Присоединенное представление
Группы Ли и алгебры Ли |
---|
В математике присоединенное представление (или присоединенное действие ) группы Ли G — это способ представления элементов группы как линейных преобразований группы алгебры Ли , рассматриваемой как векторное пространство . Например, G если , группа Ли вещественных n размером на n обратимых матриц , то присоединенное представление — это групповой гомоморфизм, который отправляет обратимую n размером на n матрицу к эндоморфизму векторного пространства всех линейных преобразований определяется: .
Для любой группы Ли это естественное представление получается путем линеаризации (т. е. взятия ) действия G на дифференциала себя путем сопряжения . Присоединенное представление может быть определено для линейных алгебраических групп над произвольными полями .
Определение [ править ]
Пусть G — группа Ли и пусть
— отображение g ↦ Ψ g , с Aut( G ) группой автоморфизмов G G и Ψ g : G → , заданной внутренним автоморфизмом (сопряжением)
Это Ψ является гомоморфизмом группы Ли .
Для каждого g в G определите Ad g как производную от Ψ g в начале координат:
где d - дифференциал и — касательное пространство в начале координат e ( e — единичный элемент группы G ). С — автоморфизм группы Ли, Ad g — автоморфизм алгебры Ли ; т.е. обратимое линейное преобразование самому себе, что сохраняет скобку Ли . Более того, поскольку является групповым гомоморфизмом, тоже является групповым гомоморфизмом. [1] Следовательно, карта
представляет собой групповое представление, присоединенным представлением G называемое .
Если G — погруженная подгруппа Ли полной линейной группы (называемая иммерсально линейной группой Ли), то алгебра Ли состоит из матриц, а экспоненциальное отображение является матричной экспонентой для матриц X с малыми операторными нормами. Мы вычислим производную от в . Для g в G и маленького X в , кривая имеет производную тогда при t = 0 получим:
где справа у нас есть произведения матриц. Если является замкнутой подгруппой (т. е. G является матричной группой Ли), то эта формула справедлива для всех g в G и всех X в .
Вкратце, присоединенное представление — это представление изотропии, связанное с действием сопряжения G вокруг единичного элемента G .
Производное от объявления [ править ]
Всегда можно перейти от представления группы Ли G к представлению ее алгебры Ли, взяв производную в единице.
Взяв производную присоединенного отображения
в единичном элементе дает присоединенное представление алгебры Ли из Г :
где является алгеброй Ли которую можно отождествить с вывода алгеброй . Можно показать, что
для всех , где правая часть задана (индуцирована) скобкой Ли векторных полей . Действительно, [2] Напомним, что просмотр как алгебра Ли левоинвариантных векторных полей на G , скобка на дается как: [3] для левоинвариантных векторных полей X , Y ,
где обозначает поток , порожденный X . Как оказалось, примерно потому, что обе стороны удовлетворяют одному и тому же ОДУ, определяющему поток. То есть, где обозначает правильное умножение на . С другой стороны, поскольку по правилу цепочки ,
поскольку Y левоинвариантен. Следовательно,
- ,
что и нужно было показать.
Таким образом, совпадает с тем, которое определено в § Присоединенное представление алгебры Ли ниже. Ad и ad связаны экспоненциальным отображением : в частности, Ad exp( x ) = exp(ad x ) для всех x в алгебре Ли. [4] Это следствие общего результата, связывающего гомоморфизмы группы Ли и алгебры Ли через экспоненциальное отображение. [5]
Если G — иммерсально линейная группа Ли, то приведенное выше вычисление упрощается: действительно, как отмечалось ранее, и таким образом с ,
- .
Взяв производную от этого в , у нас есть:
- .
Общий случай можно вывести и из линейного случая: действительно, пусть — иммерсально линейная группа Ли, имеющая ту же алгебру Ли, что и G . Тогда производная Ad в единице для G и для G ' совпадают; следовательно, без ограничения общности, G можно считать G ' .
Обозначение верхнего/строчного регистра широко используется в литературе. Так, например, вектор x в алгебре порождает векторное поле X группе G. в Аналогично, сопряженное отображение ad x y = [ x , y ] векторов в гомоморфен [ нужны разъяснения ] к производной Ли L X Y = [ X , Y ] векторных полей на группе G, рассматриваемой как многообразие .
Далее смотрите производную экспоненциального отображения .
Присоединенное представление алгебры Ли [ править ]
Позволять — алгебра Ли над некоторым полем. Дан элемент x алгебры Ли. , определяется присоединенное действие x на как карта
для вас всех . Это называется присоединенным эндоморфизмом или присоединенным действием . ( также часто обозначается как .) Поскольку скобка билинейна, это определяет линейное отображение
задано x ↦ ad x . В пределах конца , скобка по определению задается коммутатором двух операторов:
где обозначает композицию линейных карт. Используя приведенное выше определение скобки, тождество Якоби
принимает форму
где x , y и z — произвольные элементы .
Это последнее тождество говорит о том, что ad является гомоморфизмом алгебры Ли; т. е. линейное отображение, которое переводит скобки в скобки. Следовательно, ad является представлением алгебры Ли и называется присоединенным представлением алгебры. .
Если конечномерна и для нее выбран базис, то — алгебра Ли квадратных матриц, а композиция соответствует умножению матриц .
На более теоретико-модульном языке конструкция говорит, что является модулем над собой.
Ядро рекламы – центр это (это просто перефразирование определения). С другой стороны, для каждого элемента z в , линейное отображение подчиняется закону Лейбница :
для всех x и y в алгебре (переформулировка тождества Якоби). Другими словами, ad z является производным и образом под объявлением является подалгебра Der , пространство всех дифференцирований .
Когда — алгебра Ли группы Ли G , ad — дифференциал Ad в единичном элементе G. группы
Существует следующая формула, аналогичная формуле Лейбница : для скаляров и элементы алгебры Ли ,
Структурные константы [ править ]
Явные матричные элементы присоединенного представления задаются структурными константами алгебры. То есть пусть {e я } — набор базисных векторов алгебры, причем
Тогда матричные элементы для объявление электронной я даны
Так, например, присоединенное представление su(2) является определяющим представлением so(3) .
Примеры [ править ]
- Если G абелева размерности n является , присоединенное представление G тривиальным n -мерным представлением.
- Если G — матричная группа Ли (т. е. замкнутая подгруппа ), то ее алгебра Ли является алгеброй матриц размера n × n с коммутатором скобки Ли (т.е. подалгеброй ). В этом случае сопряженное отображение имеет вид Ad g ( x ) = gxg −1 .
- Если G представляет собой SL(2, R ) (вещественные матрицы 2×2 с определителем 1), алгебра Ли группы G состоит из вещественных матриц 2×2 со следом 0. Представление эквивалентно представлению, заданному действием G линейным подстановка в пространстве бинарных (т. е. с двумя переменными) квадратичных форм .
Свойства [ править ]
В следующей таблице суммированы свойства различных карт, упомянутых в определении.
Гомоморфизм группы Ли: | Автоморфизм группы Ли: |
Гомоморфизм группы Ли: | Автоморфизм алгебры Ли:
|
Гомоморфизм алгебры Ли:
| Вывод алгебры Ли:
|
Образ G ( G при присоединенном представлении обозначается Ad . ) Если G связна является , то ядро присоединенного представления совпадает с ядром Ψ, центром G. и которое Следовательно, присоединенное представление связной группы Ли G является точным тогда и только тогда, когда G бесцентрна. В более общем смысле, если G несвязен, то ядро присоединенного отображения является централизатором единичного компонента G 0 группы G . По первой теореме об изоморфизме имеем
Учитывая конечномерную вещественную алгебру Ли , по третьей теореме Ли , существует связная группа Ли алгебра Ли которой является образом присоединенного представления (т.е. .) Она называется группой присоединенной .
Теперь, если является алгеброй Ли связной группы Ли G , то является образом присоединенного представления G : .
Корни полупростой группы Ли [ править ]
Если G полупроста , ненулевые веса присоединенного представления образуют систему корней . [6] (Вообще, прежде чем продолжить, необходимо перейти к комплексификации алгебры Ли.) Чтобы увидеть, как это работает, рассмотрим случай G = SL( n , R ). Мы можем взять группу диагональных матриц Diag( t 1 , ..., t n ) в качестве максимального тора T . Сопряжение элементом T отправляет
Таким образом, T действует тривиально на диагональной части алгебры Ли группы G и с собственными векторами t i t j −1 на различных недиагональных входах. Корнями G являются веса diag( t 1 , ..., t n ) → t i t j −1 . Это объясняет стандартное описание корневой системы G = SL n ( R ) как набора векторов формы e i − e j .
Пример SL(2, R) [ править ]
При вычислении системы корней для одного из простейших случаев групп Ли группа SL(2, R ) двумерных матриц с определителем 1 состоит из набора матриц вида:
где a , b , c , d вещественные и ad - bc = 1.
Максимальная компактная связная абелева подгруппа Ли или максимальный тор T задается подмножеством всех матриц вида
с . Алгеброй Ли максимального тора является подалгебра Картана, состоящая из матриц
Если мы сопрягаем элемент SL(2, R ) с элементом максимального тора, получим
Матрицы
тогда являются «собственными векторами» операции сопряжения с собственными значениями . Функция Λ, дающая является мультипликативным характером или гомоморфизмом тора группы в основное поле R. Функция λ, задающая θ, является весом алгебры Ли с весовым пространством, заданным размахом матриц.
Приятно показать мультипликативность характера и линейность веса. Далее можно доказать, что дифференциал Λ можно использовать для создания веса. Также полезно рассмотреть случай SL(3, R ).
Варианты и аналоги [ править ]
Присоединенное представление также можно определить для алгебраических групп над любым полем. [ нужны разъяснения ]
Косопряженное представление является контргредиентным представлением присоединенного представления. Александр Кириллов заметил, что орбита любого вектора в косопряжённом представлении является симплектическим многообразием . Согласно философии теории представлений, известной как метод орбит (см. также формулу характера Кириллова ), неприводимые представления группы Ли G должны быть каким-то образом проиндексированы ее косопряженными орбитами. Эта связь наиболее близка в случае нильпотентных групп Ли .
См. также [ править ]
- Присоединенный пакет - пакет алгебры Ли, связанный с любым основным пакетом посредством присоединенного представления.
Примечания [ править ]
- ^ Действительно, по правилу цепочки ,
- ^ Кобаяши и Номидзу 1996 , стр. 41
- ^ Кобаяши и Номидзу 1996 , Предложение 1.9.
- ^ Зал 2015 г., Предложение 3.35.
- ^ Холл, 2015 г., Теорема 3.28.
- ^ Зал 2015 г., раздел 7.3.
Ссылки [ править ]
- Фултон, Уильям ; Харрис, Джо (1991). Теория представлений. Первый курс . Тексты для аспирантов по математике , Чтения по математике. Том. 129. Нью-Йорк: Springer-Verlag. дои : 10.1007/978-1-4612-0979-9 . ISBN 978-0-387-97495-8 . МР 1153249 . OCLC 246650103 .
- Кобаяши, Шошичи; Номидзу, Кацуми (1996). Основы дифференциальной геометрии, Том. 1 (Новое изд.). Уайли-Интерсайенс. ISBN 978-0-471-15733-5 .
- Холл, Брайан К. (2015), Группы Ли, алгебры Ли и представления: элементарное введение , Тексты для аспирантов по математике, том. 222 (2-е изд.), Спрингер, ISBN 978-3319134666 .