Скобка Ли векторных полей

В математической области дифференциальной топологии скобка Ли векторных полей , также известная как скобка Якоби–Ли или коммутатор векторных полей , представляет собой оператор, который присваивает любым двум векторным полям X и Y на гладком многообразии M третье векторное поле, обозначаемое [ X , Y ] .

Концептуально скобка Ли [ X , Y ] является производной Y вдоль потока, порожденного X , и иногда обозначается ${\mathcal {L}}_{X}Y$ («Производная Ли Y вдоль X»). Это обобщает производную Ли любого тензорного поля вдоль потока, порожденного X .

Скобка Ли является R - билинейной операцией и превращает множество всех гладких векторных полей на многообразии M в (бесконечномерную) алгебру Ли .

Скобка Ли играет важную роль в дифференциальной геометрии и дифференциальной топологии , например, в теореме интегрируемости Фробениуса , а также имеет фундаментальное значение в геометрической теории нелинейных систем управления .

В. И. Арнольд называет это «производным рыбака», поскольку можно представить себя рыбаком, держащим удочку и сидящим в лодке. И лодка, и поплавок текут согласно векторному полю X рыбак удлиняет/сжимает и поворачивает удочку согласно векторному полю Y. , а Скобка Ли — это величина сопротивления рыболовного поплавка относительно окружающей воды.

Определения

Существует три концептуально разных, но эквивалентных подхода к определению скобки Ли:

Векторные поля как производные

Каждое гладкое векторное поле $X:M\rightarrow TM$ на многообразии M можно рассматривать как дифференциальный оператор, действующий на гладкие функции $f(p)$ (где $p\in M$ и $f$ класса $C^{\infty }(M)$), когда мы определяем $X(f)$ быть другой функцией, значение которой в точке $p$ — производная по направлению от f в точке p в направлении X ( p ). Таким образом, каждое гладкое векторное поле X становится дифференцированием на C. ^∞ ( М ). Более того, любой вывод на C ^∞ ( M возникает из единственного гладкого векторного поля X. )

В общем коммутатор $\delta _{1}\circ \delta _{2}-\delta _{2}\circ \delta _{1}$ любых двух выводов $\delta _{1}$ и $\delta _{2}$ снова является выводом, где $\circ$ обозначает композицию операторов. Это можно использовать для определения скобки Ли как векторного поля, соответствующего выводу коммутатора:

$[X,Y](f)=X(Y(f))-Y(X(f))\;\;{\text{ for all }}f\in C^{\infty }(M).$

Потоки и пределы

Позволять $\Phi _{t}^{X}$ — поток, связанный с векторным полем X , и пусть D обозначает оператор производной касательного отображения . Тогда скобка Ли X и Y в точке x ∈ M может быть определена как производная Ли :

$[X,Y]_{x}\ =\ ({\mathcal {L}}_{X}Y)_{x}\ :=\ \lim _{t\to 0}{\frac {(\mathrm {D} \Phi _{-t}^{X})Y_{\Phi _{t}^{X}(x)}\,-\,Y_{x}}{t}}\ =\ \left.{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(\mathrm {D} \Phi _{-t}^{X})Y_{\Phi _{t}^{X}(x)}.$

Это также измеряет провал потока в последовательных направлениях. $X,Y,-X,-Y$ вернуться в точку х :

$[X,Y]_{x}\ =\ \left.{\tfrac {1}{2}}{\tfrac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}\right|_{t=0}(\Phi _{-t}^{Y}\circ \Phi _{-t}^{X}\circ \Phi _{t}^{Y}\circ \Phi _{t}^{X})(x)\ =\ \left.{\tfrac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\right|_{t=0}(\Phi _{\!-{\sqrt {t}}}^{Y}\circ \Phi _{\!-{\sqrt {t}}}^{X}\circ \Phi _{\!{\sqrt {t}}}^{Y}\circ \Phi _{\!{\sqrt {t}}}^{X})(x).$

В координатах

Хотя приведенные выше определения скобки Ли являются внутренними (независимо от выбора координат на многообразии M ), на практике часто требуется вычислить скобку в терминах конкретной системы координат. $\{x^{i}\}$. Мы пишем $\partial _{i}={\tfrac {\partial }{\partial x^{i}}}$ для соответствующего локального базиса касательного расслоения, так что общие векторные поля можно записать $\textstyle X=\sum _{i=1}^{n}X^{i}\partial _{i}$и $\textstyle Y=\sum _{i=1}^{n}Y^{i}\partial _{i}$для плавных функций $X^{i},Y^{i}:M\to \mathbb {R}$. Тогда скобку Ли можно вычислить как:

$[X,Y]:=\sum _{i=1}^{n}\left(X(Y^{i})-Y(X^{i})\right)\partial _{i}=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}\left(X^{j}\partial _{j}Y^{i}-Y^{j}\partial _{j}X^{i}\right)\partial _{i}.$

Если M является (открытым подмножеством) R ^н , то векторные поля X и Y можно записать в виде гладких отображений вида $X:M\to \mathbb {R} ^{n}$ и $Y:M\to \mathbb {R} ^{n}$и скобка Ли $[X,Y]:M\to \mathbb {R} ^{n}$ дается:

$[X,Y]:=J_{Y}X-J_{X}Y$

где $J_{Y}$ и $J_{X}$ являются n × n матрицами Якоби размера ( $\partial _{j}Y^{i}$ и $\partial _{j}X^{i}$ соответственно, используя индексное обозначение), умножая n × 1 вектор-столбцы X и Y .

Свойства

Скобка Ли векторных полей оснащает вещественное векторное пространство. $V=\Gamma (TM)$ всех векторных полей на M (т. е. гладких участков касательного расслоения $TM\to M$) со структурой алгебры Ли , что означает, что [ • , • ] является отображением $V\times V\to V$ с:

• Р - билинейность
• Антисимметрия, $[X,Y]=-[Y,X]$
• Личность Якоби , $[X,[Y,Z]]+[Z,[X,Y]]+[Y,[Z,X]]=0.$

Непосредственным следствием второго свойства является то, что $[X,X]=0$ для любого $X$.

Кроме того, для скобок Ли существует « правило произведения ». Учитывая гладкую (скалярную) функцию f на M и векторное поле Y на M , мы получаем новое векторное поле fY , умножая вектор Y _x на скаляр f ( x ) в каждой точке x ∈ M . Затем:

• $[X,fY]\ =\ X\!(f)\,Y\,+\,f\,[X,Y],$

где мы умножаем скалярную функцию X ( f ) на векторное поле Y и скалярную функцию f на векторное поле [ X , Y ] .Это превращает векторные поля со скобкой Ли в алгеброид Ли .

Исчезновение скобки Ли X и Y означает, что следование потокам в этих направлениях определяет поверхность, вложенную в M , с X и Y как координатными векторными полями:

Теорема: $[X,Y]=0\,$ тогда и только тогда, когда потоки X и Y коммутируют локально, что означает $(\Phi _{t}^{Y}\Phi _{s}^{X})(x)=(\Phi _{s}^{X}\,\Phi _{t}^{Y})(x)$ для всех x ∈ M и достаточно малых s , t .

Это частный случай теоремы интегрируемости Фробениуса .

Примеры

Для группы Ли G соответствующая алгебра Ли ${\mathfrak {g}}$ - касательное пространство в точке тождества $T_{e}G$, которое можно отождествить с векторным пространством левоинвариантных векторных полей на G . Скобка Ли двух левоинвариантных векторных полей также является левоинвариантной, что определяет операцию скобки Якоби – Ли. $[\,\cdot \,,\,\cdot \,]:{\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$.

Для матричной группы Ли, элементами которой являются матрицы $g\in G\subset M_{n\times n}(\mathbb {R} )$, каждое касательное пространство можно представить в виде матриц: $T_{g}G=g\cdot T_{I}G\subset M_{n\times n}(\mathbb {R} )$, где $\cdot$ означает умножение матрицы, а I - единичная матрица. Инвариантное векторное поле, соответствующее $X\in {\mathfrak {g}}=T_{I}G$ дается $X_{g}=g\cdot X\in T_{g}G$, а вычисление показывает скобку Ли на ${\mathfrak {g}}$ соответствует обычному коммутатору матриц:

$[X,Y]\ =\ X\cdot Y-Y\cdot X.$

Обобщения

Как упоминалось выше, производную Ли можно рассматривать как обобщение скобки Ли. Другим обобщением скобки Ли (на векторнозначные дифференциальные формы ) является скобка Фрелихера–Нийенхейса .

Ссылки

• «Скоба Лия» , Энциклопедия Математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Исайя, Пантелис (2009), «Контролируемая парковка [Спросите экспертов]», Журнал IEEE Control Systems Magazine , 29 (3): 17–21, 132, doi : 10.1109/MCS.2009.932394 , S2CID   42908664
• Халил, Гонконг (2002), Нелинейные системы (3-е изд.), Аппер-Седл-Ривер, Нью-Джерси: Прентис-Холл , ISBN  0-13-067389-7
• Коларж И., Михор П. и Словак Дж. (1993), Естественные операции в дифференциальной геометрии , Берлин, Гейдельберг, Нью-Йорк: Springer-Verlag, ISBN  3-540-56235-4 {{citation}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) Обширное обсуждение скобок Ли и общей теории производных Ли.
• Ланг, С. (1995), Дифференциальные и римановы многообразия , Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94338-1 Для обобщений на бесконечные измерения.
• Уорнер, Франк (1983) [1971], Основы дифференцируемых многообразий и групп Ли , Нью-Йорк-Берлин: Springer-Verlag, ISBN  0-387-90894-3