Погружение (математика)

«Обычная точка» перенаправляется сюда. О «регулярной точке алгебраического многообразия» см. Особая точка алгебраического многообразия .

В математике субмерсия , — это дифференцируемое отображение между дифференцируемыми многообразиями которого дифференциал всюду сюръективен . Это основная концепция дифференциальной топологии . Понятие погружения двойственно понятию погружения .

Определение

Пусть M и N — дифференцируемые многообразия и $f\colon M\to N$быть дифференцируемым отображением между ними. Отображение f является погружением в точку $p\in M$ если это дифференциал

$Df_{p}\colon T_{p}M\to T_{f(p)}N$

является сюръективным линейным отображением . В этом случае p называется регулярной точкой отображения f , в противном случае p — критической точкой . Точка $q\in N$ является регулярным значением f , если все точки p в прообразе $f^{-1}(q)$являются регулярными точками. Дифференцируемое отображение f , являющееся погружением в каждой точке. $p\in M$называется погружением . Эквивалентно, f является субмерсией, если ее дифференциал $Df_{p}$ имеет постоянный ранг, равный размерности N .

Предупреждение: некоторые авторы используют термин « критическая точка» для описания точки, в которой ранг матрицы Якоби функции f в точке p не является максимальным. Действительно, это более полезное понятие в теории особенностей . Если размерность M больше или равна размерности N , то эти два понятия критической точки совпадают. Но если размерность M меньше размерности N , все точки являются критическими согласно приведенному выше определению (дифференциал не может быть сюръективным), но ранг якобиана все равно может быть максимальным (если он равен dim M ). Определение, данное выше, является наиболее часто используемым; например, в формулировке теоремы Сарда .

Теорема

Учитывая погружение между гладкими многообразиями $f\colon M\to N$ размеров $m$ и $n$, для каждого $x\in M$ есть сюръективные диаграммы $\phi :U\to \mathbb {R} ^{m}$ из $M$ вокруг $x$, и $\psi :V\to \mathbb {R} ^{n}$ из $N$ вокруг $f(x)$, такой, что $f$ ограничивается погружением $f\colon U\to V$ которое, выраженное в координатах как $\psi \circ f\circ \phi ^{-1}:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}$, становится обычной ортогональной проекцией . В качестве приложения для каждого $p\in N$ соответствующее волокно $f$, обозначенный $M_{p}=f^{-1}(\{p\})$ может быть снабжено структурой гладкого подмногообразия $M$ размерность которого равна разности размеров $N$ и $M$.

Теорема является следствием теоремы об обратной функции (см. Теорема об обратной функции#Придание структуры многообразия ).

Например, рассмотрим $f\colon \mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R}$ данный $f(x,y,z)=x^{4}+y^{4}+z^{4}.$ Матрица Якобиана

${\begin{bmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}}&{\frac {\partial f}{\partial y}}&{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4x^{3}&4y^{3}&4z^{3}\end{bmatrix}}.$

Он имеет максимальный ранг в каждой точке, кроме $(0,0,0)$. Кроме того, волокна

$f^{-1}(\{t\})=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}$

пусты ​ для $t<0$, и равен точке, когда $t=0$. Следовательно, мы имеем только плавное погружение $f\colon \mathbb {R} ^{3}\setminus \{(0,0,0)\}\to \mathbb {R} _{>0},$ и подмножества $M_{t}=\left\{(a,b,c)\in \mathbb {R} ^{3}:a^{4}+b^{4}+c^{4}=t\right\}$ являются двумерными гладкими многообразиями для $t>0$.

Примеры

• Любая проекция $\pi \colon \mathbb {R} ^{m+n}\rightarrow \mathbb {R} ^{n}\subset \mathbb {R} ^{m+n}$
• Локальные диффеоморфизмы
• Римановы погружения
• Проекция в гладком векторном расслоении или более общем гладком расслоении . Сюръективность дифференциала — необходимое условие существования локальной тривиализации .

Карты между сферами

Один большой класс примеров погружений - это погружения между сферами более высокого измерения, такими как

$f:S^{n+k}\to S^{k}$

волокна которого имеют размерность $n$. Это связано с тем, что волокна (прообразы элементов $p\in S^{k}$) — гладкие многообразия размерности $n$. Тогда, если мы выберем путь

$\gamma :I\to S^{k}$

и возьми откат

${\begin{matrix}M_{I}&\to &S^{n+k}\\\downarrow &&\downarrow f\\I&\xrightarrow {\gamma } &S^{k}\end{matrix}}$

мы получаем пример особого вида бордизма , называемого оснащенным бордизмом . Фактически, оформленные группы кобордизмов $\Omega _{n}^{fr}$ тесно связаны со стабильными гомотопическими группами .

Семейства алгебраических многообразий

Другой большой класс субмерсий составляют семейства алгебраических многообразий. $\pi :{\mathfrak {X}}\to S$слои которого являются гладкими алгебраическими многообразиями. Если мы рассмотрим основные многообразия этих многообразий, мы получим гладкие многообразия. Например, семья Вейерштрасс. $\pi :{\mathcal {W}}\to \mathbb {A} ^{1}$Эллиптические кривые — это широко изучаемое погружение, поскольку оно включает в себя множество технических сложностей, используемых для демонстрации более сложных теорий, таких как гомология пересечений и перверсивные пучки . Это семейство дано

${\mathcal {W}}=\{(t,x,y)\in \mathbb {A} ^{1}\times \mathbb {A} ^{2}:y^{2}=x(x-1)(x-t)\}$

где $\mathbb {A} ^{1}$ является аффинной линией и $\mathbb {A} ^{2}$является аффинной плоскостью. Поскольку мы рассматриваем комплексные многообразия, это эквивалентно пространствам $\mathbb {C} ,\mathbb {C} ^{2}$комплексной прямой и комплексной плоскости. Обратите внимание, что на самом деле нам следует удалить точки $t=0,1$ потому что есть особенности (так как есть двойной корень).

Локальная нормальная форма

Если f : M → N — субмерсия в точке p и f ( p ) = q ∈ N , то существуют открытая окрестность U точки p в M , открытая окрестность V точки q в N и локальные координаты ( x1 _, … , x _m ) в p и ( x ₁ , …, x _n ) в q такие, что f ( U ) = V , и отображение f в этих локальных координатах является стандартной проекцией

$f(x_{1},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots ,x_{m})=(x_{1},\ldots ,x_{n}).$

Отсюда следует, что полный прообраз f ⁻¹ ( q ) в M регулярного значения q в N при дифференцируемом отображении f : M → N либо пусто, либо является дифференцируемым многообразием размерности dim M − dim N , возможно, несвязным . Это содержание теоремы о регулярных значениях (также известной как теорема о погружении ). В частности, вывод справедлив для всех q из N , если отображение f является субмерсией.

многообразий

Субмерсии также четко определены для общих топологических многообразий . Субмерсия топологического многообразия — это непрерывная сюръекция f : M → N такая, что для всех p в M , для некоторых непрерывных карт ψ в p и φ в f(p) отображение ψ ⁻¹ ∘ f ∘ φ равно отображению проекции из R ^м в Р ^н , где m знак равно dim( M ) ≥ n = dim( N ) .

См. также

• Теорема Эресмана о слоении

Ссылки

• Арнольд Владимир Иванович ; Гусейн-Заде, Сабир М .; Варченко, Александр Н. (1985). Особенности дифференцируемых отображений: Том 1 . Биркхойзер. ISBN  0-8176-3187-9 .
• Брюс, Джеймс В.; Гиблин, Питер Дж. (1984). Кривые и особенности . Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-42999-4 . МР   0774048 .
• Крампин, Майкл; Пирани, Феликс Арнольд Эдвард (1994). Применимая дифференциальная геометрия . Кембридж, Англия: Издательство Кембриджского университета . ISBN  978-0-521-23190-9 .
• ду Карму, Манфредо Пердигао (1994). Риманова геометрия . ISBN  978-0-8176-3490-2 .
• Франкель, Теодор (1997). Геометрия физики . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN  0-521-38753-1 . МР   1481707 .
• Галло, Сильвестр; Хулин, Доминик ; Лафонтен, Жак (2004). Риманова геометрия (3-е изд.). Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN  978-3-540-20493-0 .
• Косински, Антони Альберт (2007) [1993]. Дифференциальные многообразия . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-46244-8 .
• Ланг, Серж (1999). Основы дифференциальной геометрии . Тексты для аспирантов по математике. Нью-Йорк: Спрингер. ISBN  978-0-387-98593-0 .
• Штернберг, Шломо Цви (2012). Кривизна в математике и физике . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN  978-0-486-47855-5 .

Дальнейшее чтение

• https://mathoverflow.net/questions/376129/what-are-the-sufficient-and-necessary-conditions-for-surjective-submersions-to-b?rq=1