Представление изотропии

В дифференциальной геометрии представление изотропии — это естественное линейное представление группы Ли , действующей на многообразии, в касательном пространстве к фиксированной точке.

Строительство

Учитывая групповое действие Ли $(G,\sigma )$ на многообразии M , если точки _o ( Go — стабилизатор подгруппа изотропии o ) то для каждого g из Go _в , $\sigma _{g}:M\to M$ фиксирует o и, таким образом, взяв производную в точке o, получим карту $(d\sigma _{g})_{o}:T_{o}M\to T_{o}M.$ По правилу цепочки ,

(d\sigma _{gh})_{o}=d(\sigma _{g}\circ \sigma _{h})_{o}=(d\sigma _{g})_{o}\circ (d\sigma _{h})_{o}

и, таким образом, существует представление:

\rho :G_{o}\to \operatorname {GL} (T_{o}M)

данный

\rho (g)=(d\sigma _{g})_{o}

.

Это называется представлением изотропии при o . Например, если $\sigma$ является сопряжения действием группы G на себя, то представление изотропии $\rho$ в единичном элементе e является представлением присоединенным $G=G_{e}$ .