Jump to content

Присоединенное представление

(Перенаправлено из Присоединенный эндоморфизм )

В математике присоединенное представление (или присоединенное действие ) группы Ли G — это способ представления элементов группы как линейных преобразований группы алгебры Ли , рассматриваемой как векторное пространство . Например, G если , группа Ли вещественных n размером на n обратимых матриц , то присоединенное представление — это групповой гомоморфизм, который отправляет обратимую n размером на n матрицу к эндоморфизму векторного пространства всех линейных преобразований определяется: .

Для любой группы Ли это естественное представление получается путем линеаризации (т. е. взятия ) действия G на дифференциала себя путем сопряжения . Присоединенное представление может быть определено для линейных алгебраических групп над произвольными полями .

Определение [ править ]

Пусть G группа Ли и пусть

— отображение g ↦ Ψ g , с Aut( G ) группой автоморфизмов G G и Ψ g : G , заданной внутренним автоморфизмом (сопряжением)

Это Ψ является гомоморфизмом группы Ли .

Для каждого g в G определите Ad g как производную от Ψ g в начале координат:

где d - дифференциал и касательное пространство в начале координат e ( e — единичный элемент группы G ). С — автоморфизм группы Ли, Ad g автоморфизм алгебры Ли ; т.е. обратимое линейное преобразование самому себе, что сохраняет скобку Ли . Более того, поскольку является групповым гомоморфизмом, тоже является групповым гомоморфизмом. [1] Следовательно, карта

представляет собой групповое представление, присоединенным представлением G называемое .

Если G погруженная подгруппа Ли полной линейной группы (называемая иммерсально линейной группой Ли), то алгебра Ли состоит из матриц, а экспоненциальное отображение является матричной экспонентой для матриц X с малыми операторными нормами. Мы вычислим производную от в . Для g в G и маленького X в , кривая имеет производную тогда при t = 0 получим:

где справа у нас есть произведения матриц. Если является замкнутой подгруппой (т. е. G является матричной группой Ли), то эта формула справедлива для всех g в G и всех X в .

Вкратце, присоединенное представление — это представление изотропии, связанное с действием сопряжения G вокруг единичного элемента G .

Производное от объявления [ править ]

Всегда можно перейти от представления группы Ли G к представлению ее алгебры Ли, взяв производную в единице.

Взяв производную присоединенного отображения

в единичном элементе дает присоединенное представление алгебры Ли из Г :

где является алгеброй Ли которую можно отождествить с вывода алгеброй . Можно показать, что

для всех , где правая часть задана (индуцирована) скобкой Ли векторных полей . Действительно, [2] Напомним, что просмотр как алгебра Ли левоинвариантных векторных полей на G , скобка на дается как: [3] для левоинвариантных векторных полей X , Y ,

где обозначает поток , порожденный X . Как оказалось, примерно потому, что обе стороны удовлетворяют одному и тому же ОДУ, определяющему поток. То есть, где обозначает правильное умножение на . С другой стороны, поскольку по правилу цепочки ,

поскольку Y левоинвариантен. Следовательно,

,

что и нужно было показать.

Таким образом, совпадает с тем, которое определено в § Присоединенное представление алгебры Ли ниже. Ad и ad связаны экспоненциальным отображением : в частности, Ad exp( x ) = exp(ad x ) для всех x в алгебре Ли. [4] Это следствие общего результата, связывающего гомоморфизмы группы Ли и алгебры Ли через экспоненциальное отображение. [5]

Если G — иммерсально линейная группа Ли, то приведенное выше вычисление упрощается: действительно, как отмечалось ранее, и таким образом с ,

.

Взяв производную от этого в , у нас есть:

.

Общий случай можно вывести и из линейного случая: действительно, пусть — иммерсально линейная группа Ли, имеющая ту же алгебру Ли, что и G . Тогда производная Ad в единице для G и для G ' совпадают; следовательно, без ограничения общности, G можно считать G ' .

Обозначение верхнего/строчного регистра широко используется в литературе. Так, например, вектор x в алгебре порождает векторное поле X группе G. в Аналогично, сопряженное отображение ad x y = [ x , y ] векторов в гомоморфен [ нужны разъяснения ] к производной Ли L X Y = [ X , Y ] векторных полей на группе G, рассматриваемой как многообразие .

Далее смотрите производную экспоненциального отображения .

Присоединенное представление алгебры Ли [ править ]

Позволять — алгебра Ли над некоторым полем. Дан элемент x алгебры Ли. , определяется присоединенное действие x на как карта

для вас всех . Это называется присоединенным эндоморфизмом или присоединенным действием . ( также часто обозначается как .) Поскольку скобка билинейна, это определяет линейное отображение

задано x ↦ ad x . В пределах конца , скобка по определению задается коммутатором двух операторов:

где обозначает композицию линейных карт. Используя приведенное выше определение скобки, тождество Якоби

принимает форму

где x , y и z — произвольные элементы .

Это последнее тождество говорит о том, что ad является гомоморфизмом алгебры Ли; т. е. линейное отображение, которое переводит скобки в скобки. Следовательно, ad является представлением алгебры Ли и называется присоединенным представлением алгебры. .

Если конечномерна и для нее выбран базис, то — алгебра Ли квадратных матриц, а композиция соответствует умножению матриц .

На более теоретико-модульном языке конструкция говорит, что является модулем над собой.

Ядро рекламы – центр это (это просто перефразирование определения). С другой стороны, для каждого элемента z в , линейное отображение подчиняется закону Лейбница :

для всех x и y в алгебре (переформулировка тождества Якоби). Другими словами, ad z является производным и образом под объявлением является подалгебра Der , пространство всех дифференцирований .

Когда — алгебра Ли группы Ли G , ad — дифференциал Ad в единичном элементе G. группы

Существует следующая формула, аналогичная формуле Лейбница : для скаляров и элементы алгебры Ли ,

Структурные константы [ править ]

Явные матричные элементы присоединенного представления задаются структурными константами алгебры. То есть пусть {e я } — набор базисных векторов алгебры, причем

Тогда матричные элементы для объявление электронной я даны

Так, например, присоединенное представление su(2) является определяющим представлением so(3) .

Примеры [ править ]

  • Если G абелева размерности n является , присоединенное представление G тривиальным n -мерным представлением.
  • Если G матричная группа Ли (т. е. замкнутая подгруппа ), то ее алгебра Ли является алгеброй матриц размера n × n с коммутатором скобки Ли (т.е. подалгеброй ). В этом случае сопряженное отображение имеет вид Ad g ( x ) = gxg −1 .
  • Если G представляет собой SL(2, R ) (вещественные матрицы 2×2 с определителем 1), алгебра Ли группы G состоит из вещественных матриц 2×2 со следом 0. Представление эквивалентно представлению, заданному действием G линейным подстановка в пространстве бинарных (т. е. с двумя переменными) квадратичных форм .

Свойства [ править ]

В следующей таблице суммированы свойства различных карт, упомянутых в определении.

Гомоморфизм группы Ли:
Автоморфизм группы Ли:
Гомоморфизм группы Ли:
Автоморфизм алгебры Ли:
  • линеен
Гомоморфизм алгебры Ли:
  • линеен
Вывод алгебры Ли:
  • линеен

Образ G ( G при присоединенном представлении обозначается Ad . ) Если G связна является , то ядро ​​присоединенного представления совпадает с ядром Ψ, центром G. и которое Следовательно, присоединенное представление связной группы Ли G является точным тогда и только тогда, когда G бесцентрна. В более общем смысле, если G несвязен, то ядро ​​присоединенного отображения является централизатором единичного компонента G 0 группы G . По первой теореме об изоморфизме имеем

Учитывая конечномерную вещественную алгебру Ли , по третьей теореме Ли , существует связная группа Ли алгебра Ли которой является образом присоединенного представления (т.е. .) Она называется группой присоединенной .

Теперь, если является алгеброй Ли связной группы Ли G , то является образом присоединенного представления G : .

Корни полупростой группы Ли [ править ]

Если G полупроста , ненулевые веса присоединенного представления образуют систему корней . [6] (Вообще, прежде чем продолжить, необходимо перейти к комплексификации алгебры Ли.) Чтобы увидеть, как это работает, рассмотрим случай G = SL( n , R ). Мы можем взять группу диагональных матриц Diag( t 1 , ..., t n ) в качестве максимального тора T . Сопряжение элементом T отправляет

Таким образом, T действует тривиально на диагональной части алгебры Ли группы G и с собственными векторами t i t j −1 на различных недиагональных входах. Корнями G являются веса diag( t 1 , ..., t n ) → t i t j −1 . Это объясняет стандартное описание корневой системы G = SL n ( R ) как набора векторов формы e i e j .

Пример SL(2, R) [ править ]

При вычислении системы корней для одного из простейших случаев групп Ли группа SL(2, R ) двумерных матриц с определителем 1 состоит из набора матриц вида:

где a , b , c , d вещественные и ad - bc = 1.

Максимальная компактная связная абелева подгруппа Ли или максимальный тор T задается подмножеством всех матриц вида

с . Алгеброй Ли максимального тора является подалгебра Картана, состоящая из матриц

Если мы сопрягаем элемент SL(2, R ) с элементом максимального тора, получим

Матрицы

тогда являются «собственными векторами» операции сопряжения с собственными значениями . Функция Λ, дающая является мультипликативным характером или гомоморфизмом тора группы в основное поле R. Функция λ, задающая θ, является весом алгебры Ли с весовым пространством, заданным размахом матриц.

Приятно показать мультипликативность характера и линейность веса. Далее можно доказать, что дифференциал Λ можно использовать для создания веса. Также полезно рассмотреть случай SL(3, R ).

Варианты и аналоги [ править ]

Присоединенное представление также можно определить для алгебраических групп над любым полем. [ нужны разъяснения ]

Косопряженное представление является контргредиентным представлением присоединенного представления. Александр Кириллов заметил, что орбита любого вектора в косопряжённом представлении является симплектическим многообразием . Согласно философии теории представлений, известной как метод орбит (см. также формулу характера Кириллова ), неприводимые представления группы Ли G должны быть каким-то образом проиндексированы ее косопряженными орбитами. Эта связь наиболее близка в случае нильпотентных групп Ли .

См. также [ править ]

  • Присоединенный пакет - пакет алгебры Ли, связанный с любым основным пакетом посредством присоединенного представления.

Примечания [ править ]

  1. ^ Действительно, по правилу цепочки ,
  2. ^ Кобаяши и Номидзу 1996 , стр. 41
  3. ^ Кобаяши и Номидзу 1996 , Предложение 1.9.
  4. ^ Зал 2015 г., Предложение 3.35.
  5. ^ Холл, 2015 г., Теорема 3.28.
  6. ^ Зал 2015 г., раздел 7.3.

Ссылки [ править ]

  • Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN  978-0-387-97495-8 . МР   1153249 . OCLC   246650103 .
  • Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996). Основы дифференциальной геометрии, Том. 1 (Новое изд.). Уайли-Интерсайенс. ISBN  978-0-471-15733-5 .
  • Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN  978-3319134666 .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: ab56a03568fffceb02cd19202aa7caf8__1716633000
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/ab/f8/ab56a03568fffceb02cd19202aa7caf8.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Adjoint representation - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)