Редуктивная алгебра Ли

В математике алгебра Ли является редуктивной , если ее присоединенное представление , полностью приводимо отсюда и название. Более конкретно, алгебра Ли является редуктивной, если она представляет собой прямую сумму полупростой алгебры Ли и абелевой алгебры Ли : ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {s}}\oplus {\mathfrak {a}};$ существуют альтернативные характеристики, приведенные ниже.

Примеры

Самый простой пример — алгебра Ли. ${\mathfrak {gl}}_{n}$ из $n\times n$ матрицы с коммутатором в виде скобки Ли или, более абстрактно, как эндоморфизмов алгебра n -мерного векторного пространства , ${\mathfrak {gl}}(V).$ Это алгебра Ли общей линейной группы GL( n ), которая редуктивна, поскольку разлагается как ${\mathfrak {gl}}_{n}={\mathfrak {sl}}_{n}\oplus {\mathfrak {k}},$ соответствующие бесследовым матрицам и скалярным матрицам .

Любая полупростая алгебра Ли или абелева алгебра Ли тем более редуктивна.

Над действительными числами компактные алгебры Ли редуктивны.

Определения

Алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ над полем характеристики 0 называется редуктивным, если выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. Присоединенное представление (действие скобками) ${\mathfrak {g}}$ ( вполне приводимо прямая сумма неприводимых представлений).
2. ${\mathfrak {g}}$ допускает точное, вполне приводимое, конечномерное представление.
3. Радикал ​ ​ ${\mathfrak {g}}$ равен центру: ${\mathfrak {r}}({\mathfrak {g}})={\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}}).$

   Радикал всегда содержит центр, но не обязательно равен ему.

4. ${\mathfrak {g}}$ является прямой суммой полупростого идеала ${\mathfrak {s}}_{0}$ и его центр ${\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}}):$ ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {s}}_{0}\oplus {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}}).$

   Сравните с разложением Леви , которое разлагает алгебру Ли на ее радикал (которая разрешима, а не абелева вообще) и подалгебру Леви (которая полупроста).

5. ${\mathfrak {g}}$ является прямой суммой полупростой алгебры Ли ${\mathfrak {s}}$ и абелева алгебра Ли ${\mathfrak {a}}$: ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {s}}\oplus {\mathfrak {a}}.$
6. ${\mathfrak {g}}$ является прямой суммой простых идеалов: ${\mathfrak {g}}=\textstyle {\sum {\mathfrak {g}}_{i}}.$

Некоторые из этих эквивалентностей легко увидеть. Например, центр и радикал ${\mathfrak {s}}\oplus {\mathfrak {a}}$ является ${\mathfrak {a}},$ а если радикал равен центру, то разложение Леви дает разложение ${\mathfrak {g}}={\mathfrak {s}}_{0}\oplus {\mathfrak {z}}({\mathfrak {g}}).$ Далее, простые алгебры Ли и тривиальная одномерная алгебра Ли ${\mathfrak {k}}$ являются первичными идеалами.

Характеристики

Редуктивные алгебры Ли являются обобщением полупростых алгебр Ли и имеют с ними многие общие свойства: многие свойства полупростых алгебр Ли зависят только от того факта, что они редуктивны. Примечательно, что унитарный трюк Германа Вейля работает для редуктивных алгебр Ли.

Соответствующие редуктивные группы Ли представляют значительный интерес: программа Ленглендса основана на предпосылке, что то, что делается для одной редуктивной группы Ли, должно быть сделано для всех.

Пересечение редуктивных алгебр Ли и разрешимых алгебр Ли является в точности абелевыми алгебрами Ли (в отличие от пересечения полупростых и разрешимых алгебр Ли, которое тривиально).

Внешние ссылки

• Алгебра Ли, редуктивная , А. Л. Онищик, в Энциклопедии Математики, ISBN   1-4020-0609-8 , SpringerLink