Индекс алгебры Ли

В алгебре пусть — алгебра Ли над полем K. g Пусть дальше $\xi \in {\mathfrak {g}}^{*}$ быть одной формой на g . Стабилизатор g _ξ группы ξ — это подалгебра Ли элементов g, аннулирующих ξ в коприсоединенном представлении . Индекс алгебры Ли равен

\operatorname {ind} {\mathfrak {g}}:=\min \limits _{\xi \in {\mathfrak {g}}^{*}}\dim {\mathfrak {g}}_{\xi }.

Примеры

Редуктивные алгебры Ли

Если g редуктивен, то индекс g также является рангом g , поскольку присоединенное и коприсоединенное представление изоморфны, а rk g — минимальная размерность стабилизатора элемента в g . На самом деле это размерность стабилизатора любого регулярного элемента в g .

Алгебра Ли Фробениуса

Если ind g = 0, то g называется алгеброй Фробениуса Ли . Это равносильно тому, что форма Кириллова $K_{\xi }\colon {\mathfrak {g\otimes g}}\to \mathbb {K} :(X,Y)\mapsto \xi ([X,Y])$ неособа для некоторого ξ из g ^*. Другое эквивалентное условие, когда g является алгеброй Ли алгебраической группы G , заключается в том, что g является фробениусовой тогда и только тогда, когда G имеет открытую орбиту в g. ^* под коприсоединенным представлением.

Алгебра Ли алгебраической группы

Если g — алгебра Ли алгебраической группы G , то индекс g — это степень трансцендентности поля рациональных функций на g. ^* инвариантные относительно (ко)сопряженного действия G . ^[1]

Ссылки

^ Панюшев, Дмитрий И. (2003). «Индекс алгебры Ли, централизатор нильпотентного элемента и нормализатор централизатора». Математические труды Кембриджского философского общества . 134 (1): 41–59. дои : 10.1017/S0305004102006230 . S2CID 13138268 .

Эта статья включает в себя материалы из указателя алгебры Ли на сайте PlanetMath , который доступен под лицензией Creative Commons Attribution/Share-Alike License .

[1] Панюшев, Дмитрий И. (2003). «Индекс алгебры Ли, централизатор нильпотентного элемента и нормализатор централизатора». Математические труды Кембриджского философского общества . 134 (1): 41–59. дои : 10.1017/S0305004102006230 . S2CID 13138268 .

[1]