обертывающие алгебры , Аспирантура по математике , том. 11, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN. 978-0-8218-0560-2 , МР 0498740
Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . МР 1153249 . OCLC 246650103 .
Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для выпускников по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666
Хамфрис, Джеймс Э. (1972a), Введение в алгебры Ли и теорию представлений , Биркхойзер, ISBN 978-0-387-90053-7 .

[1] Диксмье 1996 , Теорема 7.2.6.

[9.4_and_9.5-2] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Холл 2015. Теоремы 9.4 и 9.5.

[12.6-3] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б Теорема Холла 2015 12.6

[4] Кнапп, AW (2003). «Рецензируемая работа: Матричные группы: введение в теорию групп Ли, Эндрю Бейкер; Группы Ли: введение через линейные группы, Вульф Россманн» . Американский математический ежемесячник . 110 (5): 446–455. дои : 10.2307/3647845 . JSTOR 3647845 .

[5] Зал 2015 г., раздел 8.7.

[6] Зал 2015 г., раздел 8.8.

[7] Холл 2015 г. Определение 12.4

[8] Зал 2015 г. , Предложение 12.7

[9] Холл 2015. Следствие 13.20.

[10] Зал 2015, Глава 12.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]